Niedziesiątkowe systemy liczenia.

DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum w Brzezinach ID grupy: 98/72 Opiekun: Aneta Leńska Kompetencja: Z fizyką i matematyką Temat projektowy: Niedzięsiątkowe systemy liczenia Semestr/rok szkolny: Semestr 5/2011/2012

Niedziesiątkowym systemem liczenia nazywamy sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach. Dla dowolnego systemu liczenia istnieje zbiór znaków, za pomocą których tworzy się liczby. Ze względu na sposób zapisu można je podzielić na dwie grupy:

1) Systemy pozycyjne(binarny) 2) Systemy niepozycyjne (addytywne).

Systemy pozycyjne(binarne) W pozycyjnym systemie liczbowym liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość cyfry zależy od miejsca (pozycji) na której się ona znajduje w tym ciągu.

Przykład:.

System pozycyjny umożliwia też zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe. Np. 3,1415 rozumiemy jako:

Systemy niepozycyjne W systemie addytywnym wartość przedstawianej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Na addytywnym systemie zapisu opierają się systemy liczbowe: hieroglificzny, rzymski i alfabetyczny.

System jedynkowy Najbardziej prymitywnym systemem liczbowym jest jedynkowy system liczbowy, w którym występuje tylko jeden znak (np. 1, albo (częściej) pionowa kreska). W systemie tym kolejne liczby są tworzone przez proste powtarzanie tego znaku. Np. 3 w tym systemie jest równe 111, a pięć 11111. Systemem takim posługują się np. Pigmeje. Kiedy, w przypadku większych liczb, zaczyna się grupować symbole, np. po 5 (cztery równoległe kreski, przekreślone piątą), mamy do czynienia z przejściem do addytywnego systemu liczbowego.

System dwójkowy(binarny) Dwójkowy system liczbowy (inaczej: system binarny) – system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Wykorzystanie:. Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

Liczba 1010 w systemie dwójkowym przybiera postać:.

System trójkowy Trójkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 3. Do zapisu liczb są potrzebne 3 cyfry: 0, 1 i 2. Cyfry trójkowe często nazywa się tritami na podobieństwo bitów w systemie binarnym. Ilość cyfr do zapisania liczb w systemie trójkowym nie rośnie tak szybko jak w systemie dwójkowym, jednakże jest to nadal znaczna ilość w porównaniu do zapisu dziesiętnego.

Dodawanie w systemie trójkowym Jeśli w wyniku dodawania otrzymamy w jakimś rzędzie trzy jednostki, to stanowią one jedną jednostkę rzędu następnego. Przykład 2011 12201 + 102 + 2211 2120 22112

Odejmowanie w systemie trójkowym Wykonujemy analogicznie, jak w systemie dziesiątkowym. Przykład 2102 221102 - 1221 - 12012 111 202020

System piątkowy Układ piątkowy należy do tych układów, który rzeczywiście istniał i funkcjonował w pewnych zakamarkach kuli ziemskiej. Podstawą układu piątkowego jest liczba 5, a wszystkie liczby można zapisywać pięcioma cyframi: 0, 1, 2, 3, 4. Jednostka każdego następnego rzędu jest pięć razy większa od jednostki rzędu poprzedniego. Kolejne pozycje w liczbie systemu piątkowego oznaczają:

50 - liczba jednostek 51 - liczba piątek 52 - liczba dwudziestek piątek 53 - liczba sto dwudziestek piątek itd.

Zapis liczby całkowitej w systemie piątkowym ma postać: ai-1ai-2 ... a2a1a0   =   ai-1 · 5i-1 + ai-2 · 5i-2 + ... + a2 · 52 + a1 · 51 + a0 · 50

System szóstkowy Podstawą tego systemu jest liczba sześć. Do zapisu liczb potrzebne jest 6 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4 i 5. Szóstkowy system liczbowy może być uznany jako przydatny w badaniach liczb pierwszych, ponieważ wszystkie liczby pierwsze wyrażone w tym systemie, z wyjątkiem 2 i 3, kończą się cyfrą 1 lub 5.

NP. (2)6 = 210 , (3)6 = 310, (21)6 = 1310 , (111)6 = 4310, (115)6 = 4710 (125)6 = 5310 .

System ósemkowy Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż:

Tabliczka mnożenia i dodawania w systemie ósemkowym.

System dwunastkowy Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w dwunastkowym przybiera postać 6B4, gdyż:

Zastosowanie: W Polsce używa się takich wywodzących się z systemu dwunastkowego pojęć jak tuzin (12 sztuk) i gros (12 tuzinów - 144 sztuki) oraz kopa (5 tuzinów - 60 sztuk). W niektórych językach istnieje także pojęcie "wielki gros" (ang. great gross, hol. groot gros) określające liczbę 1728 stanowiącą 12 grosów (tuzin do potęgi trzeciej).

System szesnastkowy Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi znaków, z których każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w systemie szesnastkowym przybiera postać 3E8, gdyż:

System szesnastkowy w nauce Wiele kalkulatorów naukowych ma dostępny dla użytkownika system szesnastkowy. Umożliwiają one zwykłe operacje na liczbach w tej postaci oraz ich konwersję do innych systemów pozycyjnych.

System szesnastkowy w elektronice Wiele parametrów układów elektronicznych np. kategorie urządzeń PCI podaje się w systemie szesnastkowym. Przykładowo - Klasa: 08h, Podklasa: 02h, Interfejs: 00h to układ odmierzający czas "8254" podobny do Intel 8253. Adresy sprzętowe MAC, urządzeń sieciowych przyznawane i podawane są w formacie szesnastkowym.

System szesnastkowy w informatyce. Szesnastkowy system liczbowy stosuje się w informatyce, w przypadku programowania niskopoziomowego, sterowania sprzętem komputerowym, wyboru adresów itp. np:

Adresy IP np. w wersji 6 są podawane w pozycyjnym systemie szesnastkowym np.: 3ffe:0902:0012:0000:0000:0000:0000:0000/48

Zmiany systemów liczenia

Przeliczanie systemu dziesiątkowego na system szóstkowy. 100 : 6 = 16 r 4 Dzielimy liczby w systemie dziesiątkowym 16 : 6 = 2 r 4 przez cyfrę (liczbę), która jest podstawą 2 : 6 = 0 r 2 nowego systemu. Cyfry reszt czytane od dołu dają nam liczby zapisane w nowym systemie. 100(10) = 244(6)

Przeliczanie systemu dziesiątkowego na system siódemkowy. 132(10) = 246(7)

Dziękujemy za uwagę 