Technika optymalizacji Sformułowanie zadania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń: Funkcja celu f(x) : Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych x, należącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych Rn takiego, że dla Co jest równoznaczne zapisowi: Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Minimum lokalne i globalne funkcji f(x) Punkt stanowi minimum lokalne funkcji f(x) w przestrzeni Rn, jeżeli istnieje takie otwarte otoczenie punktu , że Przy czym jeśli zachodzi dla to istnieje wtedy ścisłe minimum lokalne. Punkt stanowi minimum globalne funkcji f(x) w przestrzeni Rn, jeżeli Przy czym jeśli zachodzi dla to ten punkt stanowi ścisłe minimum globalne. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Zadanie programowania nieliniowego bez ograniczeń DEFINICJA. Kierunkiem d w przestrzeni Rn nazywamy dowolny n-wymiarowy wektor kolumnowy. Niech będzie dany punkt oraz skalar Dowolny punkt leżący na półprostej wychodzącej z punktu x w kierunku będzie wówczas określony zależnością LEMAT. Niech będzie funkcją różniczkowalną w punkcie Załóżmy, że istnieje d, dla którego: Wówczas istnieje takie ,że dla wszystkich zachodzi Dowód: wynika z własności różniczki Gateaux. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Zadanie programowania nieliniowego bez ograniczeń Twierdzenie. Niech będzie funkcją różniczkowalną . Jeśli minimalizuje funkcję f(x) tzn. Dowód: nie wprost. Punkt jest nazywany punktem stacjonarnym. Twierdzenie. Niech będzie funkcją wypukłą i różniczkowalną. Punkt stanowi minimum globalne funkcji dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Jest to warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego f(x) w punkcie Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Minimum globalne funkcji f(x) Twierdzenie: Jeśli będzie funkcją ściśle wypukłą i różniczkowalną, to wektor spełniający warunek konieczny jest jedynym minimum globalnym funkcji f(x). Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Warunki wystarczające optymalizacji dla zadania bez ograniczeń Funkcja f(x) jest funkcją ciągłą i dwukrotnie różniczkowalną. Posiada macierz drugich pochodnych (hesjan) - A Macierz A posiada ciąg podwyznaczników głównych Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Warunki stacjonarności dla zadania optymalizacji nieliniowej bez ograniczeń cd. Twierdzenie: Założono, że jest punktem stacjonarnym funkcji f(x). Wówczas zachodzą poniższe zależności: Jeśli hesjan A jest dodatnio określony tzn: to funkcja f(x) ma minimum lokalne w tym punkcie 2. Jeśli hesjan A jest ujemnie określony tzn: to funkcja f(x) ma maksimum lokalne w tym punkcie 3. Jeśli hesjan A jest pół-dodatnio określony tzn: bądź hesjan pół-ujemnie określony to nie można rozstrzygnąć o typie ekstremum funkcji f(x) w tym punkcie 4. Jeśli nie są spełnione warunki 1 i 2 z nieostrymi nierównościami (wówczas hesjan A nie jest określony) to funkcja f(x) nie ma ekstremum w punkcie Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic

Warunek stacjonarności: poprawić gradient i hesjan A Technika optymalizacji Warunek stacjonarności: poprawić gradient i hesjan A TWIERDZENIE. Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna, to w każdym jej minimum lokalnym bez ograniczeń spełnione są następujące warunki konieczne optymalności zadania ZPN bez ograniczeń. warunek I rzędu dla warunek II rzędu Macierz A jest macierzą ściśle dodatnio określoną Warunek I rzędu jest często nazywamy warunkiem stacjonarności, ponieważ oznacza zerowanie się pierwszej pochodnej. Warunek II rzędu dla funkcji dwukrotnie różniczkowalnych implikuje lokalną wypukłość minimalizowanej funkcji celu. Metody numeryczne i optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic