I ZBIORY JULI ZBIORY FRAKTALNE

MATEMATYCY GUSTAW HERGLOTZ I GASTON JULIA źródło: wikipedia, [dostęp ]

GASTON JULIA Francuski matematyk urodzony w algierskim mieście Sidi Bel Abbes, żył w latach 1893 – 1978, W młodości interesował się matematyką i muzyką! W czasie I wojny światowej służył w wojsku, w wyniku działań wojennych stracił nos, które to miejsce potem przykrywał skórzaną opaską. Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles (traktat o iteracji funkcji wymiernych) to dzieło które stało się popularne.

ITEROWANIE FUNKCJI NIELINIOWEJ Niech będzie dana funkcja z  z 2 Geometryczna interpretacja oznacza, że odpowiednią długość podnosimy do kwadratu a kąt podwajamy. Wybieramy trzy punkty: jeden leżący na okręgu jednostkowym, jeden leżący wewnątrz okręgu a kolejny leżący na zewnątrz okręgu. Iterując otrzymujemy wartości: DługośćKątDługośćKątDługośćKąt z1,010 o 0,910 o 1,2510 o z2z2 1,020 o 0,8120 o 1,5620 o z4z4 1,040 o 0, o 2,4340 o z8z8 1,080 o 0, o 5,9080 o z 16 1, , , z 32 1, , ,

ZACHOWANIE SIĘ ITEROWANYCH PUNKTÓW z0z0 z2z2 z1z1 z3z3 z0z0 z2z2 z1z1 z3z3 z0z0 z2z2 z1z1 z3z3

ZBIÓR UCIEKNIERÓW I ZBIÓR WIĘŹNIÓW Zatem płaszczyznę zespoloną możemy podzielić na dwa podzbiory: Zbiór punktów uciekinierów U – należą tu punkty, które „uciekają” w kolejnych iteracjach Zbiór punktów więźniów W – należą tutaj punkty, które pozostają na obszarze ograniczonym W podanym przykładzie W to dysk o promieniu 1, natomiast U to obszar na zewnątrz dysku. Granicą między W a U jest okrąg jednostkowy i w tym wypadku będziemy go nazywać zbiorem Juli. Pewne wartości początkowe zbioru Julii takie, że |z|=1 generują punkty leżące na okręgu jednostkowym to oznacza, że zbiór Julii jest niezmienniczy pod działaniem przekształcenia.

PUNKTY STAŁE I BASENY PRZYCIĄGANIA Omawiane przekształcenie posiada dwa punkty stałe: 0 i 1, gdzie 0 odpycha a 1 przyciąga. Rozważając iterowanie z 2 na sferze, biegun północny staje się atraktorem dynamiki z  z 2. To pozwala zinterpretować zbiór uciekinierów U jako basen przyciągania – punktu w nieskończoności. Mamy dwa atraktory z odpowiednimi basenami przyciągania: Początek układu współrzędnych z otwartym dyskiem jednostkowym Punkt w nieskończoności z basenem jako zewnętrzną częścią okręgu Zbiór Julii to brzeg wspólny dla obydwu basenów przyciągania Omawiany przykład okręgu nie jest fraktalem ale posiada własności, które są typowe dla zbiorów Julii

ZBIORY JULII DLA RODZINY KWADRATOWEJ Rozważamy przekształcenie: R c (z)=z 2 +c, Poprzedni przykład możemy zapisać jako: R 0 (z)=z 2 Obydwa są brzegami zbioru uciekinierów

DEFINICJE

WYZNACZANIE ZBIORU UCIEKINIERÓW I PROMIEŃ PROGOWY Przy wyznaczaniu zbioru uciekinierów U C obserwujemy, że punkty z k z orbity dążą do nieskończoności jeśli ich wartość bezwzględna jest dostatecznie duża. Przy iterowaniu dużych wartości co do wartości bezwzględnej stałą c można zaniedbać. Wartość tę można wyznaczyć następująco, wykorzystując promień progowy: r(c)= max(|c|,2) Iteracje uciekają do nieskończoności jeśli |z k | przekracza r(c).

DZIAŁANIE Dany punkt początkowy będzie zaliczony do zbioru uciekinierów jeśli wartość bezwzględna pewnej iteracji przekroczy r(c). Problem: punkty uciekają z dysku czasem dopiero po bardzo dużej ilości iteracji, więc należy określić ilość iteracji, po której zaliczamy punkt do zbioru więźniów jeśli wartości bezwzględne nie przekroczą r(c).

PRZYBLIŻANIE ZBIORU UCIEKINIERÓW

PRZYBLIŻANIE PUNKTÓW CIĄG DALSZY

PSEUDOKOD DLA GENEROWANIA ZBIORÓW JULII Nieformalnie piksel o współrzędnych x i y zaznaczamy na czarno, jeżeli z=x+yi należy do Q C (-k). Algorytm: R=max(|c|,2) i=0 while (i<k) if (|z|>R) then return (z należy do zbioru więźniów) end if z=z*z+c; i++; end while return(z nelży do Q_c^(k))

GRA W CHAOS DLA ZBIORÓW JULII

GRA W CHAOS DLA ZBIORÓW JULII OPIS SŁOWNY Wybieramy punkt początkowy w Powtarzaj poniższe czynności: Wylosuj jeden z dwóch przeciwobrazów Zastąp w przez przeciwobraz i wyświetl na ekranie Uwaga jeśli punkt początkowy wybieramy dowolnie to należy pominąć rysowanie na ekranie kilku pierwszych punktów. Jedynie punkt początkowy należący do zbioru Julii będzie generował punkty należące do tego zbioru.

WAŻNE WŁASNOŚCI Zbiór Julii jest niezmienniczy pod działaniem przekształceń odwrotnych do z  z 2 +c ale również po działaniem samego przekształcenia z  z 2 +c. To jest własność zupełnej niezmienniczości. Zbiory Julii są samopodobne. Ponieważ są oparte na przekształceniach nieliniowych, mniejsze fragmenty samego zbioru są fragmentami silnie przekształconymi czasem poskładanymi.

BIBLIOGRAFIA  J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, Wydawnictwa Naukowo- Techniczne, Warszawa 1996;  B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry Of Nature, W. H. Freeman and Company, New York 2000;  T. Martyn, Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji, Nakom Poznan 1996;  T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, wyd. ósme, Oficyna wydawnicza GIS, Wrocław  H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.2, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1996;  Polska wikipedia Dostęp  Angielska wikipedia Dostęp

KONIEC DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ