Wieloatrybutowe problemy decyzyjne – metody rozwiązywania Przypomnienie: Problemy wieloatrybutowe – problemy wyznaczenia takiej opcji decyzyjnej spośród skończonego (liczbowo niedużego) zbioru dopuszczalnych opcji, która zapewni jak najlepsze osiągnięcie wszystkich rozpatrywanych przez decydenta kryteriów – atrybutów Tak sformułowany problem – problem wyboru wieloatrubutowego Inne sformułowania:  problem sortowania wieloatrybutowego – przyporządkowanie opcji do z góry określonych kategorii  problem porządkowania wieloatrybutowego – podział opcji na klasy opcji jednakowo dobrych

Dwie szkoły rozwiązywania problemów wieloatrybutowych:  szkoła amerykańska (Ralph Keeney, Howard Raiffa) – metody wieloatrybutowej teorii użyteczności  szkoła europejska (Bernard Roy, Philippe Vincke, Roman Słowiński) – metody relacji przewyższania Metoda szkoły amerykańskiej – AHP (The Analytic Hierarchy Process) Proces Analitycznej Hierarchizacji Metoda szkoły europejskiej – ELECTRE

Proces analitycznej hierarchizacji problemu decyzyjnego The Analytic Hierarchy Process Autor: Thomas L. Saaty, University of Pittsburgh, 1973 Proces analitycznej hierarchizacji problemu decyzyjnego jest systematyczną procedurą opartą na hierarchicznym przedstawieniu elementów problemu decyzyjnego, takich elementów, które określają jego istotę Metoda polega na dekompozycji problemu na możliwie proste jego elementy składowe i potem na przetwarzaniu sekwencji ocen osoby/grupy osób opartych o porównywanie parami

Przykład 1. Średniozamożna rodzina postanowiła kupić dom. W wyniku rodzinnej dyskusji udało się określić osiem kryteriów, które powinny służyć ocenie domu. Kryteria te można podzielić na trzy grupy: ekonomiczne, lokalizacyjne i fizyczne. Chociaż można było rozpocząć proces podejmowania decyzji od oceny względnej ważności poszczególnych grup kryteriów, rodzinie wydawało się, że raczej powinni ocenić względną ważność poszczególnych kryteriów niż zajmować się grupami kryteriów. Zadanie polegało ostatecznie na wyborze jednego z trzech domów-kandydatów.

Kroki rozwiązywania problemu Krok I - dekompozycja i przedstawienie problemu w postaci hierarchicznej Kolejność rozważanych poziomów hierarchii:  POZIOM PIERWSZY - cel ogólny do osiągnięcia w rozważanym problemie  POZIOMY NASTĘPNE – kryteria-atrybuty uszczegółowiające cel ogólny  POZIOM NAJNIŻSZY – rozważane opcje decyzyjne

Przykład: Na pierwszym poziomie – najwyższym - poziomie znajdzie się ogólny cel „KUPNO DOMU” Na drugim poziomie znajdzie się osiem atrybutów – kryteriów uszczegółowiających cel ogólny (nie znamy ich jeszcze), które powinny być ocenione ze względu na cel ogólny Na trzecim - najniższym - poziomie znajdą się trzy domy – kandydaci, które powinny być ocenione ze względu na kryteria znajdujące się na poziomie drugim.

.... Kupno domu Poziom 1 Poziom 2 Poziom 3 Atrybut 1 Atrybut 2 Dom A Dom B Dom C Poziom 3

Krok II - określenie/zdefiniowanie ocenianych atrybutów Zasada 1 (hierarchicznej ciągłości): 1) elementy niższego poziomu (kryteria, atrybuty) muszą być porównywalne parami w odniesieniu do elementów wyższego poziomu Przykład:  Należy otrzymać racjonalną odpowiedź na pytanie: „Na ile dom A jest lepszy od domu B biorąc pod uwagę kryterium 4”  Należy otrzymać racjonalną odpowiedź na pytanie: „Na ile atrybut 3 jest ważniejszy od atrybutu 2 przy kupnie domu przez średniozamożną rodzinę

Zasada 2: 2) struktura hierarchiczna problemu musi obejmować wszystkie elementy (kryteria, atrybuty) wskazane przez członków grupy decyzyjnej jako istotne Przykład: Powierzchnia działki była uznana za ważny atrybut, tylko przez jednego z członków rodziny i został włączony do zestawu atrybutów

Członkowie rodziny wybrali następujące kryteria: 1. Rozmiary domu: ogólna powierzchnia domu, liczba pokoi, rozmiary pokoi, pojemność spiżarni – schowków; 2. Dogodność komunikacji publicznej bliskość przystanku autobusowego, przystanku metra, itp; 3. Otoczenie: natężenie ruchu ulicznego, bezpieczeństwo okolicy, ładne widoki, niskie opłaty (podatki), zadbane otoczenie; 4. Kiedy dom był zbudowany: nie potrzeba objaśnień 5. Działka: powierzchnia działki, przestrzeń przed domem, z tyłu, z boku a także odległość od sąsiadów;

Kryteria: c.d. 6. Wyposażenie: klimatyzacja, sygnalizacja alarmowa, zmywarka do naczyń, usuwanie śmieci i podobne urządzenia będące w domu; 7. Ogólny stan: ściany, dach, czystość, instalacja elektryczna, instalacja wodno-kanalizacyjna, potrzeba remontu 8. Warunki finansowe zakupu: warunki sprzedaży i warunki kredytu bankowego .

Krok III - specyfikacja opcji decyzyjnych i ostateczne graficzne przedstawienie hierarchii Informacje o domach A, B, C Dom A. Największy z domów, wokoło ładne okolice, niezbyt intensywny ruch drogowy, podatki za dom nieduże. Działka większa niż domów B i C. Ogólny stan domu nie jest najlepszy, potrzebne są zasadnicze naprawy i malowanie. Z tego powodu bank może finansować zakup domu z dużym procentem, można powiedzieć, że warunki finansowe są niezadowalające. Dom B. Dom B jest nieco mniejszy od domu A, położony jest daleko od przystanków autobusowych, wokoło intensywny ruch drogowy. Dom jest dosyć mały i brakuje w nim nowoczesnych udogodnień. Z drugiej jednak strony stan domu jest bardzo dobry i na dom można dostać pożyczkę z dosyć niskim procentem; to oznacza, że warunki finansowe są w pełni zadowalające.

Informacje o domach A, B, C c.d. Dom C. Dom C jest bardzo mały i nie ma w nim nowoczesnych udogodnień. W okolicy duże podatki, ale dom jest w dobrym stanie i jest bezpieczny. Działka jest większa niż w domu B, ale mniejsza niż w domu A. Ogólny stan domu dobry i dobrze wyposażony. Warunki finansowe znacznie lepsze jak dla domu A, ale nie tak dobre jak dla domu B.

Dogodność komunikacji publicznej Kiedy dom był zbudowany Przykład: Poziom 1 Dom Rozmiary domu Atrybut 1: Dogodność komunikacji publicznej Atrybut 2: Atrybut 3: Otoczenie Kiedy dom był zbudowany Atrybut 4: Atrybut 5: Działka Atrybut 6: Wyposażenie Atrybut 7: Ogólny stan Warunki finansowe Atrybut 8: Poziom 2 Dom A Dom B Dom C Poziom 3

.... .... ... Cel nadrzędny Poziom 1 Poziom 2 Poziom 3 Poziom K Atrybut 1 Atrybut 2 Atrybut n .... Poziom 2 Podatrybut 1 atrybutu 1 Podatrybut 2 .... Podatrybut m1 Poziom 3 Opcja 1 Opcja 2 Opcja p ... Poziom K

Krok IV - tworzenie macierzy porównań parami  Porównania w utworzonej hierarchii prowadzimy parami  Macierze porównań parami tworzymy dla poziomów 2, ..., K  Macierze porównań parami tworzymy dla porównania wszystkich elementów poziomu niższego względem kolejnych elementów poziomu wyższego Zatem:  dla poziomu k (k=2, ..., K) liczba tworzonych macierzy porównań parami równa się liczbie elementów poziomu k-1  macierze porównań parami są macierzami kwadratowymi, dla poziomu k mającymi wymiar równy liczbie elementów na tym poziomie

Przykład: Macierze porównań parami utworzymy dla: 1. porównania ważności kryteriów – atrybutów poziomu 2 (rozmiary domu, dogodność komunikacji autobusowej, ...) ze względu na ogólny cel poziomu 1 (zadowolenie z kupna domu) 2. porównania każdego z domów (A, B, C) – opcji poziomu 3 - ze względu na kryteria – atrybuty poziomu 2 rozmiary domu, dogodność komunikacji autobusowej) Musimy utworzyć: jedną macierz o wymiarze 8x8, dla porównań parami atrybutów poziomu 2 ze względu na cel poziomu 1 osiem macierzy o wymiarze3x3, dla porównań parami opcji zakupu domu z poziomu 3 ze względu na atrybuty poziomu 2

Przykład: Kupno domu: macierz porównań parami dla poziomu 2: Dogodność komunikacji publicznej Rozmiary domu Otoczenie domu Kiedy był zbudowany Działka Wyposażenie domu Ogólny stan domu Warunki finansowe kupna Kupno domu Rozmiary domu Dogodność komunikacji autobusowej Otoczenie domu Kiedy dom był zbudowany Działka Wyposażenie domu Ogólny stan domu Warunki finansowe kupna

Kupno domu: macierze porównań parami dla poziomu 3: Rozmiary domu A B C A B C Dogodność komunikacji autobusowej A B C A B C Otoczenie domu A B C A B C Kiedy dom był zbudowany A B C A B C Działka A B C A B C Wyposażenie domu A B C A B C Ogólny stan domu A B C A B C Warunki finansowe kupna A B C A B C

„Umocowanie” metody AHP  Metoda AHP powstała na gruncie wieloatrybutowej teorii użyteczności, która wyrosła z klasycznej teorii użyteczności  Teoria użyteczności zasadza się na istnieniu związku pomiędzy preferencjami decydenta a funkcją użyteczności Oznaczmy relację porządku/preferencji w przestrzeni kryteriów/atrybutów ≥ Zapis odczytujemy: x jest nie gorszy od y

Relację preferencji ≥ nazywamy racjonalną jeżeli jest  zupełna  przechodnia Definicja: Funkcję nazywamy funkcją użyteczności reprezentującą relację ≥ jeżeli

Funkcja użyteczności, jeżeli istnieje pozwala uporządkować opcje decyzyjne ze względu na preferencje decydenta Znajomość funkcji użyteczności pozwala na uporządkowanie zbioru opcji decyzyjnych, a tym samym na wyznaczenie najbardziej preferowanej opcji decyzyjnej do realizacji jako decyzji Twierdzenie: Warunkiem koniecznym istnienia funkcji użyteczności reprezentującej relację preferencji ≥ jest spełnienie przez nią warunków racjonalności

W wieloatrybutowej teorii użyteczności przyjmuje się (Keeney, Raiffa), że zbiór kryteriów-atrybutów spełnia warunek dekompozycyjności, to znaczy, ze ocena opcji decyzyjnej ze względu na cały zbiór kryteriow-atrybutów może być przeprowadzona sekwencyjnie – najpierw każda opcja oceniana jest ze względu na każde kryterium-atrybut oddzielnie a następnie otrzymywana jest ocena zagregowana Etapowość:  wyznaczenie użyteczności częściowej każdej opcji decyzyjnej względem każdego z kryteriów-atrybutów  określenie użyteczności globalnej za pomocą wieloatrybutowej funkcji użyteczności agregującej użyteczności częściowe

Problem – określenie postaci wieloatrybutowej funkcji użyteczności Najprostsza funkcja użyteczności – funkcja addytywna Funkcja addytywna – trzeba spełnić pewne warunki stosowalności; dla problemów deterministycznych warunkiem koniecznym i wystarczającym jest wzajemna preferencyjna niezależność kryteriów atrybutów Dwa kryteria-atrybuty są niezależne w sensie preferencyjnym, jeżeli preferencja decydenta względem jednego z nich nie zależy od oceny względem drugiego

Agregacja ocen z wykorzystaniem macierzy porównań parami – znaczenie macierzy porównań parami Dysponujemy • C1, C2, ... , Cn - zbiór n rozważanych elementów (kryteriów, atrybutów, opcji poziomu niższego) na danym poziomie Chcemy • Każdemu elementowi C1, C2, ... , Cn - przypisać numeryczną ważność, wagę w1, w2, ... , wn, tych elementów względem elementów poziomu wyższego, które mogą być interpretowane jako użyteczności tych elementów

C1 ... Cj ... Cn C1 . Ci Cn Wykonujemy • Porównanie poszczególnych elementów parami, uzyskując liczby aij Macierze porównań parami: C1 ... Cj ... Cn C1 . Ci Cn

Właściwości macierzy porównań parami: Kwadratowa Wymiar określony przez liczbę elementów porównywanych na danym poziomie Odwrotnie symetryczna Liczbowa (niekoniecznie)

Rozsądnie jest przyjąć, że powinno zachodzić: C1 ... Cj ... Cn C1 . Ci Cn Będziemy zakładali: czyli:

Zachodzenie warunku oznacza Spełnienie warunku (*) oznaczałoby ostatecznie spełnianie przez macierz A porównań parami równania gdzie wektor w byłby poszukiwanym wektorem uszeregowania

Istnieje twierdzenie Niech macierz A będzie spójną macierzą porównań parami oraz niech spełniony będzie warunek (*) wówczas: 1. wektor w spełnia równanie (**) 2. wartości własne macierzy A spełniają warunki - niezerowa wartość własna wynosi n - wszystkie wartości własne, oprócz jednej, są równe zero;

Spójność macierzy A Macierz A jest spójna, gdy W realnych problemach decyzyjnych macierz A nie spełnia warunków spójności, ale jest do nich zbliżona Macierz A porównań parami w metodzie AHP jest macierzą proporcjonalną

Macierz A proporcjonalna Macierz A jest proporcjonalna, gdy Z definicji dla macierzy proporcjonalnej zachodzi: Dla macierzy proporcjonalnych zachodzi: - niezerowa wartość własna wynosi - pozostałe wartości własne

Propozycja Th. Saaty’iego:  poszukujemy przybliżonych ocen elementów poprzez wyznaczenie wektora w spełniającego równanie: gdzie max – największa wartość własna macierzy A

Określanie wag: Sytuacja 1: pewna skala porównawcza istnieje i porównanie parami wyrażają się jako relacja na tej skali Na przykład: Oceniamy zasięgi samolotów myśliwskich i oceniamy dwa samoloty, samolot A o zasięgu wA i samolot B o zasięgu wB. W charakterze oceny porównania samolotu A względem samolotu B do macierzy porównania parami wprowadzić można stosunek WA/WB. Odwrotną wartość WB/WA można wprowadzić do tej macierzy jako ocenę porównania samolotu B względem A Sytuacja 2: nie istnieje skala porównawcza (oceny oparte o subiektywne odczucia) – potrzebna jest pewna skala liczbowa preferencji Oceniamy otoczenie domów, i oceniamy dwa domy, A i B

Th. Saaty zaproponował skalę preferencji względnej Dla porównania dwóch elementów zaproponował wyróżnić pięć sytuacji podstawowych: Sytuacja równoważności, kiedy obydwa elementy są równoważne; Sytuacja słabej preferencji, kiedy pierwszy element jest słabo preferowany względem drugiego, albo odwrotnie; Sytuacja istotnej preferencji, kiedy pierwszy element jest istotnie preferowany względem drugiego, albo odwrotnie; Sytuacja wyraźnej preferencji, kiedy pierwszy element jest wyraźnie preferowany względem drugiego, albo odwrotnie; Sytuacja bezwzględnej preferencji, kiedy pierwszy element jest bezwzględnie preferowany względem drugiego, albo odwrotnie Th. Saaty założył także możliwość wystąpienia preferencji pośrednich – w efekcie zaproponował skalę dziewięciostopniową

Odwrotności podanych wyżej liczb Skala liczbowa preferencji względnych według Saaty’iego Ocena porównania parami aij Preferencja 1 Równoważność elementów i, j 3 Słaba preferencja elementu i – tego względem elementu j – tego 5 Istotna preferencja elementu i – tego względem elementu j – tego 7 Wyraźna preferencja elementu i – tego względem elementu j – tego 9 Bezwzględna preferencja elementu i – tego względem elementu j – tego 2, 4, 6, 8 Preferencje pośrednie elementu i – tego względem elementu j – tego Odwrotności podanych wyżej liczb Preferencje odwrotne w stosunku do odpowiednich preferencji podanych wyżej

Jakie pytania stawiamy przy porównywaniu parami elementów A i B? Przykłady: na ile ważniejszy jest element A niż B na ile większy wpływ ma element A niż B? na ile element A jest bardziej wiarygodny niż B? na ile element A jest bardziej odpowiedni niż B? na ile element A jest lepszy niż B?

Kupno domu: macierz porównań parami dla poziomu 2 (wypełniona): Rozmiary domu Dogodność komunikacji autobusowej Otoczenie domu Kiedy dom był zbudowany Działka Wyposażenie domu Ogólny stan domu Warunki finansowe kupna Dogodność komunikacji publicznej Kiedy był zbudowany

Kupno domu: macierze porównań parami dla poziomu 3 (wypełnione): Rozmiary domu A B C A B C Dogodność komunikacji publicznej A B C A B C Otoczenie domu A B C A B C Kiedy dom był zbudowany A B C A B C Działka A B C A B C Wyposażenie domu A B C A B C Ogólny stan domu A B C A B C Warunki finansowe kupna A B C A B C

Przed przystąpieniem do syntezy priorytetów – ocena spójności macierzy porównań parami Ocena zgodności ocen decydentów: - indeks zgodności Jeżeli indeks zgodności jest mniejszy od 0.1 można być zadowolonym z ocen decydentów - stosunek zgodności Przypadkowy indeks zgodności – R.I. R.I. n

Stosunek zgodności Jeżeli stosunek zgodności jest mniejszy od 0.1 można być zadowolonym z ocen decydentów Jeżeli indeks zgodności i stosunek zgodności mają zbyt duże wartości należy poprosić decydentów o zastanowienie i ponowne podanie ocen

Krok V – obliczenie lokalnych priorytetów a) obliczenie największej wartości własnej b) obliczenie wektora własnego odpowiadającego tej wartości własnej Wykonujemy to dla każdej macierzy porównań parami

Kupno domu: macierz porównań parami dla poziomu 2: Rozmiary domu Dogodność komunikacji autobusowej Otoczenie domu Kiedy dom był zbudowany Działka Wyposażenie domu Ogólny stan domu Warunki finansowe kupna Kiedy był zbudowany Wektor priorytetów 3 5 2 8 7 6 4 1

Dogodność komunikacji autobusowej Kupno domu: macierze porównań parami dla poziomu 3: Rozmiary domu A B C A B C Wektor priorytetów 1 2 3 Dogodność komunikacji autobusowej A B C A B C Wektor priorytetów 2 3 1 Otoczenie domu A B C A B C Wektor priorytetów 1 3 2

Kiedy dom był zbudowany Kupno domu: macierze porównań parami dla poziomu 3 (c.d.): Kiedy dom był zbudowany A B C A B C Wektor priorytetów 1 1 1 Działka A B C A B C Wektor priorytetów 1 3 2 Wyposażenie domu A B C A B C Wektor priorytetów 1 3 2

Warunki finansowe kupna Kupno domu: macierze porównań parami dla poziomu 3 (c.d.): Ogólny stan domu A B C A B C Wektor priorytetów 2 1 1 Warunki finansowe kupna A B C A B C Wektor priorytetów 3 1 2 Krok V – obliczenie globalnych priorytetów • obliczenie sumy iloczynów priorytetów każdej gałęzi od kandydata do celu ogólnego

Dogodność komunikacji autobusowej Rozmiary domu Otoczenie domu Kiedy był zbudowany Działka Wyposażenie domu Ogólny stan domu Warunki finansowe kupna Ogólne priorytety A B C Ogólny priorytet – dom A

Dogodność komunikacji autobusowej Ogólne priorytety Dogodność komunikacji autobusowej Rozmiary domu Otoczenie domu Kiedy był zbudowany Działka Wyposażenie domu Ogólny stan domu Warunki finansowe kupna Ogólny priorytet – dom B

Dogodność komunikacji autobusowej Rozmiary domu Otoczenie domu Kiedy był zbudowany Działka Wyposażenie domu Ogólny stan domu Warunki finansowe kupna A B C Ogólne priorytety Ogólny priorytet – dom C

Obliczanie przybliżonego wektora własnego macierzy porównań parami – metoda Saaty’iego I: 1. 2. 3.

Obliczanie przybliżonego wektora własnego macierzy porównań parami – metoda Saaty’iego II: 1. 2. 3.

Obliczanie przybliżonej wartości największej wartości własnej macierzy porównań parami – metoda Saaty’iego: 1. lub 2.

Sprawdzenie testowe przybliżonych wzorów Weźmy macierz porównań parami z poziomu 3 – porównanie opcji względem kryteriów Metoda I

Metoda II

Metoda Saaty’iego – metoda maksymalnej wartości własnej Inne metody: 1. Metoda najmniejszych kwadratów Znaleźć wi minimalizujące: 2. Metoda logarytmicznych najmniejszych kwadratów Znaleźć wi minimalizujące:

Zadanie do samodzielnego rozwiązania – wybór miejsca pracy po studiach Absolwent wyższej uczelni ma możliwość podjęcia pracy w jednym z trzech miejsc pracy A, B oraz C. Postanowił on skorzystać z metody AHP jako narzędzia wspomagania decyzji. Jako kryteria-atrybuty, które kształtują jego zadowolenie z pracy wybrał: 1. możliwości prowadzenia prac badawczych, 2. możliwości awansu zawodowego, 3. wysokość wynagrodzenia, 4. współpracownicy, koledzy, 5. lokalizacja miejsca pracy, 6. reputacja na rynku pracy Dalej podane są macierze porównań parami jakie utworzył on realizując proces decyzyjny

Oceń przedstawione wyniki porównań parami i przeprowadź z ich pomocą proces decyzyjny wyboru zadowalającego miejsca pracy po studiach

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu