KNW - wykład 3 LOGIKA MODALNA

Logika modalna inspiracje syntaktyka semantyka wnioskowanie - translacja

Logika modalna Formalizacja zdań języka naturalnego wyrażanie pojęć takich jak czas wiedza konieczność wiarygodność ...

Logika modalna W logice klasycznej prawdziwość formuły zależy jedynie od prawdziwości formuł składowych Jan poszedł na spacer lub do pracy W logice modalnej prawdziwość formuły zależy także od innych okoliczności Jest możliwe, że Jan poszedł do pracy Jutro będzie padał deszcz

Logika modalna Dostosowanie formalnej implikacji do potocznych zdań warunkowych (C.L. Lewis, 1912) w logice klasycznej nie zakłada się związku treściowego poprzednika implikacji z następnikiem w implikacji ścisłej wprowadzonej przez Lewisa: p implikuje q to znaczy, że nie jest możliwe że (p  ~q)

Logika modalna „...nie ma matematyków, którzy by w praktyce matematycznej stosowali logikę modalną. Mimo to istnieje tu wiele problemów ciekawych samych przez się.” A. Grzegorczyk Zarys logiki matematycznej, 1969 „...modalności pozwalają na rozwiązanie znacznie większej gamy problemów zarówno związanych z rozumieniem i przetwarzaniem języka naturalnego i wnioskowaniem...” L. Bolc et al., Wnioskowanie w logikach nieklasycznych, 1995

Logika modalna A  ~(~A) Do klasycznego rachunku zdań dołącza się operatory „konieczności”  i „możliwości” : jeżeli A jest formułą to jest nią także A oraz A dualność operatorów  oraz : A  ~(~A)

Logiki modalne

Logika modalna Opis przy pomocy postulatów jakie powinna dana logika spełniać Podanie opisu semantycznego i na tej podstawie dobór odpowiedniej metody wnioskowania

Przykład Reprezentacja wiedzy w bazach danych i wnioskowanie na jej temat: logika epistemiczna, tzn. A oznacza, że A jest wiadome, natomiast A odczytujemy jako bieżący stan wiedzy dopuszcza A Można teraz postulować, aby modalności te spełniały następujące wymagania:

Przykład  A  A : jeśli jest wiadome że A, to również A jest możliwe ze względu na bieżący stan wiedzy (nie da się odrzucić A na podstawie wiedzy zawartej w bazie danych);  A  A : jeśli A jest wiadome, to wnioskujemy, że A; A  A : spełnialność A implikuje, że A jest niesprzeczne z bieżącą wiedzą

Czy schematy te są niesprzeczne? Czy wystarczająco dobrze opisują wiedzę? Czy któryś nie wynika z pozostałych? Jak na ich podstawie wnioskować? Badania semantyczne

Klasyfikacja logik modalnych do klasycznego rachunku zdań dołącza się aksjomat:  (A  B)  (A  B), oraz regułę wnioskowania (regułę generalizacji): A|-  A logika K

Klasyfikacja logik modalnych Poszczególne logiki modalne definiuje się poprzez własności operatorów modalnych: D:  A  A T:  A  A E: A   A B:  A  A W:  (A  A)  A ... KT, KTB, KD, ... >

Semantyka - możliwe światy Kripkego Oprócz prawdziwego stanu rzeczy, są jeszcze możliwe inne stany, zwane „światami”, w których potencjalnie możemy się znaleźć, a może już jesteśmy, tylko o tym nie wiemy

MODELE KRIPKEGO Strukturą Kripkego nazywa się dowolny system relacyjny <W,R>, gdzie W jest zbiorem światów a R jest relacją binarną określoną na W. Modelem Kripkego nazywa się trójkę <K,w,v>, gdzie K=<W,R>, wW - wyróżniony świat, zaś v jest funkcją v:FxW {T,F} przyporządkowującą wartości logiczne zdaniom w światach

MODELE KRIPKE’GO Grafy skierowane, dla których wierzchołków (możliwych światów) określamy wartościowania logiczne dla pewnych zmiennych zdaniowych

PRZYKŁAD W={W1, W2, W3, W4} R={(W1,W2), (W1,W3), (W2,W4), (W3,W4), (W4,W1)} L(W1)={-p, q, r} lub {q,r} L(W2)={p, -q, -r} lub {p} itd W1: p = 0; q = 1; r = 1 W2: p = 1; q = 0; r = 0 W4: p = 1; q = 1; r = 1 W3: p = 0; q = 0; r = 1

PRAWDZIWOŚĆ ZDAŃ Niech dane będą: model Kripke’go K, zdanie  oraz świat W. Wtedy:  jest prawdziwe w W (K,W |- ), jeśli jest prawdziwe dla wartościowania w W;  jest prawdziwe w K (K |- ), jeśli jest prawdziwe w każdym W należącym do K

OPERATORY MODALNE Niech dane będą: model Kripke’go K, zdanie  oraz świat W. Wtedy:   jest prawdziwe w W (K,W|-  ), jeśli jest prawdziwe we wszystkich światach V, do których prowadzą strzałki z W   jest prawdziwe w W (K,W|-  ), jeśli jest prawdziwe w przynajmniej jednym V, do którego prowadzi strzałka z W

PRZYKŁADOWE ZADANIE Czy K,W1 |-  ( p  (q  r)) ?

Wnioskowanie Jakie własności relacji R (określającej strukturę Kripkego) odpowiadają poszczególnym schematom modalnym? Automatyzacja wnioskowania >

Automatyzacja wnioskowania Jeżeli warunki spełniane przez relację R są formułami logiki klasycznej 1. rzędu, to można do automatyzacji wnioskowania zastosować znane już metody. Automatyczne wnioskowanie w logice modalnej: translacja formuł modalnych na formuły logiki klasycznej a następnie wnioskowanie w oparciu o warunki odpowiadające schematom modalnym (co też można zautomatyzować)

Przykłady translacji formuł

Przykład Program deterministyczny, w którym zawsze wiadomo jaka instrukcja wykonywana jest jako kolejna. Tu światami są stany programu. Wymagamy więc, aby dla każdego świata istniał dokładnie jeden jego następnik Nakłada to na relację R warunek bycia funkcją: x!y R(x,y) lub wymaga przyjęcia schematu modalnego: A  A

Translacja funkcyjna Relacje występujące w translacji relacyjnej można zastąpić jednoargumentowymi funkcjami. Każde zagnieżdżenie modalności powoduje zmianę kontekstu modalnego, np. formuła A oznacza, że: dla każdego świata W1 dostępnego ze świata początkowego W0 istnieje świat W2 dostępny z W1 i spełniający A. Dla każdej funkcji f (zmieniającej kontekst ze świata W0 do W1) istnieje funkcja g (z W1 do W2) taka, że A jest spełnione w świecie g(f(W0)) (czyli w W2)