Fraktale

Historia fraktali Nieświadome odkrycie fraktali wiąże się z badaniem długości brzegu wyspy Wielkiej Brytanii. Pierwsza próba obliczenia długości dała wynik mniejszy, od ponownej próby, w której zastosowano dokładniejszą mapę. Trzecia próba, podczas której posłużono się już kilkuczęściową mapą, dała jeszcze większy wynik. Co ciekawe, nie wyglądało na to, aby wzrost ten hamowany był przez jakąś asymptotę. Okazało się, że brzeg wyspy jest nieskończenie bogaty w szczegóły, a jego długość jest nieskończona. Mimo tego ograniczał skończony obszar lądu.

Fraktale - co to jest? Fraktale są strukturami geometrycznymi, których ścisła definicja nie istnieje. Można powiedzieć, że są one zaprzeczeniem geometrii euklidesowej. Figury takie jak kwadrat czy trójkąt stworzono do uproszczenia rzeczywistego wizerunku przyrody, i nie spotykamy ich w otaczającej nas rzeczywistości. Np. chmury nie są elipsami, pnie drzew nie są walcami a horyzont to nie linia prosta, ich kształty są o wiele bardziej skomplikowane, niemożliwe do opisania za pomocą prostych figur geometrycznych. Możemy powiedzieć, że ich kształty są fraktalne.

W 1980 roku Benoit Mandelbrot badał pewne wielomiany zespolone i otrzymał interesujące wyniki. Otrzymane przez niego "bezkształtne figury" nazwał fraktalami, co po łacinie oznacza "podzielny", "ułamkowy". Ta nazwa dobrze oddaje strukturę fraktali, ponieważ charakteryzuje je wysokie samopodobieństwo, czyli każda ich część przypomina całość. W zwykłej geometrii prostej przypisujemy wymiar 1, płaszczyźnie 2, przestrzeni 3. Dla fraktali wymiar nie jest liczbą całkowitą, choć może się to wydawać trochę dziwne.

Samoskalowość Wyrażenie techniczne, które opisuje samopodobieństwo kształtów pod wpływem zmian skali obserwacji to stałoskalowość. Systemy, które są stałoskalowe nie mają żadnej charakterystycznej długości, która jest typową albo średnią długością. Na przykład, jeśli ktoś obserwuje powietrzną fotografię linii wybrzeża, to trudno jest domyślić się rzeczywistego rozmiaru rysów chyba, że jakieś wytworzone przez człowieka przedmioty są też widoczne. Tak jest, ponieważ, jak powyżej wspomnieliśmy, linie brzegowe są samopodobne w szerokim zakresie skal, albo w przybliżeniu stałoskalowe, podczas gdy produkty wytworzone przez człowieka mają własną charakterystyczną długość: samochód ma charakterystyczną długość około 5 m, dom około 10 m oraz człowiek ma charakterystyczną długość 2 m. Przedmioty, które mają charakterystyczną skalę długości wyglądają różnie w różnych powiększeniach: na przykład, palce, ręka i tors ludzkiego ciała nie są samopodobnymi kształtami

Matematyczne fraktale Naturalne fraktale są samopodobne tylko w ograniczonym zasięgu. Również czasami samopodobieństwo jest raczej tylko statystyczne niż dokładne. Tutaj badam matematyczne fraktale, które są samopodobne we wszystkich skalach i są dokładne. Takie fraktale są generowane przez iterację, która powtarza procedurę pewną liczbę razy. Liczba wykonywanych razy (kroków) procedury może być kontynuowana w kółko przez całkowitą liczbę k.

Jak powstają Aby zrozumieć mechanizm powstawania fraktali, należy najpierw poznać definicję liczb zespolonych Liczby zespolone powstają z dodawania do siebie liczb rzeczywistych i urojonych. Liczba zespolona ma postać: a+ib, gdzie liczby a i b to część rzeczywista, a i urojona liczby zespolonej Fraktale są graficzną interpretacją pewnych równań zespolonych. Powstają przez powtarzanie w nieskończoność pewnych czynności, liczeniu poszczególnych elementów ciągu, i stawianiu punktów o kolorze zależącym od wyniku.

Zbiór Cantora Miotełka Klastera – Kuratowskiego Zbiór Cantora powstaje w nastąpujący sposób: Bierzemy odcinek i dzielimy go na 3 części. Z tych części usuwamy środkową. Tak samo postępujemy z pozostałymi odcinkami i tak w nieskończoność. Poniżej pokazane jest kilka pierwszych kroków: Miotełka Klastera – Kuratowskiego Ten spójny zbiór powstaje w połączeniu punktów zbioru Cantora z położonym zewnętrznie punktem. Gdyby ten ostatni usunął, zbiór straciłby cechę spójności w zwykłym sensie.

Krzywa Kocha Krzywa Kocha rysuje się w bardzo prosty sposób. Zaczynamy od linii prostej. Dzielimy ją na 3 części i usuwamy środkową. W jej miejsce wstawiamy trójkąt równoboczny o boku takim jak usunięta część. Tak samo postępujemy z każdym z powstałych odcinków.

Płatek śniegu Kocha W 1904 roku szwedzki matematyk Helge von Koch skonstruował dziwną figurę, która z wyglądu przypomina płatek śniegu. Rysuje się trójkąt równoboczny o długości boku np. 1. Każdy bok trójkąta dzielimy na trzy równe części i doklejamy do części środkowej, tak jak na rysunku, trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym. Z trójkąta powstała 12 boczna gwiazda. Każdy jej bok ma długość równą.

Każdy bok gwiazdy dzieli się znowu na trzy równe części i do części środkowej dokleja się trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym niż poprzednio. Otrzymuje się 48 boczną gwiazdę o długości boku. W kolejnych krokach postępuje się podobnie jak poprzednio. W trzecim kroku powstanie gwiazdka, która ma jednakowej długości boków. Rysunek poniżej pokazuje gwiazdkę po 5 krokach konstrukcji. Gwiazdka ta ma , czyli 3072 boki.

Konstrukcję tę możemy powtarzać dowolnie wiele razy Konstrukcję tę możemy powtarzać dowolnie wiele razy. A jak będzie wyglądała taka 'graniczna' gwiazda po wykonaniu nieskończenie wielu kroków? Okazuje się, że jest to figura o trudnych do wyobrażenia własnościach. Nazywa się ją płatkiem śniegu, a jej brzeg krzywą Kocha. Płatek śniegu, chociaż powstał z sumowania nieskończenie wielu trójkątów, ma skończone pole. Jego brzeg jest bardzo dziwną krzywą. Ta krzywa ma nieskończoną długość, choć jak można to sprawdzić, ogranicza obszar o skończonym polu. Trudno to sobie wyobrazić, ale ta krzywa nie zawiera żadnych odcinków - w każdym swym punkcie ma 'zagięcie', a więc w żadnym swym punkcie nie ma stycznej.

Śnieżynka Kocha Podobnie jak funkcja Weierstrassa, jest ona ciągła w każdym punkcie, lecz nie jest różniczkowalna. Nadto, podobnie jak linia brzegowa, ogranicza skończony obszar powierzchni, lecz sam jest nieskończonej długości.

Fraktale Sierpińskiego Wacław Sierpiński (1882-1969) należy do najwybitniejszych polskich matematyków. Jest współtwórcą Polskiej Szkoły Matematycznej. Jego największe osiągnięcia dotyczą teorii liczb. Skonstruował wiele zadziwiających zbiorów. Oto trzy z nich : dywan, trójkąt i piramida.

Konstrukcja dywanu Sierpińskiego Krok pierwszy: Najpierw rysuje się kwadrat K 0, który dzieli się na dziewięć równych części i usuwa się środkowy kwadrat. Krok drugi Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych kwadratów dzieli się znowu na dziewięć równych części i usuwa się środkowe kwadraciki.

Konstrukcja dywanu Sierpińskiego Kolejne kroki: W kolejnych krokach postępuje się podobnie jak poprzednio. Po k krokach kwadrat będzie miał aż dziur, którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości. Rysunek obok pokazuje dywan po 5 krokach konstrukcji. Zbiór, który otrzyma się po nieskończenie wielu krokach nazywa się dywanem Sierpińskiego. Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest równe 0.

Kostka Mengera Dziesięc lat po powstaniu dywanu Sierpińskiego, Karl Menger wpadł na pomysł stworzenia trójwymiarowego odpowiednika tej figury. Sposób konstrukcji jest całkowicie analogiczny, po prostu odnosimy go do sześcianu. Bryła ta jest uniwersalnym zbiorem dla wszystkich krzywych.

Konstrukcja trójkąta Sierpińskiego Krok pierwszy; Najpierw rysuje się trójkąt równoboczny o długości boku np. 1. Środki boków trójkąta łączy się odcinkami. Otrzymuje się cztery trójkąty równoboczne, każdy o długości boku . Usuwa się środkowy trójkąt. Krok drugi: Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów dzieli się znowu na cztery równe trójkąty. Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów otrzymanych w pierwszym kroku. Usuwa się środkowe trójkąty.

Konstrukcja trójkąta Sierpińskiego Kolejne kroki: W kolejnych krokach postępuje się podobnie jak poprzednio. Po k krokach trójkąt będzie miał aż dziur, którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości. Rysunek poniżej pokazuje trójkąt po 5 krokach konstrukcji. Zbiór, który otrzymamy po nieskończenie wielu krokach nazywa się trójkątem Sierpińskiego. Pole powierzchni trójkąta Sierpińskiego jest równe 0 .

Konstrukcja piramidy Sierpińskiego Krok pierwszy Najpierw rysuje się czworościan. Łączy się odcinkami środki krawędzi czworościanu. Usuwa się bryłę, której krawędziami są te odcinki. Krok drugi Z każdego małego czworościanu usuwa się bryłę, której krawędziami są odcinki łączące środki krawędzi czworościanów otrzymanych w pierwszym kroku. Powstanie piramida, która ma 5 dziur. Kolejne kroki W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po k krokach piramida będzie miała aż dziur, którymi są usunięte bryły różnej wielkości. Zbiór, który otrzymuje się po nieskończenie wielu krokach nazywa się piramidą Sierpińskiego. Objętość piramidy Sierpińskiego jest równa 0.

Zbiór Julii Na długo przed powstaniem teorii fraktali, francuski matematyk Gaston Julia badał iteracje wymiernych funkcji zespolonych. Najprostszym przykładem funkcji wyjściowej dla konstrukcji zbioru Julii jest gdzie z jest liczba zespolona wyrażona w postaci z=x+iy, gdzie x, y, c należą do zbioru R, z kolei: Dla części liczb c zbiór Julii tworzy zamkniętą spójną linię, natomiast dla pozostałych układ rozbija się na nieskończenie wiele części.

Zbiór Julii

Zbiór Mandelbrota Benoit Mandelbrot nie zdawał sobie nawet sprawy jak ważną i skomplikowaną funkcję odkrył podczas zadania komputerowi narysowania wykresu tych punktów c, dla których zbiór Julii jest spójny. W całym zbiorze występuje niesamowite samopodobieństwo. W zbiorze doszukał możemy się kształtów spirali, koników morskich, serduszek i innych. Odkryciu Mandelbrota poświęconych już zostało wiele monografii.

Fraktale trójwymiarowe Istnieją również fraktale trójwymiarowe. Najsłynniejszym przykładem takiej struktury jest opisana poniżej kostka Mengera. Istnieje również trójwymiarowo odpowiednik trójkąta Siepińskiego. W Internecie odnaleźć możemy jednak wiele innych tego typu tworów (a do tego bardziej skomplikowanych) często o poetyckich nazwach. Przykładem niech będzie tutaj "Hub Hub" in. Ośrodek.

Sławek Niedochodowicz Prezentacje wykonali Mariusz Biliński Tomasz Chojnowski Sławek Niedochodowicz Z klasy 2a