TEORIA I ZASTOSOWANIA ANALIZY FALKOWEJ OBRAZÓW cz. III Prof. dr hab. Jan T. Białasiewicz

Przetwarzanie obrazow za pomoca transformaty falkowej

Wprowadzenie: skalowanie i przesuwanie falki

Wprowadzenie: falka i funkcja skalujaca Mayera Funkcja skalujacaFalka

Wprowadzenie: algorytm dekompozycji wielorozdzielczej Mallata

Wprowadzenie: proces rekonstrukcji sygnalu

Cyfrowa reprezentacja obrazow Obraz reprezentuje macierz zlozona z elementow obrazu (pixels). Kazdy element charakteryzuje sie pewna intensywnoscia. Kazdy wiersz i kolumna moga byc uwazane za sygnaly jednowymiarowe.

Transformata Falkowa Dyskretna (TFD) Za pomoca filtrow dolnoprzepustowych i gornoprzepustowych analizuje obraz w roznych zakresach czestotliwosci (o roznych rozdzielczosciach) poprzez jego dekompozycje na reprezentacje zgrubna zwana aproksymacja i reprezentacje dokladna zlozona z ciagu obrazow zwanych detalami. Filtr dolnoprzepustowy TFD odpowiada funkcji skalujacej transformaty falkowej ciaglej (TFC). Filtr gornoprzepustowy TFD odpowiada falce TFC.

Relacja miedzy TFC i TFD Funkcja skalujaca o skali s: ф s (t) = 1/sqrt(s) ф(t/s) gdzie ф(t) jest funkcja skalujaca o skali 1. Odpowiada dyskretnemu filtrowi dolnoprzepustowemu, h[n] Falka o skali s: ψ s (t) = 1/sqrt(s) ψ(t/s) gdzie ψ(t) jest falka podstawowa (o skali 1). Odpowiada dyskretnemu filtrowi gornoprzepustowemu, g[n]

Transformata falkowa dyskretna Na kazdym poziomie dekompozycji nowa aproksymacje sygnalu uzyskuje sie poprzez jego filtracje dolnoprzepustowa i probkowanie diadyczne (czyli usuwanie co drugiego elementu). Uzyskana nowa aproksymacja, podlegajaca przetwarzaniu w nastepnym kroku, ma dwukrotnie nizsza rozdzielczosc. Jednoczesnie, za pomoca filtracji gornoprzepustowej, zostaja wydzielone detale z aktualnej aproksymacji obrazu. Detale nie podlegaja przetwarzaniu w procesie dalszej dekompozycji.

Wyznaczanie aproksymacji i detali Wspolczynniki falkowe dla dowolnej skali wyznacza sie za pomoca dwuwymiarowych splotow rozlacznych. Sprowadza sie to do wyznaczania splotow jednowymiarowych wzdluz wierszy i kolumn obrazu.

Wyznaczanie aproksymacji i detali Wiersze aproksymacji a j przepuszcza sie przez filtr gornoprzepustowy i filtr dolnoprzepustowy i otrzymuje sie dwa obrazy. Kolumny tych dwoch obrazow przepuszcza sie przez filtr gornoprzepustowy i filtr dolnoprzepustowy. Otrzymane w wyniku tej procedury cztery obrazy poddaje sie probkowaniu diadycznemu, co sprowadza sie do odrzucenia co drugiego wiersza i co drugiej kolumny. Procedure ta powtarza sie w celu otrzymania dalszych dekompozycji o nizszej rozdzielczosci.

Dekompozycja dwuwymiarowa aproksymacja HP LP 22 2 ajaj h[n] g[n] HP 2 g[n] HP 2 LP 2 h[n] g[n] Wiersze a j+1 d 1 j+1 d 2 j+1 d 3 j+1 Kolumny detal poziomy detal pionowy detal diagonalny

Zwiazek pomiedzy filtrem dolnoprzepustowym i gornoprzepustowym Jest okreslony rownaniem g[L+1-n] = (-1) n-1 h[n], L-liczba elementow filtra. Filtry spelniajace ten warunek nosza nazwe sprzezonych filtrow lustrzanych.

Odwrotna transformata falkowa dyskretna Rekonstrukcji obrazow dokonuje sie w odwrotnej kolejnosci niz ich dekompozycji. Najpierw podwaja sie czestotliwosc probkowania aproksymacji i detali z ostatniego poziomu dekompozycji i przepuszcza sie je przez filtry syntezy, ĝ[n] i ĥ[n], a wyniki dodaje sie otrzymujac aproksymacje poprzedniego poziomu. Filtry syntezy otrzymuje sie odwracajac kolejnosc elementow filtrow analizy.

Rekonstrukcja dwuwymiarowa ĝ[n] ĥ[n] HP 2 LP HP 2 LP 2 HP ĝ[n] ajaj a j+1 d 1 j+1 d 2 j+1 d 3 j+1 Kolumny Wiersze

Terminologia i uwagi Przedstawiony proces filtracji i diadycznego probkowania jest znany pod nazwa diadycznej transformaty falkowej. A zatem proces podwajania czestotliwosci probkowania i filtracji odwrotnej jest odwrotna diadyczna transformata falkowa. Jesli uzywane filtry nie sa idealnymi filtrami polpasmowymi, to idealna rekonstrukcja nie moze byc zrealizowana. Najbardziej znanymi filtrami polpasmowymi sa filtry Daubechies generowane przez falki Daubechies. Filtry Daubechies sa lustrzanymi filtrami sprzezonymi.

Czteroelementowe filtry Daubechies g[L+1-n] = (-1) n-1 h[n] ĥ[n] = h[-n] ĝ[n] = g[-n] Filtr dolnoprzepustowy analizy: h[n] = [ – ] Filtr gornoprzepustowy analizy: g[n] = [ – ] Filtr dolnoprzepustowy syntezy: ĥ[n] = [ ] Filtr gornoprzepustowy syntezy: ĝ[n] = [ ]

Algorithme à Trous Jest inna realizacja diadycznej transformaty falkowej. Zamiast filtrow Daubechies uzywane sa filtry generowane przy uzyciu gausowskiej funkcji skalujacej i falki bedacej pochodna tej funkcji. Filtry te nie sa lustrzanymi filtrami sprzezonymi.

Funkcje generujace filtry dla Algorithme à Trous FALKAFUNKCJA SKALUJACA

Filtry uzywane przez Algorithme à Trous Filtr dolnoprzepustowy analizy: h[n] = [ ] Filtr dolnoprzepustowy syntezy: ĥ[n] = [ ] Filtr gornoprzepustowy analizy: g[n] = [ ] Filtr gornoprzepustowy syntezy: ĝ[n] = [ ]

Dekompozycja za pomoca Algorithme à Trous W celu unikniecia nieciaglosci zwiazanych z brzegami obrazu dokonujemy filtracji za pomoca splotu kolowego. Przechodzac do nastepnego poziomu dekompozycji, wydluzamy filtry wprowadzajac 2 j -1 zer pomiedzy ich elementy. Jest to proces wprowadzania “dziur” (trous po francusku). Nie ma elementu probkowania diadycznego – jest tylko wydluzanie filtrow.

Aproksymacje za pomoca Algorithme à Trous Generujac aproksymacje a j+1, najpierw przesuwamy w lewo 2 j-1 razy kolumny a j, gdzie j jest poziomem dekompozycji. Dokonujemy filtracji przesunietych kolumn za pomoca splotu kolowego, uzywajac filtr dolnoprzepustowy, h[n]. Podobnie przesuwamy i filtrujemy wiersze, uzywajac h[n]. Wynikiem jest aproksymacja obrazu na poziomie j+1.

Detale za pomoca Algorithme à Trous Detale poziome otrzymujemy filtrujac najpierw kolumny a j uzywajac filtr gornoprzepustowy g[n], a nastepnie przesuwajac te kolumny 2 j razy w lewo. Detale pionowe otrzymujemy filtrujac najpierw wiersze a j uzywajac filtr gornoprzepustowy g[n], a nastepnie przesuwajac te wiersze 2 j razy w lewo.

Dekompozycja za pomoca Algorithme à Trous HP LP h[n] g[n] HP g[n] a j+1 d 1 j+1 d 2 j+1 Kolumny ajaj Wiersze aproksymacja detal pionowy detal poziomy

Rekonstrukcja za pomoca Algorithme à Trous Rekonstrukcje wykonuje sie w odwrotnej kolejnosci niz dekompozycje. Odwrotny jest rowniez kierunek przesuniecia, w prawo zamiast w lewo. Przechodzac do kolejnego poziomu rekonstrukcji (czyli zmniejszajac j o jeden), wydluzamy filtry wprowadzajac 2 j -1 zer pomiedzy ich elementy. Filtry ĝ[n] i ĥ[n] sa filtrami syntezy. Obrazy otrzymywane na kolejnych poziomach (w postaci aproksymacji i detali) sa dodawane i mnozone przez ¼. Wynikiem jest aproksymacja nizszego poziomu.

Rekonstrukcja za pomoca Algorithme à Trous HP LP h[n] g[n] HP g[n] ajaj d 1 j+1 d 2 j+1 Wiersze a j+1 Kolumny x ¼ + +

Maksima Modulu Transformaty Falkowej (MMTF) Wykorzystujac MMTF obrazu mozemy dokonac jego kompresji. Elementy obrazu, odpowiadajace MMTF, reprezentuja te czesc obrazu, w ktorej wystepuja skokowe zmiany amplitudy transformaty. Stanowia one strukture obrazu. Odpowiadaja one krawedziom lub punktom osobliwym obrazu. MMTF obrazu oryginalnego tworza obrazy reprezentujace jego krawedzie.

Reprezentacja obrazow za pomoca MMTF Wykorzystuje sie wspolczynniki falkowe wyznaczone za pomoca algorithme à trous. Modul transformaty falkowej, MTF, oblicza sie dla kazdego elementu obrazu na kazdym poziomie dekompozycji. Argument czyli kat transformaty falkowej wyznacza sie dla kazdego elementu obrazu na kazdym poziomie dekompozycji.

Reprezentacja obrazu za pomoca MMTF Modul Transformaty Falkowej (MTF): M j f(x,y) = sqrt[d 1 j (x,y)^2 + d 2 j (x,y)^ 2] Argument Transformaty Falkowej (ATF): A j f(x,y) = tan -1 [d 1 j (x,y)/d 2 j (x,y)]

Rekonstrukja obrazu przy uzyciu MMTF Wykorzystujac MTF i ATF znajdujemy punkty (elementy), w ktorych wystepuja maksima transformaty falkowej. Na kazdym poziomie dekompozycji tworzymy maske zlozona z tych ponktow. Reprezentuje ona krawedzie i punkty osobliwe obrazu.

Rekonstrukja obrazu przy uzyciu MMTF Na kazdym poziomie dekompozycji zachowujemy tylko detale odpowiadajace elementom maski dla tego poziomu. Detale pozostalych elementow obrazu zastepujemy zerami. Wynikiem tego jest znaczna kompresja reprezentacji obrazu. Dodatkowa kompresje mozemy uzyskac poprzez dyskryminacje progowa zachowanych detali obrazu.

Rekonstrukja obrazu przy uzyciu MMTF Wlasciwej rekonstrukcji dokonujemy przy uzyciu algorytmu iteracyjnego znanego jako algorytm sprzezonego gradientu (ASG). Filtry syntezy sa odwroconymi filtrami analizy. Uklad filtrow, realizujacych ten algorytm, jest taki sam jak dla odwrotnego algorithme à trous.

Wynik rekonstrukcji obrazu poddanego kompresji przy uzyciu MMTF po 15 iteracjach ASG Obraz oryginalny Obraz zrekonstruowany SNR = 23dB

Zastosowania medyczne reprezentacji MMTF obrazow Kompresja obrazow medycznych prowadzi do efektywnwgo przechowywania olbrzymiej ilosci danych. Szybkie i efektywne przesylanie obrazow z mozliwoscia ich rekonstrukcji na poziomie jakosci potrzebnym do postawienia diagnozy prowadzi do skrocenia czasu transmisji (cecha istotna w systemach wielodostepnych). Wczesne wykrywanie nowotworow poprzez uwypuklanie cech obrazu niewidocznych w obrazach oryginalnych.

Kompresja obrazow medycznych Wynikiem kompresji jest obraz zlozony wylacznie ze wspolczynnikow falkowych (detali) odpowiadajacych MMTF na roznych poziomach rozdzielczosci. Umozliwia szybki rekurencyjny proces rekonstrukcji do poziomu jakosci obrazu potrzebnego do postawienia diagnozy (pozwala uniknac przesylania zbednych danych w systemach wielodostepnych).

Przyklad rekonstrukcji po kompresji ORIGINAL IMAGE RECONSTRUCTED IMAGE Obraz oryginalny, poddany kompresji MMTF i zrekonstruowany.

Wczesne wykrywanie nowotworow Powiedzmy, ze normalna interpretacja obrazu CT nie daje rozstrzygajacej diagnozy i konieczne jest wykonanie biopsji. Wykorzystanie analizy falkowej obrazu CT moze pomoc w uzyskaniu dodatkowych informacji.

Wczesne wykrywanie nowotworow Uzyskuje sie uwypuklenie cech obrazu niewidocznych w obrazie oryginalnym. Wykorzystuje sie zmiany intensywnosci obrazu na jego krawedziach. Wykrywanie krawedzi realizowane jest za pomoca detekcji MMTF (dwuwymiarowej diadycznej transformaty falkowej) na odpowiednich poziomach skali (rozdzielczosci).

Wczesne wykrywanie nowotworow Powstaje obraz krawedzi analizowanego obrazu. Przy przechodzeniu do nizszych zakresow czestotliwosci, to znaczy w miare zwiekszania skali transformaty diadyczej, ilosc krawedzi normalnie maleje. W pewnych zakresach czestotliwosci w rejonie nowotworu zachodzi zjawisko odwrotne: przy zwiekszeniu skali pojawia sie wieksza ilosc krawedzi, co oznacza, ze struktura tkanki jest w tym rejonie bardziej zlozona.

Analizowany obraz Obraz przekroju szyji z zaznaczonym rejonem nowotworu

MMTF przy skali 2

MMTF przy skali 4

MMTF przy skali 8

Podsumowanie Najistotniejsza informacja zawarta jest w reprezentacji obrazow w postaci ich krawedzi. Pozwala ona na ich znaczna kompresje oraz znajdowanie charakterystycznych elementow strukturalnych. Krawedzie obrazow medycznych, stanowiace reprezentacje ich istotnych cech w roznych zkresach czestotliwosci, powinny byc pomocne w diagnostyce medycznej opartej na wykrywaniu zmian struktury tkanki.