Doświadczenia trójczynnikowe z krzyżową i zagnieżdżoną strukturą poziomów czynników Część I: Planowanie, modelowanie doświadczeń i analiza wyników Katarzyna Ambroży-Deręgowska, Iwona Mejza Katedra Metod Matematycznych i Statystycznych Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu  

Układy mieszane – kombinacja pewnych układów złożonych typu split-plot i typu split-block (np. LeClerg (1962), Elandt (1964), Gomez i Gomez (1984), Trętowski i Wójcik (1988), Rudnicki i inni (1992), Federer i King (2007))

Czynniki A i B występują: w układzie split-block (strip-plot, pasów prostopadłych), w układzie split-plot (o jednostkach pojedynczo rozszczepionych).

Obiekty trzeciego czynnika są zagnieżdżone w stosunku do kombinacji obiektowych dwóch pierwszych czynników, które są w układzie split-block.

Układ split-block-plot (w skrócie układ SBP) Obiekty trzeciego czynnika są zagnieżdżone w stosunku do kombinacji obiektowych dwóch pierwszych czynników, które są w układzie split-block. Układ split-block-plot (w skrócie układ SBP)

Obiekty trzeciego czynnika są zagnieżdżone w stosunku do obiektów np Obiekty trzeciego czynnika są zagnieżdżone w stosunku do obiektów np. czynnika B (tzn. są w układzie split-plot względem tego czynnika)

Obiekty trzeciego czynnika są zagnieżdżone w stosunku do obiektów np Obiekty trzeciego czynnika są zagnieżdżone w stosunku do obiektów np. czynnika B (tzn. są w układzie split-plot względem tego czynnika) Układ split-plot  split-block (w skrócie układ SPSB)

Obiekty trzeciego czynnika są zagnieżdżone w stosunku do kombinacji dwóch poprzednich czynników, które są w układzie split-plot.

Układ split-split-plot (w skrócie układ SSP) Obiekty trzeciego czynnika są zagnieżdżone w stosunku do kombinacji dwóch poprzednich czynników, które są w układzie split-plot. Układ split-split-plot (w skrócie układ SSP)

Cel prezentacji Przedstawienie metodyki obejmującej planowanie, modelowanie i analizę wyników z doświadczeń z trzema czynnikami zakładanych w układach SBP, SPSB lub SSP. Układy kompletne Układy niekompletne

W literaturze światowej układ split-block-plot (SBP) występuje również pod nazwą układ strip-split-plot (Gomez i Gomez (1984)). Przykład zamieszczony w podrozdziale 4.4 monografii tych autorów opisuje doświadczenie polowe, w którym obserwowano plon ziarna sześciu odmian ryżu (czynnik A) przy trzech dawkach azotu (czynnik B) i dwóch metodach sadzenia (czynnik C).

W polskiej literaturze układ kompletny SBP został dokładnie opisany pod nazwą układ split-block-split-plot: W pracy Trętowskiego i Wójcika (1988) w wersji dla trzech i czterech czynników. Zamieszczony w monografii przykład (str. 391) dotyczy badania plonu ogólnego kapusty białej w zależności od przedplonu (A), metod jego koszenia (B) i nawożenia NPK (C).

W pracy Korsak-Adomowicz (2004) w zastosowaniu do doświadczenia, w którym badano wpływ sposobu przedsiewu uprawy gleby (A), nawożenia azotem (B) oraz odmian (C) na plon ziarna pszenżyta jarego. W pracy Jankowski i inni (2012) badano wpływ odmian, rodzaju podłoża oraz zastosowanych nawozów mineralnych na tempo odrastania traw. W pracy Dopka i inni (2013) badano wpływ rodzaju międzyplonu ścierniskowego, zróżnicowania uprawy pożniwnej i terminu siewu na zmiany wybranych właściwości fizycznych gleby w początkowym okresie wzrostu żyta jarego.

W polskiej literaturze układ kompletny SPSB został dokładnie opisany pod nazwą układ split-plot-split-block. W pracy Kołodziejczyk i inni (2005), badania przeprowadzone w latach 2000 – 2002 dotyczyły wpływu odmiany, nawożenia azotem oraz typu gleby na skłonność do ciemnienia bulw ziemniaka jadalnego.

LeClerg i inni (1962) rozważali układ SPSB w kontekście brakujących obserwacji, podając wzór na oszacowanie brakującej wartości w tym układzie. Problem ten przedstawili na przykładzie hipotetycznego doświadczenia, w którym obserwowano plon w zależności od dwóch sposobów traktowania nasion (A), trzech wariantów uprawy (B) i dwóch gęstości siewu (C).

W polskiej literaturze układ kompletny SSP został dokładnie opisany: W pracy Sulewska i inni (2008) w przeprowadzonym doświadczeniu w Wielkopolsce badano wpływ terminu i gęstości siewu oraz odmian na plon orkiszu. W pracy Panasiewicz i inni (2012) badano wpływ deszczowania, ochrony fungicydowej i nawożenia azotem na zdrowotność pszenżyta ozimego.

Doświadczenia trójczynnikowe (s  t  w) – czynnikowe doświadczenie A: A1, A2,..., As B: B1, B2,..., Bt v = stw C: C1, C2,..., Cw

Układ kompletny split-block

Układ kompletny split-block blok

Układ kompletny split-block k1 = 2 (liczba wierszy)

Układ kompletny split-block k1 = 2 (liczba wierszy) k2 = 3 (liczba kolumn)

Układ kompletny split-block  A1  A2 k1 = 2 (liczba wierszy) k2 = 3 (liczba kolumn)

Układ kompletny split-block  A1  A2 k1 = 2 (liczba wierszy) k2 = 3 (liczba kolumn)

Układ kompletny split-block  A1  Poletko duże A2 k1 = 2 (liczba wierszy) k2 = 3 (liczba kolumn)

Układ kompletny split-block-plot (SBP)  A1  Poletko małe A2 k1 = 2 (liczba wierszy) k2 = 3 (liczba kolumn) k3 = 2 (liczba poletek małych)

Układ kompletny split-block-plot (SBP)  A1  C2 C1 A2 k1 = 2 (liczba wierszy) k2 = 3 (liczba kolumn) k3 = 2 (liczba poletek małych) b → (k1  k2 ) → k3

Układ kompletny split-blok  A1  A2 k1 = 2 (liczba wierszy) k2 = 3 (liczba kolumn I rzędu)

Układ kompletny split-plot  split-block (SPSB)  A1  A2 k1 = 2 (liczba wierszy) k2 = 3 (liczba kolumn I rzędu) k3 = 3 (liczba kolumn II rzędu)

Układ kompletny split-plot  split-block (SPSB)  A1  A2 C2 C1 C3 k1 = 2 (liczba wierszy) k2 = 3 (liczba kolumn I rzędu) k3 = 3 (liczba kolumn II rzędu) b → k1  (k2 → k3)

Układ kompletny split-split-plot (SSP) blok

Układ kompletny split-split-plot (SSP) k1 = 2 (liczba poletek I rzędu)

Układ kompletny split-split-plot (SSP) A2 A1 k1 = 2 (liczba poletek I rzędu)

Układ kompletny split-split-plot (SSP) A2 A1 k1 = 2 (liczba poletek I rzędu) k2 = 2 (liczba poletek II rzędu)

Układ kompletny split-split-plot (SSP) A2 A1 B1 B2 B2 B1 k1 = 2 (liczba poletek I rzędu) k2 = 2 (liczba poletek II rzędu)

Układ kompletny split-split-plot (SSP) A2 A1 B1 B2 B2 B1 k1 = 2 (liczba poletek I rzędu) k2 = 2 (liczba poletek II rzędu) k3 = 2 (liczba poletek III rzędu)

Układ kompletny split-split-plot (SSP) A2 A1 C2 C1 B1 B2 B2 B1 k1 = 2 (liczba poletek I rzędu) k2 = 2 (liczba poletek II rzędu) k3 = 2 (liczba poletek III rzędu) b → k1 → k2 → k3

Czterostopniowy proces randomizacyjny układ SBP Bloki – wiersze – kolumny – poletka małe układ SPSB Bloki – wiersze – kolumny I rzędu – kolumny II rzędu układ SSP Bloki – poletka I rzędu – poletka II rzędu – poletka III rzędu

Modele liniowe obserwacji

Modele liniowe obserwacji (1) m = 4 (układ SSP), m = 5 (układ SBP) lub m = 6 (układ SPSB)

Modele liniowe obserwacji (1) m = 4 (układ SSP), m = 5 (układ SBP) lub m = 6 (układ SPSB) y jest n wymiarowym wektorem obserwacji uporządkowanych leksykograficznie jest (n  v) - wymiarową macierzą układu dla v kombinacji obiektowych  = [1, 2,..., v] - wektor stałych efektów kombinacji obiektowych e jest n wymiarowym wektorem efektów błędów technicznych

Modele liniowe obserwacji (SBP) (1) - macierze układu odpowiednio względem bloków, wierszy, kolumn, poletek dużych i poletek małych, - wektory losowych efektów odpowiednio bloków, wierszy, kolumn, dużych poletek i poletek małych,

Modele liniowe obserwacji (SPSB) (1) - macierze układu odpowiednio względem bloków, wierszy, kolumn I rzędu, kolumn II rzędu, poletek dużych i poletek małych, - wektory efektów losowych odpowiednio bloków, wierszy, kolumn I rzędu, kolumn II rzędu, poletek dużych i poletek małych,

Modele liniowe obserwacji (SSP) (1) - macierze układu odpowiednio względem bloków, poletek I rzędu, poletek II rzędu, poletek III rzędu, - wektory efektów losowych odpowiednio bloków, poletek I rzędu, poletek II rzędu, poletek III rzędu.

Modele liniowe obserwacji (1) m = 4 (układ SSP), m = 5 (układ SBP) lub m = 6 (układ SPSB) gdzie Vf (f = 1, 2,..., m) są macierzami kowariancji wektorów losowych .

Modele liniowe obserwacji (1) m = 4 (układ SSP), m = 5 (układ SBP) lub m = 6 (układ SPSB) Pf ( f = 0, 1, ..., m) – macierze ortogonalne f ( f = 0, 1, ..., m) – funkcje komponentów wariancyjnych

Modele liniowe obserwacji (1) m = 4 (układ SSP), m = 5 (układ SBP) lub m = 6 (układ SPSB) Ortogonalna struktura blokowa

Modele liniowe obserwacji m = 4 (układ SSP), m = 5 (układ SBP) lub m = 6 (układ SPSB) Pf ( f = 0, 1, ..., m) – macierze ortogonalne Układ SBP i SPSB np. Ambroży i Mejza (2006) Układ SSP np. Mejza (1997)

Układ SBP Warstwy:   zerowa   (1) - między blokami  (2) - między wierszami  (3) - między kolumnami  (4) - między poletkami dużymi  (5) - między poletkami małymi

Układ SBP (kompletny) Warstwy:   zerowa   (1) - między blokami  (2) - między wierszami  A  (3) - między kolumnami  B  (4) - między poletkami dużymi  A  B  (5) - między poletkami małymi  C, A  C, B  C, A  B  C

Układ SBP (niekompletny) Warstwy:   zerowa   (1) - między blokami  C  (2) - między wierszami  A, A  C  (3) - między kolumnami  B, B  C  (4) - między poletkami dużymi  A  B, A  B  C  (5) - między poletkami małymi  C, A  C, B  C, A  B  C

Układ SPSB Warstwy:  zerowa   (1) - między blokami  (2) - między wierszami  (3) - między kolumnami I rzędu  (4) - między kolumnami II rzędu  (5) - między poletkami dużymi  (6) - między poletkami małymi

Układ SPSB (kompletny) Warstwy:  zerowa   (1) - między blokami  (2) - między wierszami  A  (3) - między kolumnami I rzędu  B  (4) - między kolumnami II rzędu  C, B  C  (5) - między poletkami dużymi  A  B  (6) - między poletkami małymi  A  C, A  B  C

Układ SPSB (niekompletny) Warstwy:  zerowa   (1) - między blokami  C  (2) - między wierszami  A, A  C  (3) - między kolumnami I rzędu  B, B  C  (4) - między kolumnami II rzędu  C, B  C  (5) - między poletkami dużymi  A  B, A  B  C  (6) - między poletkami małymi  A  C, A  B  C

Układ SSP Warstwy:   zerowa   (1) - między blokami  (2) - między poletkami I rzędu  (3) - między poletkami II rzędu  (4) - między poletkami III rzędu

Układ SSP (kompletny) Warstwy:   zerowa   (1) - między blokami  (2) - między poletkami I rzędu  A  (3) - między poletkami II rzędu  B, A  B  (4) - między poletkami III rzędu  C, A  C, B  C, A  B  C

Układ SSP (niekompletny) Warstwy:   zerowa   (1) - między blokami  C  (2) - między poletkami I rzędu  A, A × C  (3) - między poletkami II rzędu  B, A  B, B  C, A  B  C  (4) - między poletkami III rzędu  C, A  C, B  C, A  B  C

Estymacja parametrów obiektowych m = 4 (układ SSP), m = 5 (układ SBP) lub m = 6 (układ SPSB)

Analiza modeli mieszanych polega na rozbiciu analizy ogólnej na tak zwane analizy warstwowe oparte na modelach: , f = 0, 1,..., m (= 4, 5 lub 6), (2) Można wykazać (zob. Bailey 1981, Baksalary i Kala 1983, Houtman i Speed 1983), że analiza statystyczna modeli opisanych w (2) jest równoważna, ze względu na ortogonalną strukturę blokową oraz właściwości macierzy Pf , zwykłej metodzie najmniejszych kwadratów. Metoda ta opiera się na modelu liniowym

Tak więc, przez rozbicie analizy na warstwy uzyskuje się korzystną właściwość polegającą na tym, że w każdej warstwie do analizy statystycznej można wykorzystać teorię właściwą dla najprostszego modelu Gaussa - Markowa z macierzą kowariancji typu . Zaletą takiego postępowania jest to, że otrzymane warstwowe estymatory nieobciążone wykorzystać można do budowy testów dokładnych zarówno hipotez ogólnych, jak i hipotez szczegółowych.

Warstwowe macierze informacji dla kombinacji obiektowych (np. Mejza I., (1997), Ambroży i Mejza, (2011)): m = 4 (układ SSP), m = 5 (układ SBP) lub m = 6 (układ SPSB)

Estymowalność kontrastu w f-tej warstwie, można sprawdzić za pomocą ogólnego kryterium (zob. Rao i Mitra (1971)) , gdzie oznacza uogólnioną odwrotność macierzy. Układy typu SBP, SPSB i SSP są ogólnie zrównoważone wtedy i tylko wtedy, gdy macierze informacji wzajemnie komutują względem r – , czyli

Macierze Af mają wspólny zbiór wektorów własnych ph odpowiadających wartościom własnym względem , gdzie oraz f = 1, 2,…, m (= 4, 5 lub 6); h = 1, 2,…, v. Przynajmniej jedna z wartości własnych macierzy Af jest równa zero, a odpowiadający jej wektor (np. ostatni) jest postaci . Pozostałe wektory własne ph dla h  <  v, gdzie , stanowią bazę dla wszystkich wektorów wyznaczających pewne kontrasty, które z tego względu nazywane są kontrastami bazowymi (Pearce i inni (1974)).

Kontrasty te oznaczamy symbolem , gdzie Kontrast jest estymowalny w f - tej warstwie, gdy zachodzi relacja (np. Houtman i Speed (1983)):

Z własności ogólnego zrównoważenie wynika, że dla f = 1, 2,, m (= 4, 5 lub 6); h = 1, 2,..., v - 1, Stąd wartości własne są traktowane jako warstwowe współczynniki efektywności układu względem kontrastu . Gdy , to cała informacja o h - tym kontraście bazowym jest zawarta tylko w jednej (f - tej) warstwie. Układ taki nazywany jest układem ortogonalnym w f - tej warstwie względem tego kontrastu. Gdy , to informacja o h - tym kontraście bazowym występuje w co najmniej dwóch warstwach.

Najlepszy liniowy estymator estymowalnego kontrastu w f - tej warstwie jest postaci

która przy prawdziwości warstwowej hipotezy ogólnej W każdej warstwowej analizie rozważanych układów uzyskuje się funkcję testową postaci: która przy prawdziwości warstwowej hipotezy ogólnej podlega rozkładowi centralnemu F z Tf i Ef stopniami swobody.

Tabela 1. ANOVA w f-tej warstwie, f = 1, 2,…, m (= 4, 5 lub 6) Żródła zmienności DF SS E(MS) „Obiekty” (f) SSTf Błąd (f) SSEf Ogółem (f) SSYf SSY f = y’Pf y SSE f = SSY f - SST f

Właściwości statystyczne układów Definicja 1. Układ doświadczalny jest nazywany układem zrównoważonym w f - tej warstwie (ze względu na efektywność), jeżeli warstwowe współczynniki efektywności dla wszystkich estymowalnych w tej warstwie kontrastów bazowych są jednakowe. W szczególności, jeżeli wszystkie warstwowe współczynniki są równe 1, to układ jest ortogonalny w f - tej warstwie. W innych sytuacjach układ jest częściowo zrównoważony w f - tej warstwie (ze względu na efektywność), f = 1,..., m (= 4, 5 lub 6).

Definicja 2. Niech Mf{T, } oznacza taką właściwość układu doświadczalnego o ortogonalnej strukturze blokowej, że T kontrastów pomiędzy obiektami czynnika M (lub T interakcyjnych kontrastów) jest estymowanych w f - tej warstwie ze współczynnikiem efektywności równym . Inaczej mówiąc, układ jest Mf{T, } - zrównoważony. W szczególności, gdy   = 1, układ jest Mf{T, 1} -ortogonalny.

Definicja 3. Niech symbolizuje układ mieszany, gdzie  jest wygenerowanym układem typu SSP, SBP lub SPSB, oznaczają układy generujące, w których występują obiekty czynników A, B i C, a znak określa iloczyn lub pół-iloczyn Kroneckera macierzy w zależności od zastosowanej metody konstrukcji.

Metoda konstrukcji niekompletnego układu SBP SBP(; RCB, RCB, EB)

Metoda konstrukcji niekompletnego układu SBP SBP(; RCB, RCB, EB)

Metoda konstrukcji niekompletnego układu SBP SBP(; RCB, RCB, EB) v = stw, b = b3, k = stk3,

Metoda konstrukcji niekompletnego układu SBP SBP(; RCB, RCB, EB) gdzie

Układ SBP: - niekompletny (nieortogonalny), - właściwy z jednakowymi replikacjami kombinacji obiektowych, - ma ortogonalną strukturę blokową.

Wniosek 1. Układ SBP(; RCB, RCB, EB) z macierzą incydencji N1 jest: A2{s – 1 , 1} – ortogonalny, B3{t – 1 , 1} – ortogonalny, C1{t – 1, 1 – } – zrównoważony i C5{t – 1, } – zrównoważony, (AB)4{(s – 1)(t – 1), 1} – ortogonalny, (AC)2{(s – 1)(w – 1), (1 – )} – zrównoważony i (AC)5{(s – 1)(w – 1), } – zrównoważony, (BC)3{(t – 1)(w – 1), (1 – )} – zrównoważony i (BC)5{(t – 1)(w – 1), } – zrównoważony, (ABC)4{(s – 1)(t – 1)(w – 1), (1 – )} – zrównoważony i (ABC)5{(s – 1)(t – 1)(w – 1), } – zrównoważony.

Przykład (2  4  6) – czynnikowe doświadczenie z łubinem (Barbacki (1951))

Przykład (2  4  6) – czynnikowe doświadczenie z łubinem A – terminy siewu A1 – termin pierwszy – 31.III A2 – termin drugi – 28.IV B – gatunki łubinu B1 – łubin biały III B2 – łubin biały I B3 – łubin żółty B4 – łubin niebieski C – rozstawy C1 – 10 cm  10 cm C2 – 5 cm  20 cm C3 – 10 cm  20 cm C4 – 5 cm  30 cm C5 – 10 cm  30 cm C6 – 5 cm  40 cm (Barbacki (1951))

Przykład (2  4  6) – czynnikowe doświadczenie z łubinem A – terminy siewu A1 – termin pierwszy – 31.III A2 – termin drugi – 28.IV k1 = s = 2 B – gatunki łubinu B1 – łubin biały III B2 – łubin biały I B3 – łubin żółty B4 – łubin niebieski k2 = t = 4 C – rozstawy C1 – 10 cm  10 cm C2 – 5 cm  20 cm C3 – 10 cm  20 cm C4 – 5 cm  30 cm C5 – 10 cm  30 cm C6 – 5 cm  40 cm k3 < w = 6

Przykład (2  4  6) – czynnikowe doświadczenie z łubinem (macierz incydencji względem bloków) (Cochran i Cox (1957))

Przykład (2  4  6) – czynnikowe doświadczenie z łubinem (macierz incydencji względem bloków) w = 6 b3 = 10 k3 = 3 r = 5  = 2 (Cochran i Cox (1957))

Przykład Parametry układu SBP: v= stw = 246 = 48, b = b3 = 10, k = stk3 = 243 = 24, n = bk1k2k3 = 10243 = 240,

Przykład h = 1, 2,..., 48; j = 1, 2; k = 1, 2, 3, 4; l = 1, 2,..., 6

Przykład

Tabela 2. Warstwowe współczynniki efektywności układu SBP względem kontrastów bazowych Typ kontrastu Warstwy (1) (2) (3) (4) (5) Terminy siewu (A) 1 Gatunki (B) A  B Rozstawy (C) 0,2 0,8 A  C B  C A  B  C (1) – warstwa między blokami, (2) – warstwa między wierszami, (3) – warstwa między kolumnami, (4) – warstwa między poletkami dużymi, (5) – warstwa między poletkami małymi

Tabela 3. Analiza wariancji (układ SBP) Źródła zmienności DF SS F P Warstwa (1) – analiza bloków Czynnik C (Rozstawy) Błąd (1) Całość (1) – bloki 5 4 9 0,0426 0,0050 0,0476 6,816 0,043 Warstwa (2) – analiza wierszy Czynnik A (Termin siewu) A  C Błąd (2) Całość (2) – wiersze 1 10 9,0673 0,0838 0,0078 9,1589 4649,897 8,595 0,000 0,027 Warstwa (3) – analiza kolumn Czynnik B (Gatunki) B  C Błąd (3) Całość (3) – kolumny 3 15 12 30 22,4044 0,3086 0,3214 23,0344 279,015  0,768 0,690

Tabela 3. Analiza wariancji (układ SBP) Źródła zmienności DF SS F P Warstwa (4) – analiza poletek dużych A  B A  B  C Błąd (4) Całość (4) – poletka duże 3 15 12 30 1,3562 0,2625 0,3157 1,9343 17,182 0,665 0,000 0,775 Warstwa (5) – analiza poletek małych Czynnik C (Rozstawy) A  C B  C Błąd (5) Całość (5) – poletka małe 5 120 160 0,2278 0,1235 0,7170 0,2512 0,8693 2,1888 6,289  3,410  6,596  2,311  0,006 * P < 0,05 ** P < 0,01

Kombinowanie estymatorów Najlepszy liniowy estymator kontrastu bazowego zapisać można jako (Caliński i Kageyama (2000))

Jednym z naturalnych sposobów uzyskania estymatora powyższego kontrastu w wypadku, gdy komponenty wariancyjne nie są znane, jest zastąpienie nieznanych komponentów ich estymatorami. Estymator kontrastu uzyskany w ten sposób nazywa się estymatorem empirycznym. Jest to jeden ze sposobów kombinowania estymatorów z różnych warstw. Należy jednak zauważyć, że estymator empiryczny posiada korzystne właściwości statystyczne w sytuacji, gdy oparty jest na dużej próbie (np. Bhattacharya (1978) i Schinozaki (1978)).

Uzyskany zgodnie z powyższą metodą estymator kombinowany kontrastu ma postać m = 4 (układ SSP), m = 5 (układ SBP) lub m = 6 (układ SPSB)

Uzyskany zgodnie z powyższą metodą estymator kombinowany kontrastu ma postać Estymator ten jest jednostajnie lepszy niż każdy z estymatorów warstwowych wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi , dla każdego , przy czym i są dowolnymi stałymi, tak dobranymi, aby spełniona była relacja (3). (3)

Shinozaki (1978) stwierdza, że stałe można dobrać wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego , f, f’ = 1, 2, , m (= 4, 5 lub 6). Wtedy proponuje on, aby (5)

Kombinowanie testów Jeżeli dana hipoteza jest testowalna w dwóch lub więcej warstwach, pożądany byłby test, który pozwoliłby wykorzystać informację z wszystkich źródeł jednocześnie. Przegląd wybranych metod kombinowania testów został podany przez Hedgesa i Olkina (1985). Z ich porównania wynika, że metoda zaproponowana przez Fishera (1954) daje test asymptotycznie optymalny względem innych metod kombinowania testów.

Zastosowanie tej metody zostanie pokazane na przykładzie kombinowania testów szczegółowych dla pojedynczego kontrastu bazowego, estymowalnego co najmniej w dwóch warstwach i co najwyżej w g warstwach (2  g  m, gdzie m = 4, 5 lub 6).

Niech f1, f2, ..., fg oznaczają numery warstw, w których kontrast , h = 1, 2,..., v – 1, jest estymowalny. Z faktu, że wszystkie statystyki o postaci form kwadratowych występujące we funkcjach testowych hipotezy , dla ustalonego h, są wzajemnie niezależne, wynika również niezależność tych funkcji (zob. Zubrzycki (1966)). Zatem jest możliwe zastosowanie metody Fishera kombinowania testów.

Niech (6) f = f1, f2, ..., fg ; 2  g  m (= 4, 5 lub 6), dla ustalonego h (= 1, 2,..., v – 1).

Niech (6) f = f1, f2, ..., fg ; 2  g  m (= 4, 5 lub 6), dla ustalonego h (= 1, 2,..., v – 1). Wówczas statystyka (7) przy prawdziwości hipotezy zerowej, podlega w przybliżeniu rozkładowi chi-kwadrat z a stopniami swobody. Liczba stopni swobody a jest równa podwojonej liczbie kombinowanych testów, czyli a = 2g.

Przykład

Z kolei z tabeli 3 wynika, że MSE3 = 0,0268; E3 = 12 oraz MSE5 = 0,0072; E5 = 120. (3) (4) (5)

Uzyskany estymator kombinowany jest estymatorem jednostajnie lepszym od estymatorów w warstwach o numerach 3 i 5. Szczegóły zobacz w pracy Ambroży i Mejza (2006).

Zob. też Ambroży i Mejza (2006)

Literatura Ambroży K., Mejza I. (2002): Doświadczenia trójczynnikowe w układzie pasów prostopadłych z rozszczepionymi poletkami. Colloq. Biom. 32, 79-91. Ambroży K., Mejza I. (2003): Some split-plot  split-block designs. Colloquium Biometryczne, 33, 8396. Ambroży K., Mejza I. (2006): Doświadczenia trójczynnikowe z krzyżową i zagnieżdżoną strukturą poziomów czynników. Wyd. PTB i PRODRUK, Poznań. Barbacki S. (1951): Doświadczenia kombinowane. PWRiL, Warszawa. Caliński, T., Kageyama, S. (2000). Block Designs. A Randomization Approach, Volume I. Analysis. Lecture Notes in Statistics 150, Springer-Verlag, New York. Gomez K.A., Gomez A.A. (1984): Statistical procedures for agricultural research. Wiley, New York. Houtman A.M., Speed T.P. (1983): Balance in designed experiments with orthogonal block structure. Ann. Statist. 11, 1069-1085. Nelder J.A. (1965a): The analysis of randomized experiments with orthogonal block structure. 1. Block structure and the null analysis of variance. Proc. of the Royal Soc. of Lond. Ser. A, 283, 147-162. Nelder J.A. (1965b): The analysis of randomized experiments with orthogonal block structure. 2. Treatment structure and general analysis of variance. Proc. of the Royal Soc. of Lond. Ser. A, 283, 163-178.