Systemy kolejkowe - twierdzenie Little’a

Prezentacja na temat: "Systemy kolejkowe - twierdzenie Little’a"— Zapis prezentacji:

1 Systemy kolejkowe - twierdzenie Little’a

2 Plan prezentacji Twierdzenie Little’a Twierdzenie Little’a - dowód
Twierdzenie Little’a - przykłady Twierdzenie Little’a – zastosowanie Twierdzenie Little’a - podsumowanie

3 Modele kolejkowe - twierdzenie Little’a

4 Modele kolejkowe serwer zgłoszenia kolejka/bufor model dla:
zgłoszeń (klientów) oczekujących w kolejce, linii montażowej, pakietów w sieci (kanał transmisyjny) chcemy znać: średnią liczbę zgłoszeń w kolejce, średnie opóźnienie doświadczane przez zgłoszenia (wnoszone przez system obsługi) z wykorzystaniem wartości: średniej szybkości (intensywności) napływu zgłoszeń (średniej liczby zgłoszeń w jednostce czasu), szybkości obsługi (średniej liczby zgłoszeń, którą serwer może obsłużyć w jednostce czasu).

5 System kolejkowy System kolejkowy:
- zgłoszenia napływają do obsługi w losowych chwilach czasu, rozkład prawdopodobieństwa odstępów czasu pomiędzy zgłoszeniami jest znany, rozkład prawdopodobieństwa czasu obsługi poszczególnych zgłoszeń jest znany, Możliwa interpretacja: zgłoszenia to pakiety przekazywane do transmisji w kanale komunikacyjnym, czas obsługi jest czasem transmisji pakietu i jest równy L/C, gdzie: L jest długością pakietu (bity/sekundę), C jest pojemnością kanału transmisyjnego (bity/sekundę) Inna interpretacja: zgłoszenia to aktywne w sieci konwersacje (połączenia wirtualne) pomiędzy węzłami sieci, czas obsługi to czas trwania tych konwersacji

6 Charakterystyki systemu kolejkowego
- średnia liczba zgłoszeń w systemie („typowa” liczba zgłoszeń oczekujących na obsługę i obsługiwanych), - średnie opóźnienie zgłoszeń („typowy” czas spędzany przez zgłoszenie w systemie, tzn. suma czasu oczekiwania przez z głoszenie na obsługę i czasu obsługi zgłoszenia), Jeżeli: - ) ( t p n oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że n zgłoszeń oczekuje w kolejce lub jest obsługiwanych w chwili t , - ) ( t N oznacza średnią liczbę zgłoszeń w systemie w chwili t , - k T oznacza średnie opóźnienie każdego spośród k zgłoszeń, - n p , N i T , o dpowiednio, to wartości ) ( t p n , ) ( t N i k T w stanie ustalonym to: ) ( lim t N np n å = - , å = k i T 1 lim -

7 Twierdzenie Little’a Twierdzenie:
Średnia liczba zgłoszeń w systemie kolejkowym N oraz średnie opóźnienie zgłoszeń T wnoszone przez system kolejkowy są związane zależnością: T N l = gdzie l jes t średnią szybkością napływu zgłoszeń do systemu kolejkowego. Znaczenie twierdzenia wynika z jego ogólności: - jest prawdziwe dla większości systemów kolejkowych, które osiągają w granicy stan równowagi statystycznej, - jest prawdziwe dla złożonych systemów napływu zgłoszeń i ich obsługi, - system kolejkowy nie musi być pojedynczą kolejką.

8 Twierdzenie Little’a -dowód

9 Twierdzenie Little’a - dowód

10 Twierdzenie Little’a – przykład I

11 Twierdzenie Little’a – przykład II

12 Twierdzenie Little’a – przykład zastosowania (przepustowość)

13 Twierdzenie Little’a – przykład zastosowania (przepustowość)

14 Twierdzenie Little’a - podsumowanie
wiąże liczbę zgłoszeń w systemie, intensywność napływu zgłoszeń i średni czas oczekiwania zgłoszeń na zakończenie obsługi, jest prawdziwe dla większości systemów kolejkowych, które w granicy osiągają stan ustalony, obowiązuje zarówno w pojedynczych kolejkach, jak i w złożonych systemach kolejkowych,