Stało- i zmiennopozycyjna reprezentacja liczb binarnych

Prezentacja na temat: "Stało- i zmiennopozycyjna reprezentacja liczb binarnych"— Zapis prezentacji:

1 Stało- i zmiennopozycyjna reprezentacja liczb binarnych
URZĄDZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ Stało- i zmiennopozycyjna reprezentacja liczb binarnych

2 Zapis stałoprzecinkowy
Aby umożliwić również zapis liczb ułamkowych, musimy rozszerzyć wagi pozycji w stronę ujemnych potęg podstawy. Część ułamkową oddzielimy od części całkowitej zapisu za pomocą znaku przecinka. waga pn-1 … p2p1p0 , p-1p-2 … p-m cyfry an-1 … a2a1a0 , a-1a-2 … a-m Binarną liczbę stałoprzecinkową można potraktować jako złożenie dwóch części — liczby całkowitej oraz ułamkowej rozdzielonych przecinkiem:

3 URZĄDZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ

4 URZĄDZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ
Zamianę liczby dziesiętnej na postać binarną przeprowadza się w dwóch etapach: zamiana liczby całkowitej na postać binarną za pomocą cyklicznego dzielenia przez 2; zamiana części ułamkowej na postać binarną za pomocą cyklicznego mnożenia przez 2. Jeżeli wynik jest > 1, to wyznaczony bit części ułamkowej jest także równy 1. Do dalszych obliczeń wykorzystujemy część ułamkową wyniku. Proces należy kontynuować aż do otrzymania 0. Z wyników iloczynów pobieramy wartości całkowite — ułamek liczby binarnej. Otrzymane liczby łączymy, przedzie­lając część całkowitą i ułamkową przecinkiem. Jeżeli mnożenie przez 2 prowadzi do osiągnięcia nieskończenie długiej kombinacji zer i jedynek, należy przyjąć przybliżoną dokładność, np. do 10 miejsc po przecinku.

5 URZĄDZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ
Przykład 10,225 czy wynik nie jest większy lub równy 1

6 URZĄDZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ
Przykład 10,225 czy wynik nie jest większy lub równy 1

7 URZĄDZENIA TECHNIKI KOMPUTEROWEJ
Przykład Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11101,011B 11101,011B = 1 * * * * * * * * 24 11101,011B = 1 * 1/8 + 1 * 1/4 + 0 * 1/2 + 1 * * * * * 16 11101,011B  = 1/8 + 1/ 11101,011B = 29 3/8

8 Przykład Zamienić ułamek 12.7 na postać binarną 8-bitową, gdzie przecinek jest po czterech bitach !!!!!!! Etap 1 Część całkowita 12D to w postaci dwójkowej 1100B. Etap 2 Obliczanie części ułamkowej wygląda następująco: 0.7 * 2 = 1.4 -> 1 0.4 * 2 = 0.8 -> 0 0.8 * 2 = 1.6 -> 1 0.6 * 2 = 1.2 -> 1 0.2 * 2 = ….. – tutaj przerywamy obliczenia i stąd 12.7D = 1100,1011B

9 Zapis zmiennopozycyjny
Z zapisem zmiennoprzecinkowym można spotkać się w przypadkach, gdzie przy jego pomocy przedstawia się albo bardzo duże wartości, albo bardzo małe. Zapis ten nazywa się często notacją naukową, np.: Gwiazda Proxima Centauri znajduje się w odległości [km], czyli 9,4608 * 1012. Masa elektronu wynosi me = 0, [g], czyli  9,1095 x [g]

10 1.4.2. Liczby zmiennoprzecinkowe (zmiennopozycyjne)
W porównaniu z liczbami stałoprzecinkowymi liczby zmiennoprzecinkowe (ang. floating-point numbers — FP) umożliwiają obsługę większego zakresu liczb (bardzo małych lub bardzo dużych), jednak kosztem wolniejszego przetwarzania i mniejszej dokładności. Termin „zmiennoprzecinkowe" oznacza, że nie istnieje stała liczba cyfr przed przecinkiem i po przecinku.

11 Liczba zapisana w systemie zmiennoprzecinkowym składa się z dwóch części: liczby stałoprzecinkowej, której wartość bezwzględna jest mniejsza od wartości podstawy systemu pozycyjnego oraz z podstawy podniesionej do pewnej potęgi zwanej wykładnikiem lub cechą. Wartość liczby jest równa iloczynowi części stałoprzecinkowej i wykładniczej: w = m * be, m - mantysa, b - podstawa systemu, e - wykładnik potęgowy.

12

13

14 Liczymy cechę! e = 1(-23)+1*22+1*21+1*20 = = -1

15 Liczymy mantysę! – dzielimy na dwie części 10,01 traktujemy jak liczbę stałoprzecinkową z przedziału 1,2 10,01 m = 1(-21)+0*20+0*2-1+1*2-2 = / = -2+1/4 = -1 ¾ = -1,75

16 cecha mantysa e = -1 m = -1,75 LFP = m*2e LFP = -1,75 * 2-1 = -1,75 * ½ = -1,75 * 0,5 = - 0,875

17 Zadanie - ćwiczenie Oblicz wartość liczby 00010100B
M 01,00 m = 0*(-21) + 1*20 + 0*2-1 +0*2-2 = =1 LFP = 1*21=2

18 Obliczanie reprezentacji zmiennoprzecinkowej
Zadanie do samodzielnej analizy Obliczanie reprezentacji zmiennoprzecinkowej Mamy określony format zapisu liczby zmiennoprzecinkowej w systemie dwójkowym. Wiemy, że wykładnik ma zawierać n - bitów w kodzie U2, a cecha m bitów w zapisie stałoprzecinkowym U2. Przykład prostego systemu zmiennoprzecinkowego, w którym wykładnik i cecha mają po 4 bity długości. Przykładową liczbą niech będzie wartość 56: 56D = B = U2 - dodajemy zero, aby zaznaczyć, iż jest to liczba dodatnia. Zapiszemy wzór obliczeniowy, a następnie będziemy przesuwać w prawo cyfry mantysy dodając jednocześnie 1 do wykładnika, aż znacząca jedynka znajdzie się na pozycji o wadze 1/2.

19 ,000U2 =20000U2 011100,000U2 =20001U2 - przesuwamy cyfry mantysy w prawo, zwiększamy wykładnik 01110,000U2 =20010U2 0111,000U2 =20011U2 011,100U2 =20100U2 01,110U2 =20101U2 0,111U2 =20110U2 - kończymy, mantysa jest znormalizowana Otrzymujemy więc: e = 0110  = 6D m = 0,111 = 7/8, sprawdzamy: 7/8 x 26 = 448/8 = 56

20 Dla liczby 9D 9D = 1001B = 01001U2 01001,000U2 =20000U2 0100,100U2 =20001U2 010,010U2 =20010U2 01,001U2 =20011U2 - ostatnia jedynka zaraz zniknie!!! 0,100U2 =20100U2 - koniec Otrzymaliśmy wynik: e = 0100  = 4D m = 0,100 = 1/2, sprawdzamy: 1/2 * 24 = 16/2 = 8 9D =? ZP