Pobierz prezentację
Pobieranie prezentacji. Proszę czekać
1
Sterowalność - osiągalność
Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability)
2
Systemy ciągłe Sterowalność stanu Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie sterowalny lub krócej sterowalny
3
Sterowalność systemu System sterowalny System liniowy jest sterowalny w skończonym przedziale czasu , jeżeli istnieje wejście , które przeprowadzi system z dowolnego stanu do stanu zerowego Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu na który nie można oddziaływać przez jakiekolwiek wejście systemu, wówczas system jest niesterowalny
4
Dodatek A – przykłady zastosowania testu SSC LS1 – test Kalmana
Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego - testy System liniowy stacjonarny (twierdzenie SSC LS1) jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności Dodatek A – przykłady zastosowania testu SSC LS1 – test Kalmana
5
Dodatek B – Inne testy i przykład zastosowania – test Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a
Dodatek C – Inne testy i przykład zastosowania - test dla systemów z jednokrotnymi wartościami własnymi
6
Sterowalność a przekształcenia podobieństwa
Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa
7
Osiągalność stanu Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny
8
Osiągalność systemu System osiągalny System liniowy Jest osiągalny w skończonym przedziale czasu , jeżeli istnieje wejście , które przeprowadzi system do dowolnego stanu ze stanu zerowego Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który nie jest osiągalny, wówczas system jest nieosiągalny
9
Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne
Osiągalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny (twierdzenie OSC LS1) jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu
10
System ciągły sterowalny system ciągły osiągalny
Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne System ciągły sterowalny system ciągły osiągalny
11
Systemy dyskretne Dodatek D – przykład systemu dyskretnego posiadającego cechę sterowalności, ale nie posiadającego cechy osiągalności Wniosek z przykładu: Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu do systemów dyskretnych stwierdzać posiadanie cechy osiągalności
12
System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny
W ogólności zatem System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny Implikacja ta zachodzi dla przypadków, gdy AD jest osobliwa, w przeciwnym przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych: System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny
13
Osiągalność stanu Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny
14
Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego
Twierdzenie OSD LS1 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności
15
Dodatek E - Inne testy osiągalności systemów dyskretnych
16
Dla systemów dyskretnych sterowalność i osiągalność nie są równoważne
Sterowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie SSD LS1 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu
17
Sterowalność wyjścia Twierdzenie SW LS1 Wyjście liniowego systemu stacjonarnego jest sterowalne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy o wymiarze qxnm jest równy q (q – wymiar przestrzeni wyjścia)
18
Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę
19
Dodatek A
20
Przykład 1. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności
21
Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów)
22
Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności
ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu
23
Transmitancja systemu
Konstruujemy macierz sterowalności stąd
24
Macierz sterowalności jest niezależna od współczynników licznika transmitancji systemu
Wyznacznik macierzy sterowalności Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy współczynników wielomianu charakterystycznego a0, a1 oraz a2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu
25
Przykład 3. Konstruujemy macierz sterowalności Dwa stany sterowalne, dwa niesterowalne
26
Przykład 4. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny
27
Przykład 5. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny
28
Dodatek B Inne testy Testy Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a (SSC LS2 i przykłady zastosowania testów
29
Testy Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a
Zwykle i-ty wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej macierzy A jest definiowany Ze względu na porządek mnożenia, tak określony wektor własny vi jest nazywany prawostronnym wektorem własnym Podobnie można zdefiniować lewostronny wektor własny wi Dokonując transpozycji Widać: lewostronne wektory własne A są prawostronnymi wektorami własnymi AT
30
Twierdzenie SSC LS2 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny jednocześnie do wszystkich kolumn macierz B
31
Twierdzenie SSC LS3 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+p) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Testy sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 lub 3 nosi nazwę testów Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a
32
Przykład 6 Test sterowalności Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Lewostronne wektory własne dla
33
Patrząc na nietrudno spostrzec, że System jest niesterowalny
34
Dodatek C Inne testy Testy dla systemów z jednokrotnymi wartościami własnymi i przykład zastosowania
35
Twierdzenie SSC LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B nie ma wierszy zerowych
36
Przykład 7. Układ elektryczny; wejście – napięcie u, wyjście - prąd y Budowa modelu Równania bilansowe Zależność wiążąca Różniczkując zależność wiążącą i podstawiając do drugiego równania bilansowego
37
Wybierając zmienne stanu
Równania stanu Równanie wyjścia System z natury ma diagonalną strukturę – możemy zastosować Twierdzenie 4 jeżeli wartości własne są jednokrotne
38
Wartości własne Ponieważ obydwa wiersze macierzy B są zawsze niezerowe – system jest sterowalny, jeżeli tylko wartości własne są jednokrotne Macierz testu Kalmana
39
Wyznacznik macierzy Kalmana
Jeżeli wartości parametrów elementów układu Równania stanu Równanie wyjścia Wartość własna dwukrotna
40
Wyznacznik macierzy Kalmana
Schemat blokowy układu Równania stanu są niezależne Odpowiedzi stanu gdzie, , x10 i x20 – warunki początkowe
41
Do stanu końcowego można doprowadzić system tylko ze stanów początkowych a nie ze wszystkich
42
Dodatek D
43
Przykład 8. Rozważmy system dyskretny Równania dla poszczególnych stanów maja postać: W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo: Weźmy dowolny stan Wybierając sterowanie
44
Przeprowadzimy system do stanu
dla Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji Drugi stan jest równy zero dla wszystkich niezależnie od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek indziej System nie posiada zatem cechy osiągalności
45
Inne testy osiągalności systemów dyskretnych
Dodatek E Inne testy osiągalności systemów dyskretnych
46
Twierdzenie OSD LS2 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz AD , taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz BD
47
Twierdzenie OSD LS3 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+m) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 lub 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a
48
Twierdzenie OSD LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz BD nie ma wierszy zerowych
Podobne prezentacje
© 2024 SlidePlayer.pl Inc.
All rights reserved.