TRÓJKĄT PASCALA I FRAKTALE

Co to jest „Trójkąt Pascala”? Trójkąt Pascala tworzy się z liczb naturalnych zgodnie z następującymi regułami: 1.w najwyższym wierszu wpisujemy jedynkę; 2.w drugim wierszu od góry - dwie jedynki; 3.w trzecim wierszu kolejno 1, 2, 1; 4.w każdym następnym wierszu o jedną liczbę więcej, niż w poprzednim; na lewym i prawym skraju jedynki, a na każdym innym miejscu - liczbę, która jest sumą dwóch liczb widniejących w poprzednim wierszu bezpośrednio nad nią.

Trójkąt Pascala nazywamy inaczej trójkątną tablicą liczb. Liczby widniejące w n + 1 wierszu trójkąta są współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi dwumianu. W czwartym wierszu, na przykład, stoją: 1, 3, 3, 1,a trzecia potęga, czyli sześcian dwumianu, dany jest wzorem: Przedstawia elementy opisywane przez symbol Newtona o równaniu rekurencyjnym: Trójkąt Pascala nazywamy inaczej trójkątną tablicą liczb.

Kto to był Pascal? Pascal Blaise (1623-1662), francuski filozof, matematyk, fizyk i publicysta, uważany powszechnie za następcę Kartezjusza. Sformułował prawa podzielności liczb całkowitych oparte na sumowaniu cyfr, opracował metodę wyznaczania współczynników dwumianu dowolnego stopnia, wprowadził metodę indukcji matematycznej, zajmował się przekrojami stożków, kombinatoryką i podstawami rachunku prawdopodobieństwa, był prekursorem metod obliczania pól, objętości itp. Badał zjawiska hydrostatyczne, w 1653 sformułował jedno z podstawowych praw hydrostatyki nazwane prawem Pascala.

Historia „Trójkąta Pascala” Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem. W 1654 opublikował Traité du triangle arithmétique, było to kopalnią użytecznych relacji pomiędzy współczynnikami dwumianowymi, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

Zastosowanie „Trójkąta Pascala” Trójkąt Pascala stosuje się w programowaniu gier, wykorzystuje się go w spektroskopii i w rachunku prawdopodobieństwa. Algol-język programowania odegrał ważną rolę w historii informatyki. Od momentu powstania, przez około 20 lat język, lub jego dialekty, był standardem opisu algorytmów w publikacjach naukowych. Na podstawie języka Algol 60 Niklas Wirth stworzył Algol W, który posłużył mu następnie do zdefiniowania Pascala.

Jak z pomocą trójkąta Pascala obliczać 11 do dowolnej potęgi: obliczanie 11^n Weź rząd n. Wypisz liczby w słupku tak jak przy mnożeniu pisemnym (z jednym przesunięciem). Dodaj w kolumnach.

np. 11^5 w 5 rzędzie trójkąta jest 1, 5, 10, 10, 5, 1 co zapisujemy: i po sumowaniu w kolumnach otrzymujemy wynik.

Własności „Trójkąta Pascala” Na skrajnych, bocznych (zerowych) rzędach trójkąta są jedynki. W kolejnym (pierwszym) skrajnym, bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...). W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...). W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35)

Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno i zero wymiarowej. Suma liczb w poziomym rzędzie to kolejne potęgi liczby 2. Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego:

Trójkąt Pascala i fraktale Z trójkąta Pascala można otrzymać fraktale.

udowodnić, że świat matematyki swym bogactwem Potwory- tak o nich mówiono na początku XX w. Zwyrodniałe funkcje matematyczne – gdy próbowano ręcznie szkicować ich wykresy otrzymywano formy postrzępione, rozwidlające się na nie zliczone członki. Na papierze pojawiały się figury dziwne, samopodobne – ich fragmenty były bowiem pomniejszonymi obrazkami całości. O nie, te upiory nie obudziły się, gdy rozum spał. Wprost przeciwnie – najwybitniejsi uczeni powołali je do życia świadomie , by udowodnić, że świat matematyki swym bogactwem wykracza daleko poza prostotę przyrody

Krzywa Peano, pył. Cantora, płatek śniegu. Kocha, dywan Krzywa Peano, pył Cantora, płatek śniegu Kocha, dywan Sierpińskiego – twory pozornie tylko dwu – czy trójwymiarowe, bo w rzeczywistości zagubione gdzieś między wymiarami. Uznane za nieprzydatne, ale fascynujące brzydotą , wystawiano w matematycznym lunaparku, strasząc studentów. Ale przyroda spłatała uczonym figla. Okazało się, że te owe monstra nierzadko opisują jej ukryte wzory. Oswoił je Benoit B. Mandelbrot, którego matematycy zwali lekceważąco fizykiem , a fizycy – matematykiem. Wykorzystywał w tym celu pierwsze superkomputery , w latach 50. uważane za narzędzie niegodne matematyków. Wygenerował wykresy tych patologicznych funkcji i oniemiał na widok piękna otrzymanych obrazów. W tym roku mija 32 lata od chwili, gdy nadał im wspólną nazwę – fraktale.

Wkrótce fraktale stały się modne Wkrótce fraktale stały się modne. Zyskały wręcz rzesze adoratorów i trudno powiedzieć czy ich większość stanowili naukowcy, czy ich profani. Skąd takie zainteresowanie? Dlaczego pewnego majowego popołudnia aula Wydziału Fizyki Uniwersytetu Jagiellońskiego wypełniła się słuchaczami aż po brzegi? Co przez półtorej godziny wykładu Mandelbirta dodawało sił stojącym na schodach szacownym profesorom i eterycznym krakowiakom? Gość odwiedził Polskę w związku z przyznaniem mu prestiżowego matematycznego wyróżnienia- medalu im. W. Sierpińskiego. O fraktalach opowiadał podczas wykładu i krótkiej rozmowy .

Historia fraktali Nieświadome odkrycie fraktali wiąże się z badaniem długości brzegu wyspy Wielkiej Brytanii. Pierwsza próba obliczenia długości dała wynik mniejszy, od ponownej próby, w której zastosowano dokładniejszą mapę. Trzecia próba, podczas której posłużono się już kilkuczęściową mapą, dała jeszcze większy wynik. Co ciekawe, nie wyglądało na to, aby wzrost ten hamowany był przez jakąś asymptotę (pojęcie odnoszące się do wykresu funkcji, krzywej czy powierzchni ). Okazało się, że brzeg wyspy jest nieskończenie bogaty w szczegóły, a jego długość jest nieskończona. Mimo tego ograniczał skończony obszar lądu.

Czym są fraktale ? Fraktale są figurami, w których część figury jest podobna do całości. Ale ciągle jeszcze nie istnieje  ścisła definicja fraktala. Najwybitniejszym znawcą fraktali i twórcą tego terminu, jest matematyk i informatyk amerykański Benoit Mandelbrot. Teoria fraktali , to obecnie bardzo żywo rozwijająca się i bardzo modna dyscyplina. Zajmują się nią specjaliści różnych nauk: matematycy, fizycy, mechanicy. Wielu badaczy twierdzi, że geometria fraktali jest geometrią przyrody.  W chmurach, liniach wybrzeży morskich, łańcuchach górskich, płatkach śniegu, drzewach, pianie mydlanej można odkryć kształty fraktali.

Przykłady fraktali

Przykłady fraktali otrzymanych metodą Banacha

Fraktale stworzone przez Sierpińskiego Dywan Sierpińskiego Trójkąt Sierpińskiego Piramida Sierpińskiego

Fraktale można też tworzyć jak na rysunku dalej, wchodząc do wnętrza np. trójkąta.

UWAGA!!! Pojęcie fraktala można uogólnić, przyjmując, że jest to dowolny obiekt (nie tylko więc figura), w którym część jest podobna do całości. Fraktalami są  wtedy także poniższe  wyrażenia arytmetyczne:

Zastosowania Od dłuższego czasu analiza danych zmierza w kierunku poszukiwania wzorców zachowań. Nie tylko bada się zależności pomiędzy danymi, ale także próbuje się znaleźć wzory które opisywałyby "zachowanie" danych tzn. dlaczego wartości rosną, maleją, przesuwają się itp. Okazuje się, że fraktale znajdują zastosowanie w opisie tych zjawisk. Coraz częściej wzory i charakterystyki fraktali dają nam lepsze zrozumienie w różnych dziedzinach takich jak: medycyna, biologia, psychologia, gospodarka leśna, analiza sygnałów, ekonomia.

Medycyna i gospodarka W medycynie fraktali używa się do analizy obrazów tomograficznych, rozpoznawania komórek itp. Na przykład: Przeprowadzone parę lat temu badania w ośrodku badawczym Mount Sinai w Nowy Jorku wskazały na zależność pomiędzy wymiarem fraktalnym chromosomu a rakiem. W gospodarce leśnej zauważono że średnia wymiaru fraktalnego małych terenów leśnych jest mniejsza niż dużych. Przełom następuje mniej więcej przy rozmiarze 63-70 ha.

Psychologia i biologia W psychologii naukowcy badający ludzkie oceny estetyczne (czy coś jest ładne lub brzydkie, itp.) stwierdzili że istnieje zależność pomiędzy estetyką rysunku wygenerowanego za pomocą fraktala a wymiarem tego fraktala. W biologii naukowcy analizujący obraz termalny krowy stwierdzili, że wymiar fraktalny takiego obrazu zmniejsza się w momencie kiedy zwiększa się jej stres.

Ekonomia i kosmos W ekonomii wykorzystuje się fraktale na przykład do przewidywania zachowania notowań akcji. Liczenie wymiaru Minkowskiego z wykresu cen akcji może posłużyć do analizy trendów spółek, czyli które z nich zachowują się podobnie (mają duże lub małe wahania w cenie). Odbierając zdjęcia z satelitów takich jak Voyager, które robią zdjęcia Marsa i innych planet można przepuścić przez narzędzia anti-aliasingowe (wygładzające) obraz i w ten sposób poprawić dokładność wymiaru fraktalnego. Ponieważ ta technika działa tylko dla obrazów "naturalnych" można byłoby wstępnie posegregować obrazy pokazujące krajobrazy i te które mogą pokazywać coś sztucznego.

Galeria

QUIZ

Jak miał na imię Pascal? Odpowiedź: Blaise Jak konstruuje się Trójkąt Pascala? Odpowiedź: 1.w najwyższym wierszu wpisujemy jedynkę;2.w drugim wierszu od góry - dwie jedynki;3.w trzecim wierszu kolejno 1, 2, 1;4.w każdym następnym wierszu o jedną liczbę więcej, niż w poprzednim; na lewym i prawym skraju jedynki, a na każdym innym miejscu - liczbę, która jest sumą dwóch liczb widniejących w poprzednim wierszu bezpośrednio nad nią.

W czym stosuje się Trójkąt Pascala? Odpowiedź: W programowaniu gier komputerowych, w spektroskopii i w rachunku prawdopodobieństwa. Co można otrzymać zamalowując odpowiednie liczby w Trójkącie Pascala? Odpowiedź: Fraktale Jak inaczej nazywamy Trójkąt Pascala? Odpowiedź: Trójkątną tablicą liczb.

Podaj nazwiska dwóch matematyków, którzy tworzyli fraktale. Odpowiedź : Sierpiński i Banach Jaka wyspa wiąże się z nieświadomym odkryciem fraktali? Odpowiedź : Wielka Brytania Wymień przynajmniej 3 dziedziny zastosowań fraktali. Odpowiedź : Medycyna, gospodarka, biologia, psychologia, ekonomia i kosmos.

Literatura http://www.matinfa.webpark.pl/index/matma/ciekaw/t_pascala.html http://www.zhr.pl/~p.buczkowski/trojkat.php http://kolos.math.uni.lodz.pl/~user/user/?p=pliki/trojkat_pascala Wyszukiwarka google.pl „Tablice matematyczne”, autor Tomasz Szymczyk, wydawnictwo „Park”

Pracę wykonali: Jankowska Monika Kapczyński Łukasz Mieszała Anna Smołuch Mateusz Wawruszczak Żaneta Wróblewski Emil Pod nadzorem Pani Anny Kowalewskiej

KONIEC Dziękujemy za uwagę!!!