Dynamika bryły sztywnej

Prezentacja na temat: "Dynamika bryły sztywnej"— Zapis prezentacji:

1 Dynamika bryły sztywnej
rAB B A Bryła sztywna – zbiór punktów, przy czym dla dowolnych dwóch punktów A i B ich wzajemna odległość rAB jest stała w czasie, niezależnie od przyłożonej siły.

2 Energia kinetyczna i-tego punktu materialnego
Energia kinetyczna układu punktów materialnych moment bezwładności układu punktów materialnych względem danej osi obrotu moment bezwładności bryły sztywnej względem danej osi obrotu Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

3

4 Moment bezwładności walca
Jak obliczyć moment bezwładności względem innej osi?

5 Oś obrotu przechodzi przez punkt P
Twierdzenie Steinera współrzędne środka masy współrzędne punktu P Współrzędne wybranego elementu masy mi względem środka masy i względem punktu P Odległość punktu P od środka masy a moment bezwładności masy mi względem punktu P

6 Moment bezwładności względem osi przechodzącej przez P
Jeśli początek układu współrzędnych znajduje się w środku masy, to

7 Twierdzenie Steinera

8 Moment pędu (kręt)

9 Moment siły Zależność między momentem siły i przyspieszeniem kątowym
Punkt materialny porusza się po okręgu pod wpływem siły F. Przemieszczenie liniowe przy obrocie o kąt d Praca wykonana przez siłę F y x chwilowy moment siły Fcos - składowa siły F styczna do toru

10 Praca wykonana w jednostce czasu jest równa przyrostowi energii
kinetycznej II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego wokół stałej osi obrotu

11 Ogólna postać II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego
Szybkość zmian momentu pędu jest równa momentowi siły

12 Zasada zachowania momentu pędu
Moment pędu jest stały gdy nie działa zewnętrzny moment siły. Siła centralna moment siły centralnej

13 Związek pomiędzy krętem a prędkością kątową

14 Ruch w układzie środka masy
Moment pędu układu N punktów materialnych

15 moment pędu środka masy względem środka masy, nie zależy od wyboru początku układu współrzędnych
moment pędu środka masy względem początku układu, zależy od wyboru początku układu współrzędnych Jeśli początek układu współrzędnych wybierzemy w środku masy, to Jeśli moment sił zewnętrznych jest równy zeru, to moment pędu względem środka masy jest stały

16 Bąk symetryczny – bryła o symetrii obrotowej, obracająca się wokół
ruchomej osi obrotu - żyroskop z y x

17

18 Siły działające na bąk: siła ciężkości i siła reakcji podłoża
Siły działające na bąk: siła ciężkości i siła reakcji podłoża. Niezerowy moment siły obracają się wokół osi obrotu z bąka z prędkością kątową to zmiana wektora krętu musi być równoległa do Ponieważ Zmiana wektora krętu jest prostopadła do wektora krętu

19 Zmiana wektora krętu w czasie dt
i kręt bąka jest równy jest bardzo małe i Nowy kręt ma tę samą wartość lecz zmieniony kierunek. Koniec wektora krętu zakreśla okrąg w płaszczyźnie poziomej Wektor krętu zakreśla powierzchnię stożka - precesja Jaka jest prędkość kątowa tej precesji?

20

21 Wartość momentu siły Częstość precesji nie zależy od kąta Im większy kręt tym częstość mniejsza

22 Tensor bezwładności są równoległe
W ogólności kąt między jest różny od zera Moduły tych wektorów są do siebie proporcjonalne gdy każda składowa wektora K zależy liniowo od prędkości kątowej.

23 I – współczynniki proporcjonalności o wymiarze momentu bezwładności
I – współczynniki proporcjonalności o wymiarze momentu bezwładności. Są one składowymi tensora II rzędu Dla ciała o dowolnym kształcie i rozkładzie masy moment pędu nie jest prostym iloczynem wielkości skalarnej pomnożonej przez wektor prędkości kątowej – w ogólnym przypadku jego kierunek jest inny niż kierunek ω – jest to przyczyną skomplikowanych zachowań wirującej bryły sztywnej.

24 Moment pędu

25 Rzut wektora na oś 0x

26 Tensor bezwładności

27 z środek masy 2c y dz dy 2a 2b x

28 Dla bryły sztywnej Element masy

29

30

31 główne momenty bezwładności
główne momenty bezwładności. Osie układu współrzędnych są osiami głównymi bezwładności – są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w środku masy ciała.

32 Wyznaczyć moment bezwładności cienkiej powłoki sferycznej o promieniu r i gęstości powierzchniowej  względem osi przechodzącej przez jej środek. Ze względu na symetryczny rozkład masy względem środka

33 Dla bryły sztywnej Dla każdego składnika istnieje równy co do wartości bezwzględnej lecz przeciwnego znaku Średnia Również

34 Masa powłoki sferycznej
Suma współczynników na przekątnych

35 Wyznaczyć moment bezwładności jednorodnej kuli promieniu r i gęstości  względem osi przechodzącej przez jej środek. Masa kuli