Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Matematyka zawiera w sobie nie tylko prawdę, ale i najwyższe piękno – piękno chłodne i surowe, podobne do piękna rzeźby.” Bertrand Russell

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45° ORAZ 90°, 60°, 30°. Trójkąty o takich kątach nazywane są również ekierkami. Jeśli masz komplet przyrządów do geometrii przyjrzyj się ekierkom, są to właśnie trójkąty o miarach kątów podanych powyżej. Co jest takiego niezwykłego w tych trójkątach? Długości ich boków łączą pewne zależności. Znając te zależności możemy obliczyć długości wszystkich boków w takich trójkątach w oparciu o długość tylko jednego boku.

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. Przypomnijmy sobie związki zachodzące w kwadracie:  

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. A teraz przyjrzyjmy się połowie tego kwadratu, czyli trójkątowi o kątach 90°, 45°, 45°:

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. Jak wykorzystać informacje z poprzedniej planszy? Oto przykład: Oblicz długości boków w narysowanym trójkącie. Porównujemy trójkąt z rysunku z naszym trójkątem z poprzedniej planszy (można naszkicować mały rysunek pomocniczy).

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. A więc zależności w naszym trójkącie wyglądają tak:

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. Przypatrzmy się trójkątowi prostokątnemu:

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. Dla ułatwienia oznaczamy bok trójkąta przez 2a i otrzymujemy następujące zależności:

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. Korzystając z zależności podanych na poprzedniej planszy możemy rozwiązać następujące zadanie: Oblicz długości boków oznaczonych literami.

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. Możemy sobie oznaczyć przy odpowiednich bokach znane nam zależności, to pomoże nam w obliczeniach: x = 5 l = 2 ∙ 5 = 10 k = 5

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. Oto inny przykład:

TRÓJKĄTY O KĄTACH 90°, 45°, 45°. Podobnie jak poprzednio warto zaznaczyć sobie znane zależności:

PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE 1. Schematyczny rysunek przedstawia część ramy pewnego roweru. Linka do przednich przerzutek poprowadzona jest wzdłuż czerwonej linii. Jak długą linkę do przerzutek trzeba kupić? Na montaż w mechanizmie przerzutki i manetce przy kierownicy należy doliczyć 40 cm.

PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE 1. – ciąg dalszy Na rysunku zaznaczamy znane nam zależności: Następnie układamy i rozwiązujemy równanie:

PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE 1. – ciąg dalszy A więc długość naszej linki to w przybliżeniu: 1,1 m + 0,63 m + 0,4 m = 2,13 m Odpowiedź: Należy kupić linkę o długości około 2,13 m.

PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE 2. Na schemacie pokazano niektóre wymiary projektowanego domu. Jaka powinna być długość belki AB a jaka słupa AC? Wyniki podaj w zaokrągleniu do pełnych centymetrów.

PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE 2 – ciąg dalszy. Na rysunku zaznaczono kąt 60° a więc najprawdopodobniej musimy skorzystać z własności trójkąta 90°, 60°, 30°. Na rysunku poniżej kolorem zaznaczyliśmy interesujące nas trójkąty o tych kątach.

PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE 2 – ciąg dalszy. W trójkącie zielonym mamy: x = 0,5 m 2x = 1 m

PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE 2 – ciąg dalszy. W trójkącie czerwonym mamy: 8 m – ponieważ dach jest tu trójkątem równoramiennym a więc jego wysokość (odcinek AC) dzieli podstawę na dwie równe części. x = 8 m 2x = 16 m x = 8 m ≈ 8 ∙ 1,73 m = 13,84 m W takim razie belka AC powinna mieć długość 13,84 m a belka AB 17 m (16 + 1).

JESZCZE RAZ Aby dobrze rozwiązywać zadania z wykorzystaniem własności „ekierek” trzeba odpowiednio wpisać wyrażenie przy odpowiednim boku.