IFS, IFSP I GRA W CHAOS ZBIORY FRAKTALNE I WYBRANE SPOSOBY ICH GENEROWANIA

PRZEKSZTAŁCENIA AFINICZNE Składają się na nie: pomniejszenie, pochylanie, odbicie symetryczne, obrót i przesunięcie. Kontrakcja (odwzorowanie zwężające) to takie odwzorowanie, które zmniejsza odległość między punktami.

PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE Niech będzie dany układ współrzędnych z osiami x i y. Każdemu punktowi w tym układzie odpowiadać będzie para liczb (x,y). Punkty potraktujemy jako wektory zaczepione w początku układu współrzędnych. Dodawanie dwóch punktów P 1 (x 1,y 1 ) i P 2 (x 1, y 2 ): P 1 +P 2 =(x 1 +x 2, y 1 +y 2 ). Mnożenie przez skalar s: sP=(sx, sy).

PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE I WEKTOR TRANSLACJI

IFS - DETERMINISTYCZNE SYSTEMY ITERACYJNE Opiera się na iterowaniu operatora Hutchinsona. Niech w 1 (A), w 2 (A), …, w n (A) będą odwzorowaniami zwężającymi płaszczyzny, zaś A będzie dowolnym zawartym podzbiorem płaszczyzny. Operatorem Hutchinsona będziemy nazywać przekształcenie postaci: W(A)=w 1 (A)  w 2 (A)  …  w n (A). Oznacza to, że obraz początkowy A zostaje poddany działaniu n kontrakcji, a uzyskane kopie umieszczane w odpowiednich miejscach dają nam obraz końcowy W(A). Stosując wielokrotnie operator W otrzymujemy ciąg zbiorów: A k+1 =W(A k ), k=0,1,2,… Wówczas IFS wytwarza ciąg obrazów, którego granicą jest obraz końcowy A . Obraz ten nazywamy jest atraktorem IFS. Ponadto jest on punktem stałym przekształcenia W, to znaczy, że W(A  )= A .

IFSP – PROBABILISTYCZNE SYSTEMY ITERACYJNE Załóżmy, że w przestrzeni metrycznej zwartej i zupełnej X dany jest układ n odwzorowań zwężających {X; w 1, w 2, …, w n }. Przyporządkujmy odwzorowaniom tego układu dodatnie prawdopodobieństwa p 1, p 2, …, p n > 0 takie, że p 1 + p 2 +…+ p n = 1. Powstanie układ: {X; w 1,w 2,…,w n ; p 1, p 2, …, p n } który nazywamy układem iterowanych odwzorowań z prawdopodobieństwami. (lub inaczej IFSP, lub probabilistycznym systemem iteracyjnym).

TWORZENIE OBRAZU Wybieramy dowolny punkt początkowy z 0  X. Następnie losujemy jeden z numerów przekształcneia 1,2, …,n, gdzie prawdopdobieństwo wylosowanie j-tego numeru wynosi p j. Następnie przekształcamy punkt z 0 odwzorowaniem w j i rysujemy na ekranie punkt z 1 =w j (z 0 ). Współrzędne każdego następnego punktu zależą od współrzędnych punktu poprzedniego. W rezultacie otrzymamy ciąg {z 1, z 2, …., z k, z k+1, …}. Prawdopodobieństwo wylosowanie danego owzorowania jest niezależne od poprzednich losowań.

IFSP – TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO Przekształcenia: pierwsze xn+1=1/2 xn, yn+1=1/2 yn+1/2 drugie xn+1= 1/2 xn+1/2 yn+1=1/2 yn trzecie xn+1=1/2 xn +1/2 yn+1=1/2yn+1/2 Każde przekształcenie jest losowane z takim samym prawdopodobieństwem

GRA W CHAOS – METODA WYZNACZANIA PUNKTÓW WODZĄCYCH Ustalamy punkty wierzchołków, zwane punktami bazowymi, wyznaczające figurę foremną np. trójkąt.

GRA W CHAOS Wybieramy dowolny punkt początkowy i rysujemy go na ekranie Losujemy jeden z wierzchołków a następnie obliczamy współrzędne punktu leżącego po środku odcinka łączącego punkt poprzedni z punktem wierzchołkowym. Dla trójkąta przyporządkujmy punktom bazowym współrzędne: P 1 =(a 1, b 1 ), P 2 =(a 2,b 2 ), P 3 =(a 3,b 3 ). Oznaczamy bieżący punkt gry przez z k =(x k,y k ), a n niech przyjmuje wartości 1, 2, 3. Współrzędne następnego punktu możemy wyrazić wzorami: z k+1 =x k+1, y k+1. gdzie: x k+1 =1/2x k +1/2a n, y k+1 =1/2y k +1/2b n,

GRA W CHAOS - PUNKT STARTOWY NIE NALEŻY DO ATRAKTORA

GRA W CHAOS - PUNKT STARTOWY NALEŻY DO ATRAKTORA

BIBLIOGRAFIA  K. J. Falconer, Fractal geometry: mathematical foundations and applications, John Wiley & Sons Ltd., Chichester 1990;  J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, Wydawnictwa Naukowo- Techniczne, Warszawa 1996;  B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry Of Nature, W. H. Freeman and Company, New York 2000;  T. Martyn, Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji, Nakom Poznan 1996;  H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.1, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1997;  H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.2, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1996;  U. Kamińska, Zastosowanie metod losowych do tworzenia kształtów deterministycznych, Olsztyn 2002, praca licencjacka  U. Żukowska, Zbiory fraktalne, gramatyki Lindenmayera zastosowania generatywne, Olsztyn 2004, praca magisterska,

KONIEC DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ