Zbiory fraktalne I Ruchy browna
Robert brown Był botanikiem. Obserwował pyłek kwiatowy rozproszony w wodzie w postaci zawiesiny. Stwierdził, że wykazuje on nieustanny ruch chaotyczny. Działo się to w 1827 roku. Późniejsze badania wykazały, że takie zachowanie prezentują małe cząsteczki nieorganiczne. Zdjęcie, źródło: wikipedia, https://pl.wikipedia.org/wiki/Robert_Brown_(botanik)
Ruchy browna Albert Einstein w 1905 roku a Adrian Smoluchowski w 1906 r. sformułowali, niezależnie od siebie, teorię wyjaśniającą ruchy Browna. Obaj zauważyli, że przypadkowy ruch pyłków jest wywołany przez bombardowanie cząsteczkami wody, które są mniejsze, jest ich wiele i poruszają się szybciej. Zatem ruchy Browna to chaotyczne ruchy cząsteczek gazu lub wody, które są wywoływane przez bombardowanie innymi cząsteczkami, z tym, że liczba i kierunki zderzeń są przypadkowe
Ruchy Browna w przestrzeni jednowymiarowej Cząsteczki poruszają się po prostej, tylko w dwóch kierunkach. Kolejne zderzenia powodują skokowe przemieszczenia cząsteczki, gdzie długość pojedynczego skoku wynosi l. Zatem cząsteczka po każdy zderzeniu przebywa drogę o długości –l lub +l. Niech X oznacza wartość całkowitego przemieszczenia cząstki po n skokach. X przyjmuje więcej wartości im większe jest n. Stąd całkowite przemieszczenie X będzie pewną zmienną losową.
Wartość oczekiwana
Wariancja i średnie przemieszczenie kwadratowe
Dowód twierdzenia
Ruch a prędkość Cząsteczka w czasie t przemierza drogę o długości nl a v niech oznacza średnią prędkość cząsteczki. Wówczas: vt=nl. Jeśli pomnożymy obie strony równania przez l otrzymujemy nowy wzór: 2=vlt Tw Jeana Perrina. „Średnie przemieszczenie kwadratowe jest proporcjonalne do rozpatrywanego przedziału czasu t, a współczynnik proporcjonalności określony jest przez średnią prędkość cząsteczki v oraz długość pojedynczego skoku l (Martyn 1996, s.137).” Twierdzenie jest prawdziwe również dla ruchów Browna w przestrzeniach wielowymiarowych
Metody symulacji Ruchy Browna w rzeczywistości są ruchami ciągłymi, a ich dyskretny model tworzy się w oparciu o pomiary położenia cząstki w równych odstępach czasu. Zwiększanie częstotliwości pomiaru wykaże, że to co byłą wcześniej linią prostą na wykresie ruchów Browna ma obecnie bardziej skomplikowany kształt.
Generowanie liczb losowych o rozkładzie Gaussa
Metoda sumowania liczb losowych Oznaczmy przedział czasu symulacji ruchów Browna jako [0,t). Dzielimy ten przedział na dwie równe części o długości t każda. Sumujemy zderzenia rozpatrywanej cząstki w każdej części, które powodują jej przemieszczenie o długości G. Niech X(k t) oznacza funkcję określającą waratość odbytej przez cząstkę drogi w przedziale czasu [0, k t) dla k=0,1,…. Załóżmy, że przemieszczenie cząsteczki dla k=0 wynosi 0. Wartość pierwszego przemieszczenia G1 cząsteczki, a zarazem wartość całkowitego przemieszczenia X(t) w przedziale czasu [0, t) określamy losowo zgodnie z rozkładem Gaussa. Następne przemieszczenie G2, związane z kolizją cząsteczek w przedziale czasowym [t, 2 t) wyliczamy podobnie. Wówczas wartość przemieszczenia całkowitego X(2 t) w przedziale [0,2 t) jest równa sumie wszystkich przemieszczeń w tym przedziale, czyli X(2 t)=X(t)+G2=G1+G2 Stąd funkcja przemieszczenia całkowitego może być definiowana jako: X(0)=0, X(kt)=G1+G2+…+Gk, k=1,2,3,…, Gdzie wartości Gk oznaczają liczbo losowe Gaussa
Metoda losowego przemieszczania odcinka
Wykorzystanie symulacji ruchów Browna Symulacja ruchu cząstek Wizualizacja nierówności tektonicznych Wizualizacja modeli chmur
Bibliografia J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996; B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry Of Nature, W. H. Freeman and Company, New York 2000; T. Martyn, Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji, Nakom Poznan 1996; T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, wyd. ósme, Oficyna wydawnicza GIS, Wrocław 2001. H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.2, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1996; Polska wikipedia https://pl.wikipedia.org Dostęp 13.11.2015 Angielska wikipedia https://en.wikipedia.org
KOniec Dziękuję za uwagę