Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH ID grupy: 97/53_MF_G2 Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Semestr/rok szkolny: SEMESTR II/2010/2011

KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA Cele jakie postawiliśmy sobie w tym temacie: Znalezienie i zaprezentowanie podstawowych definicji i twierdzeń w kombinatoryce wraz z przykładami, wzorami i dowodami. Pokazanie zastosowania poszczególnych metod kombinatorycznych w rachunku prawdopodobieństwa. Stworzenie prezentacji multimedialnej stanowiącej pomoc dydaktyczną dla nauczyciela przy wprowadzaniu treści z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa podczas lekcji matematyki.

SPIS TREŚCI Zasada mnożenia Wariacje z powtórzeniami Wariacje bez powtórzeń Permutacje Kombinacje Prawdopodobieństwo klasyczne

ELEMENTY KOMBINATORYKI „Dwa znaki budują dwa domy, trzy budują sześć domów, cztery budują dwadzieścia cztery domy; pięć buduje sto dwadzieścia domów. Od tego wyjdź i rozważaj dalej to, czego usta nie mogą wymówić i ucho nie może usłyszeć.” Sefer Jecira – Księga Stworzenia Jak widać, elementy kombinatoryki znane były już jakieś 1800 lat temu.

1. Zasada mnożenia Przykład 1.1 Ile jest różnych tablic rejestracyjnych, jeżeli każda z nich zawiera trzy litery alfabetu łacińskiego i pięć cyfr? Wszystkie tablice można otrzymać tak: Pierwszą literę wybieramy na 26 sposobów, drugą i trzecią też na 26 sposobów. Część literową można zatem wybrać na 263=17576 sposobów. Podobnie stwierdzamy, że możliwych układów cyfr jest 105. W rezultacie mamy 1 757 600 000 możliwych tablic rejestracyjnych. 26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 757 600 000

1. Zasada mnożenia Z tego typu rozumowaniem spotykamy się w prawie każdym zadaniu kombinatorycznym. Opiera się ono na następującym twierdzeniu. Twierdzenie 1.1 (Zasada mnożenia). Jeśli pewną czynność wykonuje się w k – etapach, przy czym: etap 1 można wykonać na n1 sposobów, etap 2 na n2 sposobów, …, wreszcie k-ty etap na nk sposobów, to liczba N sposobów, jakimi można wykonać tę czynność wyraża się wzorem: N=n1 · n2 · … · nk

1. Zasada mnożenia Przykład 1.2 Rzucamy jedną kostką do gry i monetą. Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? Możliwe wyniki to: I II III IV V VI Jest ich 12 . VII VIII IX X XI XII

1. Zasada mnożenia Przykład 1.2 Rzucamy jedną kostką do gry i monetą. Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? Jednak nie zawsze jesteśmy w stanie wypisać wszystkie możliwości, wówczas warto skorzystać z zasady mnożenia. 6 możliwych wyników w rzucie kostką, 2 możliwe wyniki w rzucie monetą, zatem wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest

1. Zasada mnożenia Przykład 1.3 Ile jest możliwych wyników doświadczenia polegającego na trzykrotnym rzucie monetą? Poniższe drzewko jest ilustracją graficzną tego doświadczenia. 2 możliwe wyniki w pierwszym rzucie. 2 możliwe wyniki w drugim rzucie. 2 możliwe wyniki w trzecim rzucie. 1 2 3 4 5 6 7 8

1. Zasada mnożenia Przykład 1.3 Ile jest możliwych wyników doświadczenia polegającego na trzykrotnym rzucie monetą? Korzystając z zasady mnożenia mamy: 2 możliwe wyniki w trzecim rzucie. 2 możliwe wyniki w drugim rzucie. 2 możliwe wyniki w pierwszym rzucie.

1. Zasada mnożenia Korzystając z zasady mnożenia łatwo policzyć, że: możliwych wyników doświadczenia polegającego na pięciokrotnym rzucie monetą jest możliwych wyników doświadczenia polegającego na trzykrotnym rzucie kostką do gry jest Po 6 możliwych wyników w każdym rzucie.

2. Wariacje z powtórzeniami Przykład 2.1 Ile jest kodów stworzonych z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, przy czym litery mogą się powtarzać? Mamy do dyspozycji 5 liter: Ponieważ litery mogą się powtarzać, to wyboru drugiej litery możemy dokonać również na 5 sposobów i ponownie możemy wybrać literę D. Wyboru trzeciej litery możemy dokonać również na 5 sposobów. Niech to będzie litera B. Zatem wszystkich takich trzyliterowych kodów jest… Wyboru pierwszej litery możemy dokonać na 5 sposobów. Niech to będzie litera D. ______ ______ ______ 1 litera 2 litera 3 litera sposobów sposobów sposobów

2. Wariacje z powtórzeniami Przykład 2.2 Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, w których zapisie mogą występować tylko cyfry: 1, 2, 3, 4, przy czym cyfry mogą się powtarzać? Ponieważ cyfry mogą się powtarzać, to na każdym etapie wyboru, mamy do dyspozycji wszystkie cztery cyfry.

2. Wariacje z powtórzeniami Definicja 2.1 K-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru Y nazywamy każdą funkcję f: {1,2,…,k} → Y Każda funkcja f określona na zbiorze {1,2,…,k} wyznacza jednoznacznie ciąg o wyrazach f(i), dla 1 ≤ i ≤ k i odwrotnie, każdy k-wyrazowy ciąg elementów zbioru Y wyznacza funkcję f:{1,2,…,k}→Y. Zamiast o funkcjach można więc mówić o ciągach, zatem powyższą definicję możemy zapisać następująco: Definicja 2.2 K-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru Y nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, w którym wyrazy mogą się powtarzać, utworzony z elementów zbioru Y.

2. Wariacje z powtórzeniami Opisane w przykładzie 2.1 ciągi liter tworzące kody i w przykładzie 2.2 ciągi cyfr tworzące liczby, to przykłady wariacji z powtórzeniami. Liczbę k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n- elementowego będziemy oznaczać symbolem Ćwiczenie 2.1 Ile jest wszystkich dwuelementowych wariacji z powtórzeniami zbioru dziesięcioelementowego?

2. Wariacje z powtórzeniami Ćwiczenie 2.2 Ile jest wszystkich dziesięcioelementowych wariacji z powtórzeniami zbioru dwuelementowego? Ćwiczenie 2.3 Na ile sposobów 6 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 9 piętrach? Ćwiczenie 2.4 Do 3 szuflad wrzucamy 8 kul. Na ile sposobów można rozmieścić te kule (kule i szuflady rozróżniamy)?

2. Wariacje z powtórzeniami Twierdzenie 2.1 Dowód. Przypomnijmy, że k-elementowe wariacje z powtórzeniami to k-wyrazowe ciągi o wyrazach z n-elementowego zbioru Y. Pierwszy wyraz ciągu możemy wybrać spośród n elementów zbioru Y. Wyboru każdego następnego wyrazu ciągu możemy dokonać również na n sposobów, gdyż wyrazy mogą się powtarzać. Zatem korzystając z zasady mnożenia (tw. 1.1), mamy: k razy

3. Wariacje bez powtórzeń Przykład 3.1 Ile jest kodów stworzonych z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, F, G, przy czym litery nie mogą się powtarzać? Mamy do dyspozycji 7 liter: Zatem wszystkich takich trzyliterowych kodów jest… Wyboru drugiej litery możemy dokonać na 6 sposobów. Wyboru pierwszej litery możemy dokonać na 7 sposobów. Wyboru trzeciej litery możemy dokonać na 5 sposobów. ______ ______ ______ 1 litera 2 litera 3 litera sposobów sposobów sposobów

3. Wariacje bez powtórzeń Przykład 3.2 Czteroliterowych kodów, utworzonych z 26 liter alfabetu, w których żadna litera się nie powtarza, jest… A czwartej już na 23 sposoby. Wyboru trzeciej litery możemy dokonać na 24 sposoby. Jedna litera jest już wybrana, więc pozostało nam ich 25. Na początku mamy do dyspozycji 26 liter.

3. Wariacje bez powtórzeń Definicja 3.1 K-elementową wariacją bez powtórzeń n- elementowego zbioru Y, gdzie 0≤k≤n, nazywamy każdą funkcję różnowartościową f: {1,2,…,k} → Y. Opisane w przykładzie 3.1 i 3.2 ciągi liter tworzące kody to przykłady wariacji bez powtórzeń. Mówiąc o ciągach powyższą definicję możemy zapisać następująco: Definicja 3.2 K-elementową wariacją bez powtórzeń n- elementowego zbioru Y, gdzie 0≤k≤n, nazywamy każdy k- wyrazowy ciąg, utworzony z różnych elementów zbioru Y.

3. Wariacje bez powtórzeń Liczbę k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n- elementowego będziemy oznaczać symbolem Ćwiczenie 3.1 Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra zero i cyfry się nie powtarzają?

3. Wariacje bez powtórzeń Twierdzenie 3.1 Dowód. Mamy tu do czynienia z k-elementowymi ciągami o różnych wyrazach z n-elementowego zbioru Y. Oczywiście . Łatwo zauważyć, że Istotnie, jeżeli wybierzemy już k-elementowy ciąg o różnych wyrazach, to następny element możemy wybrać spośród pozostałych n-k elementów ze zbioru Y, a zatem na n-k sposobów.

3. Wariacje bez powtórzeń Twierdzenie 3.1 Dowód. Dlatego

3. Wariacje bez powtórzeń Ćwiczenie 3.2 Oblicz:

4. Permutacje Przykład 4.1 Na ile sposobów można ustawić na półce trzy różne książki? Oznaczmy książki numerami: 1, 2, 3. Możliwe sposoby to: I II III IV V VI Trzy książki możemy ustawić na 6 sposobów.

4. Permutacje Przykład 4.2 Na ile sposobów można ustawić na półce cztery różne książki? Podobnie jak w przykładzie 2.1 (tylko mniej obrazkowo ) oznaczamy książki numerami: 1, 2, 3, 4 i wypisujemy wszystkie możliwe ustawienia: 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 Cztery książki możemy ustawić na 24 sposoby.

4. Permutacje Definicja 4.1 Permutacją n-elementowego zbioru Y nazywamy każdą funkcję f, odwzorowującą zbiór {1,2,…,n} na zbiór Y Mówiąc o ciągach powyższą definicję możemy zapisać następująco: Definicja 4.2 Permutacją n-elementowego zbioru Y nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

4. Permutacje Podsumowując, w przykładzie 4.1 podaliśmy wszystkie trzywyrazowe ciągi, jakie można utworzyć, przestawiając liczby: 1, 2, 3. Są to permutacje 3-elementowego zbioru Y={1,2,3}. W przykładzie 4.2 podaliśmy wszystkie czterowyrazowe ciągi, jakie można utworzyć, przestawiając liczby: 1, 2, 3, 4. Są to permutacje 4-elementowego zbioru Y={1,2,3,4}. Liczbę permutacji zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem

4. Permutacje Definicja 4.3 Dla n>1 symbol n! (czyt. n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n!=1·2·3·…·n Przyjmujemy również, że 0!=1 i 1!=1. Twierdzenie 4.1

4. Permutacje Dowód. Zauważmy, że permutacje zbioru n-elementowego to szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń, mianowicie n-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego. Zatem: Twierdzenie 4.1

4. Permutacje Ćwiczenie 4.1 Pięciu przyjaciół wybrało się do kina. Na ile sposobów mogą usiąść na pięciu miejscach? Ćwiczenie 4.2 Na ile sposobów można umieścić siedmiu więźniów w siedmiu izolatkach? Ćwiczenie 4.3 Na ile sposobów można ustawić pięć dziewcząt i czterech chłopców w kolejce, jeśli dziewczęta stoją na początku kolejki?

5. Kombinacje Przykład 5.1 Ile partii szachów rozegrano wśród pięciu zawodników, jeśli każdy uczestnik rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych? Oznaczmy uczestników numerami:

Łącznie rozegrano 10 partii szachów. 5. Kombinacje Przykład 5.1 Ile partii szachów rozegrano wśród pięciu zawodników, jeśli każdy uczestnik rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych? Rozegrane partie to: Pierwszy zawodnik zagra partię z 2, 3, 4 i 5 graczem. Drugi grał już z 1 zawodnikiem, więc zagra partię z 3, 4 i 5 graczem. Łącznie rozegrano 10 partii szachów. Czwartemu pozostało zagrać jeszcze z 5 zawodnikiem. Trzeci gracz grał już z 2 i 3 zawodnikiem, więc zagra jeszcze z 4 i 5.

5. Kombinacje Rozegranych partii jest tyle samo co dwuelementowych podzbiorów zbioru mianowicie: Każdy taki podzbiór nazywamy dwuelementową kombinacją zbioru pięcioelementowego.

5. Kombinacje Definicja. K-elementową kombinacją n-elementowego zbioru Y, gdzie 0≤k≤n, nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru Y. Przypomnijmy, że w przykładzie 5.1 takie dwie partie: to ta sama partia (kombinacja). Oznacza to, że przy podawaniu elementów kombinacji nie jest ważna kolejność, w jakiej są one wymieniane.

5. Kombinacje Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem Twierdzenie 5.1

5. Kombinacje Dowód. Każdą k-elementową kombinację (podzbiór) można permutować na k! sposobów. Każdy powstały w ten sposób ciąg będzie k-elementową wariacją bez powtórzeń. Twierdzenie 5.1

5. Kombinacje Twierdzenie 5.1 Dowód. Zatem: czyli skąd otrzymujemy:

5. Kombinacje Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego oznacza się także za pomocą symbolu (czyt. n nad k), zwanym symbolem Newtona. Podsumowując

5. Kombinacje Ćwiczenie 5.1 Spotkało się dziesięcioro przyjaciół i każdy z każdym przywitał się uściskiem dłoni. Ile było powitań? Ćwiczenie 5.2 Ile otrzymamy prostych, jeśli poprowadzimy prostą przez każde dwa wierzchołki sześciokąta?

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Mamy już za sobą poznanie różnych doświadczeń losowych. Poszczególne wyniki tych doświadczeń nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a ich zbiór – przestrzenią zdarzeń elementarnych. Aby tradycji stało się zadość, przestrzeń zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać przez wielką grecką literę a pojedyncze zdarzenia elementarne – małą literą

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Definicja 6.1 Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Zdarzenia losowe będziemy oznaczać wielkimi literami: A, B, C itd. Elementy zdarzenia losowego nazywamy wynikami sprzyjającymi temu zdarzeniu. Aby lepiej zrozumieć powyższe pojęcia, przeanalizujmy prosty przykład.

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Przykład 6.1 Rzucamy raz kostką do gry. Rozważmy zdarzenie losowe A – wyrzucono parzystą liczbę oczek. - przestrzeń zdarzeń elementarnych - zdarzenia elementarne

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Przykład 6.1 Rzucamy raz kostką do gry. Rozważmy zdarzenie losowe A – wyrzucono parzystą liczbę oczek. Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A to: Zatem

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Definicja 6.2 Jeżeli jest niepustym i skończonym zbiorem, to prawdopodobieństwem zdarzenia losowego nazywamy liczbę: gdzie ilość wyników sprzyjających zdarzeniu A (liczba elementów zbioru A) ilość zdarzeń elementarnych w przestrzeni (liczba elementów zbioru )

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Przykład 6.2 Windą zatrzymującą się na 6 piętrach jadą 4 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze. 4-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 6-elementowego 4-elementowe wariacje bez powtórzeń zbioru 6-elementowego (każda osoba wysiądzie na innym piętrze)

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Przykład 6.2 Windą zatrzymującą się na 6 piętrach jadą 4 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze. Skoro: oraz zatem Prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze wynosi

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Przykład 6.3 Z talii 52 kart losujemy bez zwracania trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy trzy asy. Doświadczenie polega na wylosowaniu trzech spośród 52 kart. Nie liczy się kolejność i karty się nie powtarzają, zatem: dwuelementowe kombinacje zbioru 52 -elementowego

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Przykład 6.3 Z talii 52 kart losujemy bez zwracania trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy trzy asy. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch asów. W talii są cztery asy, więc dwuelementowe kombinacje zbioru czteroelementowego (dowolne dwa asy z czterech możliwych)

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Przykład 6.3 Z talii 52 kart losujemy bez zwracania trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy trzy asy. Skoro: oraz zatem Prawdopodobieństwo wylosowania trzech asów wynosi

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Przykład 6.4 Do biegu przystąpiło sześciu zawodników z numerami od 1 do 6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsze miejsce zajmie zawodnik z numerem 3? Za wynik biegu uważamy kolejność przybycia zawodników na metę, zatem: permutacje zbioru 6-elementowego permutacje zbioru 5-elementowego (pierwszy przybiega zawodnik z numerem 3, a reszta w dowolnej kolejności)

6. Prawdopodobieństwo klasyczne Przykład 6.4 Do biegu przystąpiło sześciu zawodników z numerami od 1 do 6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsze miejsce zajmie zawodnik z numerem 3? Skoro: oraz zatem Prawdopodobieństwo, że pierwsze miejsce zajmie zawodnik z numerem 3 wynosi

Bibliografia Wykaz najważniejszych źródeł, z których korzystaliśmy tworząc niniejszą prezentację: J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, wyd. I, Script, Warszawa 2002 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz.I Rachunek prawdopodonieństwa, wyd.IX, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002 W. Babiański, L. Chańko, J. Czarnowska, J. Wesołowska, Matematyka – kształcenie w zakresie podstawowym i rozszerzonym, Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum, Nowa Era, wyd.VI, Warszawa 2009.

Podsumowanie Kombinatoryka, jako dział matematyki, urzekła nas swoją wielką odmiennością, niekończącą się ilością przykładów z życia codziennego i ciekawym sposobem myślenia. W niniejszej prezentacji nie byliśmy w stanie umieścić wszystkich przerobionych przez nas przykładów podczas zajęć projektowych, jednak mamy nadzieję, że jest ich wystarczająco i się wszystkim podobały.

Prezentację dla Państwa przygotowali: Oliwia Grudziecka Martyna Jakubowska Joanna Opałka Agata Pawłowska Magdalena Socha Daniela Świadek Monika Wałkiewicz Małgorzata Wyciślak Magdalena Żurawska Denis Özer

Dziękujemy za uwagę!