Realizatorzy projektu Uniwersytet Szczeciński COMBIDATA Poland Sp. z o.o.

Patroni projektu Zachodniopomorski Kurator Oświaty Wielkopolski Kurator Oświaty Lubuski Kurator Oświaty

DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum im. E. Bojanowskiego w Lubsku oraz Gimnazjum im. Powstańców Wielkopolskich w Wolsztynie ID grupy: 98/24_mf_g1, 98/4_mf_g2 Opiekun: Anna Pach, Bogna Tomiak Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: W świecie liczb Semestr/rok szkolny: 2010/2011. 4

W świecie liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

99 5 12 Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań. 29 63 352

SENTENCJA POWIEDZIANA PRZEZ PITAGORASA Co jest najmądrzejsze? - Liczba. Co jest najpiękniejsze? - Harmonia. Czym jest cały świat? - Liczbą i harmonią.

Kiedy zaczęto używać liczb ? Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce.

Systemy zapisu liczb Najstarszym systemem liczbowym jest system jedynkowy. Do zapisu liczb w tym systemie stosuje się wyłącznie jeden znak oznaczający liczbę "1". Kolejne liczby tworzy się przez powtarzanie tego znaku tyle razy, ile wynika to z wartości danej liczby. Tak więc np. 3 w systemie jedynkowym jest równe "111", a 10= "1111111111".

Systemy zapisu liczb Pierwszy znany pozycyjny system zapisu liczb pochodzi ze starożytnej Mezopotamii (ok. 3400 p.n.e.), i bazuje na liczbie 60. Najstarszy dziesiątkowy system pozycyjny pochodzi z Egiptu (ok. 3100 p.n.e.)

PRYMITYWNE SPOSOBY LICZENIA Dawno temu, kiedy ludzie nie znali jeszcze żadnego pisma i ich mowa była jeszcze stosunkowo prymitywna, jedynymi liczebnikami były słowa jeden, dwa, wiele Aby wyrazić 3,4,5,6 używali kombinacji słów: jeden, dwa (np. 5 = 2,2,1). Aby powiedzieć liczbę powyżej 6 trzeba było mówić wiele.

PRYMITYWNE SPOSOBY LICZENIA Ludzie potrafili zrozumieć i pojąć większe liczby, mimo nieistnienia odpowiednich liczebników. Oceniali wtedy „na oko”. Pierwszym przyrządem do liczenia były palce jednej ręki, następnie dwóch rąk. Powstawały tak zwane „łańcuchy obliczeniowe”. Z czasem powstała potrzeba zapisu liczby przedmiotów. Najstarszym znanym sposobem jest narysowanie odpowiedniej liczby kresek, zrobienie odpowiedniej liczby nacięć na patyku lub na ziemi. Karby, rysy, węzły czy też pręty – to pierwsze symbole liczb naturalnych.

LICZBY W STAROŻYTNYM RZYMIE I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII L C D M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 100 500 1000

Przykłady IV = 4 VII = 7 XIX = 19 XL = 40 CM = 900 MXXV = 1025 MCMXCV = 1995 MM = 2000 MCMLVI = 1956 MMXI = 2011

PRYMITYWNYM, ALE JAK DOBRZE ZNANYM PRZEDMIOTEM JEST NASZE KOCHANE LICZYDŁO Liczydło jest obiektem, który w dawnych czasach wspomagał wielkie obliczenia.

RODZAJE LICZB Liczby naturalne Liczby całkowite Liczby wymierne Liczby niewymierne Liczby rzeczywiste Liczby zespolone

RODZAJE LICZB Liczby algebraiczne Liczby przestępne Liczby bliźniacze Liczby, które przyjaźnią się ze sobą Liczby doskonałe Liczby lustrzane Liczby pierwsze

są najczęściej używanymi liczbami. LICZBY NATURALNE  są najczęściej używanymi liczbami. N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele.

CZY ZERO JEST LICZBĄ NATURALNĄ? Wśród matematyków istnieją dwie szkoły: Zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych. Takie podejście jest związane z najbardziej „naturalnym” zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów. Zero odpowiada wtedy liczności zbioru pustego. 2. Liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.

LICZBY CAŁKOWITE Liczbami całkowitymi nazywamy wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą Z lub C. Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

LICZBY WYMIERNE Liczby, które można zapisać w postaci ułamka - przy czym w liczniku są liczby całkowite, a w mianowniku - naturalne prócz zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą Q

LICZBY NIEWYMIERNE Są liczby, których nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Przykłady liczb niewymiernych: π, e,

LICZBY RZECZYWISTE Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywa się zbiorem liczb rzeczywistych. Pojęcie liczby rzeczywistej obejmuje wszystkie rodzaje liczb używane w codziennej praktyce: liczby naturalne, liczby całkowite, ułamki, pierwiastki, itp. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem R.

LICZBY ZESPOLONE Jak rozwiązać równanie X2+1=0 ? Jeśli ma ono rozwiązanie, musi być nim liczba, której kwadrat wynosi -1. Ale kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest dodatni. Wymyślono więc nowe liczby, których kwadrat jest ujemny. Do liczb rzeczywistych dodano liczby urojone, stworzone specjalnie po to, by uzyskać kwadrat ujemny!

LICZBY ZESPOLONE I tak powstały liczby zespolone. Oznaczamy symbolicznie C. Liczby zespolone zatem to pary uporządkowanych (a, b) liczb rzeczywistych a i b, dla których określone są działania dodawania i mnożenia: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)

LICZBY ALGEBRAICZNE Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista, która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych). np.: Liczba jest liczbą algebraiczną stopnia 2, bo jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego x2 – 2.

LICZBY PRZESTĘPNE Liczby przestępne to liczby zespolone nie będące algebraicznymi. Słynnymi przykładami liczb przestępnych są π oraz e.

LICZBY, KTÓRE PRZYJAŹNIĄ SIĘ MIĘDZY SOBĄ Liczby zaprzyjaźnione to para liczb naturalnych takich, że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie licząc dzielnika przez samą siebie). 220 jest równe sumie dzielników liczby 284 bez 284 284 jest równe sumie dzielników liczby 220 bez 220

LICZBY DOSKONAŁE Liczba doskonała to liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych. Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 bo 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1

LICZBY LUSTRZANE Liczby lustrzane to pary liczb, które czytane od tyłu wyglądają tak samo jak liczba z pary czytana normalnie. Na przykład: 28 i 82, 17 i 71, 25 i 52, …,

LICZBY PIERWSZE Liczba pierwsza to liczba naturalna, która dzieli się tylko przez samą siebie i jedynkę. Np.; 2,3,5,7,11,…

Ciekawostki Największa znana obecnie liczba pierwsza jest ogromna - ma ona 2 098 960 cyfr. Są liczby pierwsze złożone z samych jedynek , np.23-cyfrowa 11111111111111111111111. Ciekawymi liczbami pierwszymi są też: 188888881, 199999991, 722222227, 111181111, 111191111, 777767777, 123484321, 987646789, 727272727, 919191919, 72020207.

LICZBY BLIŹNIACZE Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Przykłady takich liczb: 3 i 5 5 i 7 11 i 13 7 i 19 …

Liczba π π Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos π Liczba π, ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. π

Liczba pi z dokładnością do 200 miejsc po przecinku π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095  50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193  85211 05559 64462 29489 54930 38196...

A w praktyce… π W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7 π π

Ciąg Fibonacciego Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: Pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

Liczby olbrzymy Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk.

Liczby olbrzymy jeden tysiąc milion miliard bilion biliard trylion 1 100 tysiąc 1 000 103 milion 1 000 000 106 miliard 1 000 000 000 109 bilion 1 000 000 000 000 1012 biliard 1 000 000 000 000 000 1015 trylion 1 000 000 000 000 000 000 1018 tryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 kwadrylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 kwadryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1027 kwintylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1030

Ciekawostki Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonilionów gramów. Ciało ludzkie składa się z 1028 atomów, Ziemia ma ich 1052. Widocznych gwiazd jest około 1087.

Liczby bardzo małe – „liliputy” Oznaczenie Nazwa naukowa Ile to jest     Nazwa potoczna       d decy 10-1 jedna dziesiąta c centy 10-2 jedna setna m mili 10-3 jedna tysiączna mikro 10-6 jedna milionowa n nano 10-9 jedna miliardowa p piko 10-12 jedna bilionowa f femto 10-15 jedna biliardowa a atto 10-18 jedna trylionowa

Ciekawostki Masa cząsteczki wody - 0,000 000 000 000 000 000 000 00003 kg Masa protonu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg Masa elekronu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 95 kg

KWADRATY MAGICZNE Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama.

Magiczny kwadrat Tak zwany „Magiczny Kwadrat" stworzył ok. 2800 roku p.n.e. chiński filozof i budowniczy Lo Shu, tworząc tym samym podwaliny sztuki Feng Shui. Jego kwadrat składa się z dziewięciu pól z wpisanymi liczbami od 1 do 9.

Magiczny kwadrat Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

PRZYKŁADY MAGICZNYCH KWADRATÓW

Fascynujące liczby 13 373 - liczba o niechlubnej sławie. Wielu ludzi nie przepada za obecnością tej liczby podczas piątku danego miesiąca, co wielu tłumaczy pechem. Niektórzy mówią, że w ten właśnie dzień dawniej wieszano ludzi. Tak czy siak liczba 13 sama w sobie miała spory wpływ na społeczeństwo – w wielu wieżowcach na świecie brakuje trzynastych pięter, w niektórych ośrodkach ruchu drogowego nie ma elek o tym niewdzięcznym numerze, a w tarocie dano nawet trzynastej karcie postać śmierci. Całość – jak zwykle – musieli podsumować psychologowie, a dokładnie Isador Coriat, który nadał temu szaleństwu nazwę triskaidekafobia. - mniej więcej tyle stopni kelwina potrzebuje woda aby zagotowała się w standardowych warunkach. Ważna liczba dla kawoszy i herbaciarzy - mniej więcej tyle dni potrzeba Ziemi aby udać się na drugą stronę Słońca i zawrócić 365.26

Fascynujące liczby 12 - 12 godzin ma zegar, 12 miesięcy rok, było 12 apostołów a w ogóle Biblia opisuje tę liczbę jako porządek boży, czyli doskonałość. - Liczba chyba najczęściej podawana jako ta szczęśliwa. Towarzyszy cnotom i głównym grzechom, dniom tygodnia, sztukom wyzwolonym czy cudom świata. 2.72 - liczba e nazywana liczbą Eulera bądź Napiera stoi obecnie u podstawy wszystkich dziedzin nauki i ekonomii, gdzie potrzebne są logarytmy naturalne. Ludzie nie lubią logarytmów, więc e musiała ustąpić sławy π. 7

CZAS NA MATEMATYCZNE ZAGADKI Rybak złowił szczupaka. Na pytanie, jak wielka jest zdobycz, odpowiedział zagadkowo jakby chciał wybadać inteligencję pytającego: "Łeb szczupaka mierzy 12 cm, tułów ma długość taką jak łeb i ogon razem, przy czym trzy czwarte ogona mierzą tyle ile łeb i czwarta część głowy". Pytanie: Jak duży był szczupak?

Łamigłówki Odp: Ogon szczupaka mierzy: 12 cm (łeb) + 3 cm (1/4 łba) - 1/4 ogona. Stąd 3/4 ogona = 15 cm. Cały ogon mierzył 20 cm. Tułów mierzy 32 cm. Cały szczupak ma 64 cm długości. Niczego sobie sztuka!

ŁAMIGŁÓWKI Siedzi szpak na drzewie i leci stado wróbli szpak mówi: -jak was dużo chyba ze sto a wróble na to; - jakby nas było sto to jeszcze raz tyle pół tyle ćwierć tyle i ty szpaku do tego ile nas jest?

ŁAMIGŁÓWKI Odp: 36 ponieważ 36+36+18+9+1=100

Łamigłówki Ułóż 6 zapałek w taki sposób, aby stworzyły one 4 trójkąty równoboczne o boku równym 4cm. Wszystkie zapałki są jednakowe i mają 4cm długości. Zapałek nie wolno łamać, przecinać, podpalać itp. Boki trójkątów mogą być ułożone jedynie z zapałek.

ŁAMIGŁÓWKI Odp:

ŁAMIGŁÓWKI Kupiłem talerze na wyprzedaży. W domu okazało się, że 2/3 wszystkich talerzy było wyszczerbionych, połowa popękanych, a ¼ zarówno wyszczerbionych, jak i popękanych. Jedynie dwa talerze nie miały żadnych pęknięć ani wyszczerbień. Pytanie: Ile talerzy kupiłem

ŁAMIGŁÓWKI Odp: Kupiłem 24 talerze.

ŁAMIGŁÓWKI Jakie jest hasło???

ŁAMIGŁÓWKI Odp: Stopa procentowa

ŁAMIGŁÓWKI Jakie jest hasło???

Odp: Łamana zwyczajna zamknięta. ŁAMIGŁÓWKI Odp: Łamana zwyczajna zamknięta.

bibliografia http://www.math.edu.pl/liczby http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby http://www.zss5dg.com/strona_zss5dg/pomoce/znalezione/cyfry_rzymskie.htm http://www.math.edu.pl/system-rzymski http://www.sciaga.pl/tekst/20089-21-jak_liczono_kiedys http://www.math.edu.pl/kwadrat-magiczny http://pl.wikipedia.org/wiki/Rzymski_system_zapisywania_liczb http://www.gimn4.bedzin.pl/gimn4/strony/bogusia/liczby.html

Za uwagę dziekują grupy: 98/24_mf_g1 98/4_mf_g2