Zbiory fraktalne Podstawowe defnicje

Fraktale - definicja Według Mandelbrota (Mandelbrot 2000): określony jest zależnością rekurencyjną, posiada samopodobieństwo, wymiar nie jest dany liczbą całkowitą.

Fraktale - definicja Według Falconera (Falconer 1990) F ma charakter ultrastruktury, to znaczy, że zawiera małe detale, widoczne dopiero przy powiększaniu, F jest na tyle nieregularny, że nie można go opisać za pomocą tradycyjnych geometrycznych pojęć na poziomie lokalnym i globalnym, często F będzie miał pewien rodzaj samopodobieństwa, zazwyczaj „wymiar fraktalny” zbioru F jest większy niż jego wymiar topologiczny, w wielu wypadkach przecięcie się zbioru F można zdefiniować w prosty sposób, np. za pomocą procedur rekurencyjnych.

Fraktale - definicja Według Kudrewicza (Kudrewicz 1996) Fraktalem na płaszczyźnie R2 jest każdy niepusty i zwarty podzbiór płaszczyzny R2.

Zależność rekurencyjna czyli sprzężenie zwrotne x f(x) ?

Zależność rekurencyjna Operacje są powtarzane a poprzedni wynik jest wartością początkową następnej operacji:

KWR Kopiarka wielokrotnie redukująca (Peitgen, Jürgens, Saupe 1997): Kopiuje i pomniejsza obraz, Posiada dowolną stała ilość soczewek kopiujących co daje stabilność procesu iteracyjnego Proces kopiowania to przekształcenie przez podobieństwo (zmianie ulega tylko wielkość obrazu), wymaga współczynnika zmniejszania (jeśli jest inny dla każdego kierunku to mówimy o przekształceniu afinicznym)

Samopodobieństwo Polega na tym, że dowolnie wybrany fragment zbioru fraktalnego, będzie kopią całego zbioru w mniejszej skali lub przynajmniej do niego podobny. Przykłady w naturze: kalafior, liść paproci. Nie jest to ścisłe matematyczne samopodobieństwo.

Rodzaje samopodobieństwa statystyczne (gdy dowolny fragment zbioru jest podobny do całości z pewnymi odchyleniami od oryginału), afiniczne (gdy dowolny fragment jest zniekształconą kopią całości np. przez pochylenie) Ścisłe (w otoczeniu każdego punktu znajdują się pomniejszone kopie całości), w punkcie (fragmenty zbioru skupiają się wokół jednego punktu). Obiekty sprawiające wrażenie samopodobnych, gdzie wybrany fragment nie jest podobny do całego obiektu a jest jedynie jego afinicznym obrazem nazywamy samoafiniczne.

Przykłady samopodobieństwa Samopodobieństwo Samoafiniczność

Wymiar fraktalny Dla zbiorów fraktalnych wyrażony jest liczbą niecałkowitą. Do najbardziej znanych wymiarów należą: wymiar samopodobieństwa, wymiar pudełkowy i Hausdorffa- Besicovitcha.

Wymiar samopodobieństwa

Wymiar samopodobieństwa Niech DS oznacza wymiar samopodobieństwa, s współczynnik redukcji a liczbę części na które obiekt może być podzielony. Skorzystamy z prawa potęgowego wyprowadzonego dla obiektów takich jak prosta, kwadrat czy sześcian:

Wymiar samopodobieństwa To samo prawo może być stosowane do analizy wymiaru zbiorów fraktalnych: lub w postaci równoważnej:

Wymiar samopodobieństwa Przykład Niech F będzie zbiorem trójkąta Sierpińskiego. Współczynnik redukcji wynosi s=1/2, zaś odpowiadająca mu liczba części 3. Wówczas : DS =log3 / log2

Wymiar Hausdorffa (Falconer 1990, Kudrewicz 1996 , Peitgen, Jurgens, Saupe 1997) Niech F będzie dowolnym zbiorem przestrzeni Rn, zaś U będzie niepustym podzbiorem tej przestrzeni. Średnicę U definiujemy jako: to znaczy jako największą odległość pomiędzy dowolną parą punktów z U. Jeśli {Ui} jest przeliczalną (lub skończoną) rodziną zbiorów o średnicy, co najwyżej δ, która pokrywa F, to znaczy: to mówimy, że {Ui} jest δ−pokryciem zbioru F.

Wymiar Hausdorffa Przypuśćmy, że F jest podzbiorem Rn i s jest nieujemną liczbą. Dla dowolnego δ > 0 definiujemy: To oznacza, że szukamy wszystkich pokryć F przez zbiory o średnicy co najwyżej δ, tak aby zminimalizować sumę s-tych potęg średnic. W miarę jak δ wzrasta, klasa dopuszczalnych pokryć F maleje. Zatem infimum Hsδ (F) wzrasta i osiąga granicę przy δ →0 tak, że: Granica istnieje dla każdego podzbioru F przestrzeni Rn, nawet jeśli jej wartość osiągnie 0 lub ∞. Hs(F) nazywamy s-wymiarową miarą Hausdorffa zbioru F.

Wymiar Hausdorffa Miara Hausdorffa, tak jak inne miary, ma własność skalowania przez czynnik λs. Jeśli F ⊂Rn i λ > 0 to gdzie λF ={λx : x ∈ F} to znaczy, że F jest przeskalowany przez czynnik λ. Widać, że dla dowolnie wybranego zbioru F i δ < 1, Hsδ (F) nie wzrasta z s, tak więc Hs(F) również nie wzrasta. Jeśli t > s i {Ui} jest δ-pokryciem F to mamy: takie, że biorąc infima, Hδt (F)≤ δt−sH δs (F).

Wymiar Hausdorffa Można zauważyć, że przy tym jak δ dąży do 0, jeśli Hs(F) < ∞ to H t(F) = 0 dla t > s. Analizując wykres H s(F) jako funkcji od s można zauważyć, że istnieje tam krytyczna wartość s przy której H s(F) „przeskakuje” z ∞ do 0. Ta krytyczna wartość nazywa się wymiarem Hausdorffa zbioru F. Oznacza się ją jako: dimH F. Formalnie: Tak więc: Jeśli s = dimH F to Hs(F) może mieć wartość 0 lub ∞ a nawet 0 < Hs(F) < ∞.

Wymiar Hausdorffa - ilustracja Źródło (Żukowska 2004)

Wymiar Hausdorffa - Przykład Niech zbiór F będzie zbiorem Cantora, Jeśli s = log2/log3 = 0,6309... to dimH F = s i 1 2 ≤ H s(F)≤1.

Rachunek heurystyczny Zbiór Cantora można podzielić na część lewą FL = F [0, 1/ 3] i część prawą FP = F ∩[2 /3,1]. Obydwie część są geometrycznie podobne do F, ale przeskalowane przez czynnik 1/ 3 oraz F = FL  FP, gdzie FL i FP są rozłączne. Tak więc, korzystając z własności skalowania dla miary Hausdorffa, dla dowolnego s mamy: Załóżmy, że przy wartości krytycznej s = dimH(F) mamy 0 < H s(F) < ∞. Możemy podzielić przez H s(F) by otrzymać 1 = 2(1 /3)s lub s = log2/log3.

Rachunek ścisły  

Rachunek ścisły Skoro przerwy między tymi podstawowymi przedziałami wynoszą co najmniej 3−k, więc Ui może przeciąć co najwyżej jeden podstawowy przedział, wzięty z Ek. Korzystając z (*), jeśli j ≥­ k to, w wyniku konstrukcji, Ui przecina co najwyżej 2j−k=2j3−sk≤2j3s|Ui|s podstawowych przedziałów z Ej. Jeśli j zostanie wybrane dostatecznie duże tak, że 3−(j+1) ≤ |Ui| dla wszystkich Ui, wtedy, skoro {Ui} przecina wszystkie 2j podstawowe przedziały o długości 3−j, zliczając przedziały otrzyma się: 2j ≤i 2j3s|Ui|s. Redukuje się to do(*)

Wymiar PUdełkowy (Falconer 1990, Kudrewicz 1996, Peitgen, Jurgens, Saupe 1997) Inne nazwy wymiar pojemnościowy, pojemność, Wybrany obiekt pokrywamy regularnymi „pudełkami” i zliczamy ilość „pudełek” w siatce, które zawierają badany obiekt, Następnie zmniejszamy wielkość „pudełka” i ponownie zliczamy „pudełka” w siatce

Wymiar PUdełkowy  

Wymiar PUdełkowy  

Wymiar Pudełkowy – inne rodzaje „pudełek” Jeśli omówione granice istnieją, to Nδ(F) jest określony jedną z poniższych definicji: 1. Najmniejsza liczba domkniętych kuli o promieniu δ, które pokrywają F. 2. Najmniejsza liczba kostek (jeśli przestrzeń dwuwymiarowa - kwadraty, jeśli trzywymiarowa - sześciany) o boku δ, które pokrywają F. 3. Liczba oczek (kostek) w regularnej siatce o boku δ, które przecinają się z F. 4. Najmniejsza liczba zbiorów o średnicy co najwyżej δ, która pokrywa F. 5. Największa liczba rozłącznych kul o promieniu δ, które środek mają w F.

Wymiar Pudełkowy – obliczenia Niech F będzie zbiorem Cantora Wówczas dimB inf F = dimB supF = log2/log3. Jeśli zbiór Cantora będzie się pokrywać 2k przedziałami Ek o długości 3−k otrzyma się Nδ(F)≤2k jeśli 3−k < δ ≤ 3−k+1. Z drugiej strony, dowolny przedział o długości δ gdzie 3−k−1≤δ <3−k przecina się z co najwyżej jednym z podstawowych przedziału o długości 3−k, używanych przy konstrukcji F. Istnieje zatem 2k przedziałów, takich, że co najmniej 2k przedziałów o długości δ jest potrzebnych do pokrycia zbioru F. Stąd z Nδ(F) ≥­ 2k wynika dimBF=log2/log3. W przypadku zbioru Cantora dimH F = dimBF.

Bibliografia K. J. Falconer, Fractal geometry: mathematical foundations and applications, John Wiley & Sons Ltd., Chichester 1990; J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996; B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry Of Nature, W. H. Freeman and Company, New York 2000; T. Martyn, Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji, Nakom Poznan 1996; H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.1, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1997; H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice Chaosu Fraktale cz.2, Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa 1996; U. Kamińska, Zastosowanie metod losowych do tworzenia kształtów deterministycznych, Olsztyn 2002, praca licencjacka U. Żukowska, Zbiory fraktalne, gramatyki Lindenmayera zastosowania generatywne, Olsztyn 2004, praca magisterska,

KOniec Dziękuję za uwagę