Posługiwanie się systemami liczenia

Prezentacja na temat: "Posługiwanie się systemami liczenia"— Zapis prezentacji:

1 Posługiwanie się systemami liczenia
Konwersja – zamiana Systemy liczenia II Danuta Stanek

2 Konwersja pomiędzy systemami
Posługiwanie się różnymi systemami liczenia wymaga umiejętności nie tylko przedstawiania liczb w różnych systemach, ale również konwersji (zamiany) liczby przedstawionej w jednym systemie na liczbę w innym systemie. Najwygodniej jest to powierzyć komputerowi, ale należy poznać zasady takiej zamiany. Danuta Stanek

3 Zamiana liczby dziesiętnej na binarną
69 34 17 8 4 2 1 Najstarszy bit Podstawowy sposób polega na kolejnym dzieleniu liczby dziesiętnej przez 2 z resztą i zapisaniu liczby od najstarszego do najmłodszego bitu więc: 69 (10)= (2) Najmłodszy bit Każdą pozycję liczby binarnej nazywamy bitem (binary digit) i jest to najmniejsza jednostka ilości informacji Danuta Stanek

4 Liczba 21 w systemie dwójkowym: 21 : 2 1 a0 10 : 2 0 a1 5 : 2 1 a2
83 10= NB Liczba 21 w systemie dwójkowym:  21 : 2 1 a0 10 : 2 0 a1 5 : 2 1 a2 2 : 2 0 a3 1 : 2 1 a4 0 : 2 0 a5 2110 = NB Zera przed jedynką z lewej nie mają wpływu na wartość liczby Danuta Stanek

5 Zamiana liczby binarnej na dziesiętną
Aby obliczyć dziesiętną wartość naszej liczby binarnej mnożymy cyfrę stojącą na każdej pozycji przez jej wagę, czyli kolejną potęgę liczby 2 będącej podstawą systemu (2)= 1*26 + 0* *24+0*23 + 1* *21 + 1*20 = = =69 Danuta Stanek

6 Przejście od zapisu binarnego do heksadecymalnego
Zapisać liczbę binarną B w postaci heksadecymalnej. Przy przejściu od liczby binarnej do heksadecymalnej wykorzystujemy fakt, że każdej cyfrze heksadecymalnej odpowiada określona kombinacja czterech cyfr binarnych i na odwrót. Przeliczaną liczbę binarną dzielimy od końca (czyli od najmłodszej pozycji) na czwórki, a następnie każdą zapisujemy w postaci jednej cyfry heksadecymalnej. Dla liczby binarnej : 0010t0101t1010 B =25A H Danuta Stanek

7 zamiana liczby binarnej na heksadecymalną
Nasza liczba dziesiętna 69 to binarnie: Algorytm zamiany liczby binarnej na heksadecymalną jest następujący: dzielimy liczbę binarną na tzw. kęsy o długości 4 bity (licząc od ostatniej pozycji) czyli: Dla każdego kęsa znajdujemy wartość dziesiętną i zapisujemy ją w postaci heksadecymalnej binarnie dziesiętnie heksadecymalnie tak więc: 45(16)=4* *160=64+5=69 Danuta Stanek

8 Cyfry heksadecymalne i odpowiadające im liczby binarne
Cyfra H Liczba binarna Cyfra hex 0000 8 1000 1 0001 9 1001 2 0010 A 1010 3 0011 B 1011 4 0100 C 1100 5 0101 D 1101 6 0110 E 1110 7 0111 F 1111 Danuta Stanek

9 System heksadecymalny(16)
Zapisać liczbę heksadecymalną 7CD5H w postaci liczby binarnej 7CD5H =0111t 1100t 1101t 0101t 7CD5H = B 3A8H= B FFH = H = 255D Jeden bajt może być przedstawiony za pomocą dwóch liczb heksadecymalnych od 0 do FF Danuta Stanek

10 Charakterystyka dowolnego systemu pozycyjnego:
Podstawą będzie liczba naturalna p większa od 1 (dla p = 1 system pozycyjny degraduje się do systemu karbowego). System posiada p cyfr: 0,1,2, ..., (p - 1). Ostatnia cyfra jest zawsze o 1 mniejsza niż podstawa p. Kolejne wagi pozycji będą przyjmowały wartość kolejnych potęg podstawy systemu: pozycja 0 - p0 pozycja 1 - p1 pozycja 2 - p2, itd. Wynika stąd prosty wniosek, iż waga każdej następnej pozycji jest p-razy większa od wagi poprzedniej pozycji. Danuta Stanek

11 Wagi 4 pozycji w różnych systemach liczbowych
Podstawa p Wartości wag pozycji pozycja 4 pozycja 3 pozycja 2 pozycja 1 pozycja 0 2 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1 3 34 = 81 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = 1 4 44 = 256 43 = 64 42 = 16 41 = 4 40 = 1 5 54 = 625 53 = 125 52 = 25 51 = 5 50 = 1 6 64 = 1296 63 = 216 62 = 36 61 = 6 60 = 1 7 74 = 2401 73 = 343 72 = 49 71 = 7 70 = 1 8 84 = 4096 83 = 512 82 = 64 81 = 8 80 = 1 9 94 = 6561 93 = 729 92 = 81 91 = 9 90 = 1 10 104 = 10000 103 = 1000 102 = 100 101 = 10 100 = 1 Danuta Stanek

12 Wartość dziesiętna liczby w systemie pozycyjnym o podstawie p
an-1an-2...a2a1a0 ma wartość an-1 pn-1 + an-2 pn-2 + ... + a2 p2 + a1 p1 + a0 p0 gdzie: a - cyfra danego systemu o podstawie p ai - cyfra na i-tej pozycji, i = 0, 1, 2, ... , n-1 n - ilość cyfr w zapisie liczby p - podstawa systemu pozycyjnego Danuta Stanek

13 1 4 Ułamek 5 6 7 8 3 2 9 Wagi pozycji 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3
10-4 10-5 Cyfry zapisu    5 6 7   8  3  2  9   1   4  Numery pozycji   3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 Część całkowita Część ułamkowa Danuta Stanek

14 Znajdź rozwinięcie dziesiętne ułamka 23,625
Liczba(a)2 = , 0,625 * 2 a-1 (1),250 * 2 a-2 (0),500 * 2 a-3 (1),000 * 2 a-4 (0), a-m 0 L(a)10=23,625 L(a)2 =? 23=11*2+1 a0 11= 5*2+1 a1 5= 2*2+1 a2 2= 1*2+0 a3 1= 0*2+1 a4 0= 0*2+0 a an-2 Danuta Stanek