Modele sieci społecznych Leszek Bukowski

Plan spotkania Grafy losowe[ER] Sześć stopni separacji i wartość Erdősa Model Duncana Wattsa i Stevena Strogatza Sieci bezskalowe

Modelowanie sieci – po co? Aby opisać siły strukturalne występujące w sieci z większym niż przypadkowe prawdopodobieństem; Aby stworzyć sieci modelowe, którą mogą służyć do porównywania z sieciami empirycznymi. Bo to fajne;)

Model grafu losowego Tradycyjnie grafy w matematyce są konstruowane z czystym prawdopodobieństwem (p). Paul Erdős i Alfréd Rényi rozpoczęli budowę teorii grafów losowych; Graf losowy to zbioryG={V,E}, gdzie V to węzły, a E to krawędzie łączące elementy V.

Grafy losowe W grafie występuje możliwych krawędzi. Graf losowy jest oznaczaony jako GNp (Gilbert Random Graph). Teorie grafów losowych dot. Właściwości przestrzeni prawdopodobieństwa losowych grafów z N→∞ i p →1. Erdős i Rényi – rozpocznij od N węzłów i każdą parę połącz z prawdopodobieństwem p tworząc graf z około |E|=pN(N-1)/2 krawędziami.

Ewolucja grafu losowego, N=10 p=0.05 p=0.1 p=0.5 p=0.3

ER; p=0.3, N=100, E=2962

ER; p=0.5, N=100, E=4828

ER; p=0.7, N=100, E=6982

Rozkład stopnia w grafach losowych Erdős i Rényi pokazali, że rozkład stopnia aproksymuje rozkład normalny, a dokładniej rozkład Poissona (Uniform distribution). Rozkład stopnia dla G: N=10000, p=0,0012.

Ale… Sieci empiryczne wykazują inne właśności, niespotykane w grafach losowych. Pierwszą hipotezę postawił na ten temat Stanley Milgram: w oparciu o powieść Karinthy’iego Frigyesa i zwrotu „sześć stopni separacji” postanowił sprawdzić, ile ludzi dzieli od siebie wszystkich ludzi.

Sześć stopni separacji Milgram poprosił 296 ludzi z Nebraski i Kansas w USA, aby wysłali listy do pewnej osoby w Bostonie.

Sześć stopni separacji

Sześć stopni separacji Wśród listów, które dotarły do adresatów (232) średnia ścieżka składała się z 5,5 steps (kilka pojawiło się w 2 krokach, a kilka w 9). Millgram nazwał to zjawisko „małym światem”.

Model WS Watts i Strogatz zaproponowali model generowania sieci poddających się prawu małych światów. 1) Rozpoczynając od uporządkowanej sieci z N węzłami, w której każdy węzeł jest połączony ze swoimi k sąsiadami (klasycznie k=2) (k/2 po obu stronach) 2) Losowo zmień istniejące krawędzie z prawdopodobieństwem p (wyłącząjąc pętle i powtarzające się połączenia). Efektem tego procesu jest pNK/2 krawędzi łączących węzły, które inaczej nie były by połączone.

Współczynnik sklastrowania (Clustering Coefficient) (CC) Jedną z miar modelu WS jest współczynnik sklastrowania dla najbliższego sąsiedztwa G węzła v.

Związek C(C) i długości ścieżek L(p) w sieciach WS

Rozkład bezskalowy (potęgowy) Watts i Strogatz zapoczątkowali modelowanie sieci empirycznych, jednakże Albert-László Barabási i Réka Albert (1999) wykazali, że prawdopodobieństwo przyjęcia przez węzeł k linkó wysnosi: gdzie

Przykład rozkładu potęgowego, |V|=2090 Długi ogon Węzły o największym stopniu

Rozkład bezskalowy na skali logarytmicznej|V|=2090

WWW, |V|=2*108,γin=2,1, γout=2,72 A. Broder, R. Kumar, F. Maghoul, P. Raghavan, S. Rajalopagan, R. Stata, A. Tomkins , J. Wiener 2000

To działa prawie wszędzie!

Rozkład bezskalowy Dla wszystkich sieci poddających się rozkładowi bezskalowemu, najciekawszym zjawiskiem jest duża szansa bycia w sąsiedztwie węzła o wysokim stopniu (znacząco powyżej średniej). Węzły te to „huby”.