Przekształcenia morfologiczne Wojciech Ślawski

Skrót Czym są przekształcenia morfologiczne ? Element strukturalny obrazu Jak działają przekształcenia morfologiczne ? Przykład przekształceń morfologicznych Dwa rodzaje siatek Różnica w porównaniu do innych przekształceń Ogólna zasada przekształceń morfologicznych

Definicja Przekształcenia morfologiczne należą do jednych z najważniejszych operacji w komputerowej analizie obrazu. Wykorzystuje się je do bardziej złożonych operacji takich jak analiza elementów obrazu, ich położenia oraz innych operacji i symulacji. Niestety są to złożone obliczeniowe procesy ponieważ zaczęły powstawać one na analizatorach z drugiej połowy lat 80.

Element strukturalny obrazu Podstawowym pojęciem związanym z przekształceniami morfologicznymi jest element strukturalny obrazu. Jest to pewien wycinek(lub podzbiór) obrazu z wyróżnionym jednym punktem(tzw. centralnym). Najczęściej stosowanym elementem jest koło o promieniu jednostkowym. Istnieję dwa typy siatek – heksagonalna i kwadratowa.

Siatka heksagonalna i kwadratowa Ogólnie siatka heksagonalna jest lepszym rozwiązaniem ponieważ: element strukturalny bardziej przypomina koło, które teoretycznie jest analizowane w większości przekształceń Podstawowy element strukturalny składa się z 7 elementów zamiast 9 w siatce kwadratowej co zmniejsza złożoność obliczeniową Wynik przekształcenia morfologicznego oparty o siatkę heksagonalną jest bardziej intuicyjny, gdyż nie posiada dwóch abstrakcyjnych kierunków – poziomego i pionowego Mimo wszelkich jej zalet częściej korzysta się z siatki kwadratowej ponieważ są prostsze w realizacji

Ogólna zasada przekształceń morfologicznych Teoretycznie można stwierdzić że każde z przekształceń polega na: Przyłożenie punktu centralnego do wszystkich punktów obrazu Sprawdzenie czy lokalna konfiguracja punktów odpowiada układowi zapisanemu w elemencie strukturalnym W przypadku zgodności wykonaniu odpowiedniego przekształcenia

Różnica w stosunku do innych przekształceń Przekształcenia morfologiczne mają pewną charakterystyczną cechę w porównaniu do innych przekształceń – w porównaniu do filtrów koewolucyjnych, medianowych logicznych oraz innych przekształcenia morfologiczne przekształcają tylko te otoczenie danego punktu które jest zgodne z elementem strukturalnym.

Przykłady przekształceń morfologicznych Erozja Dylatacja Otwarcie i zamknięcie Automediana, otwarcie i zamknięcie właściwe Detekcja ekstremów Ścienianie Szkieletyzacja Obcinanie gałęzi Wyznaczanie centroidów Pogrubianie Dylatacja bez stykania obrazów Wypukłe otoczenie Przekształcenie trafi – nie trafi Rekonstrukcja Czyszczenie brzegu Zalewanie otworów Funkcja odległości Erozja warunkowa

Erozja Erozja jest podstawowym przekształceniem morfologicznym. Zakłada się że istnieje nieregularny obszar X i koło B o promieniu r które będzie elementem strukturalnym. Jako punkt środkowy elementu strukturalnego przyjmuje się środek koła B. Wówczas erozję figury X elementem B można zdefiniować na dwa różne sposoby: figura zerodowana to zbiór środków wszystkich kół o promieniu r, które w całości zawarte są we wnętrzu obszaru X koło B przetacza się po wewnętrznej stronie brzegu figury. Kolejne położenia środka koła B wyznaczają brzeg figury zerodowanej.

Formalna definicja erozji Zakładamy, że obraz wyjściowy zawiera pewien obszar (figurę) X, wyróżniający się pewną charakterystyczną cechą (np. odróżniającą się od tła jasnością). Figura X po wykonaniu operacji erozji (często określana krótko jako figura zerodowana) to zbiór punktów centralnych wszystkich elementów strukturalnych, które w całości mieszczą się we wnętrzu obszaru X. Miarą stopnia erozji jest wielkość elementu strukturalnego. Im większy rozmiar elementu strukturalnego - tym większa część brzegu podlegającej erozji figury zostaje usunięta. Erozję można traktować jako filtr minimalny. Dzięki temu pojęcie erozji można rozszerzyć na obrazy posiadające wiele stopni szarości, a nawet kolorowe. W przypadku obrazu posiadającego wiele poziomów jasności operację erozji wygodnie zapisać jest jako: gdzie: L(m,n) - jasność punktu o współrzędnych (m,n); B(m,n) - element strukturalny z punktem centralnym o współrzędnych (m,n).

Przykład erozji

Cechy erozji Jest addytywna, czyli erozję o odpowiedniej wielkości można traktować jako złożenie odpowiedniej ilości wielu jednostkowych erozji Erozja złożonym elementem strukturalnym jest równoważona złożeniu erozji poszczególnymi elementami tego elementu strukturalnego Położenie punktu centralnego nie ma znaczenia. Zmiana położenia punktu centralnego o dany wektor powoduje przesunięcie obrazu wynikowego o taki sam wektor. Erozja ma zdolność do eliminacji drobnych szczegółów i wygładzania brzegu figury. Erozja elementami strukturalnymi o podłużnym kształcie pozwala uwypuklić fragmenty obrazu zorientowane liniowo w tym samym kierunku, co element strukturalny. Erozja dokonuje generalizacji obrazu – drobne, odizolowane obszary zostają usunięte, brzegi wyróżnionych obszarów zostają wygładzone, sa one zmniejszane, często są one dzielone na mniejsze elementy, spada „nasycenie” obrazu.

Przykłady erozji

Dylatacja Jest to przekształcenie odwrotne do erozji. Zakłada się że istnieje nieregularny obszar na obrazie X i koło B o promieniu r, które będzie elementem struktrualnym. Wówczas dylatację figury X elementem B można zdefiniować na trzy sposoby: figura po dylatacji jest zbiorem środków wszystkich kół B, dla których choć jeden punkt pokrywa się z jakimkolwiek punktem figury wyjściowej. koło B przetacza się po zewnętrznej stronie brzegu figury. Kolejne położenia środka koła B wyznaczają brzeg figury po dylatacji. analogicznie, jak w przypadku erozji, dylatację można zdefiniować jako filtr maksymalny.

Formalna definicja dylatacji Zakładamy, że obraz wyjściowy zawiera obszar X wyróżniający się pewną charakterystyczną cechą (np. jasnością). Figura przekształcona przez dylatację to zbiór punktów centralnych wszystkich elementów strukturalnych, których którykolwiek punkt mieści się we wnętrzu obszaru X. Miarą dylatacji jest wielkość elementu strukturalnego. Dylatację można traktować jako filtr maksymalny. Rozpatrywane otoczenie lokalne punktu jest odpowiednikiem elementu strukturalnego. Dzięki temu pojęcie dylatacji można rozszerzyć na obrazy posiadające wiele stopni szarości, a nawet kolorowe. W przypadku obrazu posiadającego wiele poziomów jasności operację dylatacji wygodnie zapisać jest jako: gdzie: L(m,n) - jasność punktu o współrzędnych (m,n); B(m,n) - element strukturalny z punktem centralnym o współrzędnych (m,n).

Własności dylatacji i przykłady Podstawowe własności dylatacji: Zamykanie małych otworów i wąskich zatok w konturach obiektów na obrazie Zdolność do łączenia obiektów położonych blisko siebie

Cechy dylatacji Dylatacja również tak jak erozja powoduje generalizację obrazu. Drobne wklęsłości zostają usunięte Brzegi wyróżnionych obszarów zostają wygładzone, ich długość zostaje zmniejszona, powierzchnie tych obszarów zostają zwiększone. Prowadzi do zrastania się małych, blisko położonych siebie obiektów. Wynika z tego że jest również addytywna tak jak erozja

Otwarcie i zamknięcie Erozja oraz dylatacja mają istotną wadę – wyraźnie zmieniają one powierzchnię przekształconych obszarów. Aby wyeliminować tą wadę wprowadzono dwa przekształcenia będące ich złożeniem: otwarcie=erozja+dylatacja zamknięcie=dylatacja+erozja Otwarcie polega na przetaczaniu koła B po wewnętrznej stronie brzegu figury i odrzuceniu wszystkich tych punktów, które nie mogą być osiągnięte przez koło. Zamknięcie polega natomiast na przetaczaniu koła B po zewnętrznej stronie brzegu figury i dodaniu do niej wszystkich tych punktów, które nie mogą być osiągnięte przez koło. W przekształceniach tych rozpatrujemy całe koło B a nie tylko jego środek

Własności otwarcia i zamknięcia Są przekształceniami rosnącymi, tzn. jeżeli obszar A zawiera się w obszarze B, to po przekształceniu obszar A również zawiera się w obszarze B, własność ta występuje również dla dylatacji i erozji Jeśli dla pewnej figury wykonamy omawiane wyżej przekształcenia i otrzymamy nowe figury: E(f) – erozja figury f, O(f) – otwarcie figury f, C(f) – zamknięcie figury f, D(f) – dylatacja figury f, To dla tych figur zachodzi następująca nierówność: Gdzie # oznacza liczbę pikseli należących do określonej figury Przekształcenia otwarcia i zamknięcia są niezmienne względem siebie. Tzn. O(O(F)) = O(F) oraz C(C(F)) = C(F), co odróżnia je od dylatacji i erozji Otwarcie usuwa drobne obiekty i szczegóły, nie zmieniając wielkości zasadniczej części figury, może też rozłączać niektóre obiekty z przewężeniami. Zamknięcie wypełnia wąskie wcięcia i zatoki oraz drobne otwory wewnątrz obiektu nie zmieniając zasadniczo jego wielkości, może tez łączyć leżące blisko siebie obiekty. Obydwie operacje nie zmieniają kształtu ani wymiarów dużych obiektów o wyrównanym, gładkim brzegu. Obie operacja dają możliwość usuwania uciążliwych zakłóceń

Otwarcie i zamknięcie właściwe, automediana Są to bardziej rozbudowane operacje bazujące na otwarci u i domknięciu. Polegają one na porównaniu złożeń otwarcia i zamknięcia z obrazem oryginalnym. W ten sposób powstają następujące przekształcenia: Otwarcie właściwe – L(f)=min(f ,Z(O(Z(f)))) Zamknięcie właściwe - M(f) = max(f, O(Z(O(f)))) gdzie: f - to figura na obrazie, O(f) - operacja otwarcia przeprowadzona na figurze f, Z(f) - operacja zamknięcia przeprowadzona na figurze f. Przekształcenia te prowadzą do regularyzacji konturów obiektów i filtracji ich

Obraz oryginalny Obraz po przeprowadzeniu otwarcia właściwego Obraz po przeprowadzeniu zamknięcia właściwego Obraz po przeprowadzeniu otwarcia właściwego a następnie zamknięcia właściwego lub zamknięcia właściwego a następnie otwarcia właściwego

Detekcja ekstremów(top-hat) Aby wyznaczyć z obrazu ekstrema lokalne (minima i maksima) można przeprowadzić wcześniejsze operacje – zamknięcia i otwarcia. Aby znaleźć lokalne maksima należy od otwarcia danego obrazu odjąć obraz wyjściowy a następnie dokonać binaryzacji z dolnym progiem otrzymanej różnicy. M(f ) = B(O(f ) − f ) Aby wyodrębnić lokalne minima należy dokonać podobnej operacji tylko zamiast otwarcia należy zastosować zamknięcie m(f ) = B(C(f ) − f )

Wynik działania operacji top-hat w wersji angażującej operację otwarcia. Wynik działania operacji top-hat w wersji angażującej operację zamknięcia.

Ścienianie Polega na przyłożeniu elementu strukturalnego B do każdego punktu obrazu w taki sposób aby punkt centralny pokrywał się z analizowanym punktem oraz na podjęciu jednej z dwóch decyzji Nie zmieniać punktu, gdy element nie pokrywa się z jego sąsiedztwem Zmienić wartość punktu na 0 jeżeli pasuje do sąsiedztwa Ścienianie może być powtarzane wielokrotnie aż do momentu póki następny krok nie wprowadzi żadnych zmian Wynikiem ścieniania jest obraz binarny Cechą charakterystyczną ścieniania jest zawieranie się figury po ścienianiu w figurze wyjściowej.

Szkieletyzacja Jest operacją pozwalającą wyodrębnić osiowe punkty(szkielety) Szkielet figury jest zbiorem wszystkich punktów, które są równoodległe od co najmniej dwóch punktów należących do brzegu.

Szkieletyzacja Analiza szkieletu figur umożliwia przeprowadzenie następujących analiz obrazu: klasyfikacja cząstek na podstawie ich kształtu określenie orientacji podłużnych obiektów rozdzielanie .posklejanych. Obiektów wyznaczenie linii środkowej szerszych linii symulacja procesów rozrostu cząstek oraz tworzenia struktury ziarnistej Proces szkieletyzacji może wprowadzać artefakty w postaci bocznego gałązkowania linii szkieletu. Praktycznym zastosowaniem szkieletyzacji jest analizy przebiegu głównego przewodu trzustkowego na obrazach ERCP Niekiedy mogą pojawiać się błędne odgałęzienia boczne spowodowane nierównomiernością brzegu obiektu.

Obcinanie gałęzi Służy do usuwania niepotrzebnych, błędnych gałęzi po szkieletyzacji figury. Polega on na redukowaniu odcinków posiadających wolne zakończenie Efekt zależy od ilości przeprowadzonych iteracji Niekiedy wydłużenie liczby iteracji nie jest w stanie doprowadzić do usunięcia wszystkich artefaktów związanych ze szkieletyzacją

Wyznaczanie centroidów Centroid jest szkieletem figury z mocno obciętymi gałęziami. Operacja ta sprowadza figurę w przypadku braku otworów lub do pętli gdy takowe posiada Kolejne iteracje wykonuje się dopóki występują jakieś zmiany w obrazie Wyznaczenie centroidu realizowane jest jako ścienianie przy użyciu dwóch elementów strukturalnych:

Pogrubianie Polega na przyłożeniu elementu strukturalnego B do każdego punktu obrazu w taki sposób że pokrywa się on z analizowanym punktem oraz na podjęciu jednej z dwóch decyzji: Nie zmieniać punktu gdy element nie pokrywa się z jego sąsiedztwem Zamienić wartość punktu na 1, jeśli pasuje do sąsiedztwa. Jest przekształceniem odwrotnym do ścieniania – ścienianie zbioru X elementem B jest równoważne dopełnieniu zbioru powstałego w wyniku pogrubiania dopełnienia zbioru X elementem dopełniającym B

Dylatacja bez stykania obszarów Jest to wariant dylatacji która nie powoduje łączenia obszarów. Wykorzystuje się ją razem z erozją która rozkleja oiekt w celu wydzielania poszczególnych, regularnych obszarów obrazu Służy do powrotu do wyjściowej powierzchni obrazu – ponieważ erozja powoduje jego powiększenie Element strukturalny: Podczas przekształcenia mogą powstawać na figurach nieregularne brzegi z wąskimi i głębokimi wklęsłościami – w celu ich wyeliminowania stosuje się dodatkowo operację negatywu, obcięcia gałęzi a potem znowu negatywu aby powrócić do odpowiedniego obrazu

Wypukłe otoczenie Jest to najmniejsza figura wypukła zawierająca daną figurę. Dla figur wypukłych zatem ich otoczenie jest z nimi tożsame. Wyznacza się je za pomocą pogrubiania dwoma następującymi elementami strukturalnymi:

Przekształcenie trafi – nie trafi Polega na przyłożeniu punktu centralnego do każdego punktu analizowanego obrazu – jeśli otoczenie jest zgodne z elementem struktrualnm – punkty uzyskuje wartość 1, jeśli nie – wartość 0 Jest to przekształcenie elementarne dzięki któremu można zdefiniować wszystkie inne przekształcenia, np. erozja może być zdefiniowana jako przekształcenie trafi – nie trafi z następującym elementem strukturalnym:

Przekształcenie trafi – nie trafi Wykorzystuje się je do detekcji charakterystycznych elementów obrazu: pojedyncze, odizolowane punkty, element strukturalny: Punkty końcowe, element strukturalny: Punkty węzłowe – punkty leżące na skrzyżowaniu linii obrazu, element strukturalny:

Rekonstrukcja Jest jednym ze złożonych przekształceń morfologicznych(złożenia wcześniej opisanych metod) Jest wykorzystywana w innych, bardziej złożonych przekształceniach Obszarem wyjściowym jest tak zwany obraz markerów(znaczników) będący podzbiorem obrazu wyjściowego całego, złożonego przekształcenia Polega na cyklicznym dokonywaniu dylatacji i wyznaczaniu części wspólnej obrazu uzyskanego po dylatacji i obrazu wyjściowego całego przekształcenia Operację tą wykonuje się aż do uzyskania zbieżności

Czyszczenie brzegu Ma na celu wyeliminowanie wszystkich obszarów przecinających brzeg obrazu Wykorzystuje się rekonstrukcję. Obrazem markerów dla rekonstrukcji jest część wspólna obrazu wyjściowego i jego brzegu. Operacja przebiega w trzech etapach: Tworzenie markerów – wspólnej części obrazu i jego brzegu Rekonstrukcja obiektów przeciętych przez brzeg obrazu Generacja różnicy obrazu wejściowego i obrazu z obiektami po rekonstrukcji

Zalewanie otworów Służy do wypełniania zamkniętych otworów w obrazach. Algorytm zalewania otworów sprowadza się do 3 kroków: Wyznaczenie negatywu z obrazu wyjściowego Wyczyszczenie brzegu uzyskanego negatywu(w wyniku pozostają same otwory) Wyznaczenie sumy logicznej(OR) obrazu wyjściowego i wyniku czyszczenia brzegu Jest ono wykorzystywane przy automatycznym rozpoznawaniu odcisków palców – powoduje ono usuwanie białych obiektów wewnątrz śladu listewki skórnej, jeśli jej b się nie usuwało powodowała by ona przekłamania po szkieletyzacji obrazu

Funkcja odległości Jest przekształceniem zdefiniowanym jedynie dla obrazów binarnych Do każdego punktu analizowanego obrazu o wartości 1 odpowiadający punkt w obrazie wynikowym przyjmuje wartość równą minimalnej odległości tego punktu od brzegu figury. Pozostałe punkty uzyskują wartość 0 W praktyce funkcja ta może być realizowana jako suma kolejnych erozji obrazu wyjściowego

Erozja warunkowa Zwykła erozja po odpowiednio dużej liczbie kroków powoduje do usunięcia elementów z obrazu Erozja warunkowa eroduje obiekt w taki sposób aby dla każdego obiektu pozostał obraz znacznika Algorytm erozji warunkowej polega na wykorzystaniu erozji i rekonstrukcji: W pierwszym etapie wykonuje się operację erozji a następnie rekonstrukcji Otrzymany obraz jest odejmowany logicznie od obrazu wyjściowego W następnym etapie obraz po pierwszej erozji staje się obrazem wejściowym i poddaje się go kolejnej erozji i rekonstrukcji Otrzymany obraz jest odejmowany logicznie od obrazu pierwszej erozji Utworzona różnica jest dodawana logiczne do różnicy obrazów z poprzedniego etapu W kolejnym etapie obraz po drugiej erozji warunkowej staje się obrazem wejściowym i poddaje się go trzeciej erozji i rekonstrukcji Otrzymany obraz jest odejmowany logicznie od różnic obrazów z poprzedniego etapu Operacja jest wykonywana aż do zniknięcia wszystkich obiektów Następnie jest sumowana różnica obrazów z poszczególnych etapów dzięki czemu powstaje obraz znaczników Efektem tej operacji jest pozostawienie pewnego minimalnego zbioru punktów z każdej figury. Np. z prostokąta pozostaje odcinek a z koła – punkt

Bibliografia http://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0098/komputerowa_analiza.pdf http://atol.am.gdynia.pl/tc/Radzienski/morfologiczne.htm