MACIERZE

Co to jest MACIERZ? Macierz dwuwskaźnikowa – prostokątna tablica danych nazwanych elementami lub współczynnikami, pogrupowanych w wiersze i kolumny. Dwie macierze są równe, jeżeli mają tyle samo wierszy i kolumn, a odpowiadające sobie współczynniki są równe. Macierz o n wierszach i m kolumnach nazywa się czasami -macierzą prostokątną lub macierzą nxm. Słowo "macierz" najczęściej oznacza macierz dwuwskaźnikową, rozważa się również macierze wielowskaźnikowe. Zwykle rozważa się macierze o elementach z ustalonego zbioru. Jeżeli na zbiorze tym określona jest pewna struktura algebraiczna, pozwala to wprowadzić działania algebraiczne na macierzach. Najczęściej przyjmuje się, że współczynniki macierzy są elementami pewnego ciała; rzadziej rozważa się macierze nad pierścieniem przemiennym.

Na macierzach możemy wykonywac rozne operacje oraz je przekształcać. Macierz A nazywamy kwadratową, gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli m = n. Zamiast „macierz kwadratowa o n wierszach i n kolumnach” mówi się „macierz kwadratowa stopnia n”. Główną przekątną macierzy kwadratowej A nazywamy wektor . A= Macierzą transponowaną (przestawioną) do A, oznaczaną AT, nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach, której wiersze są kolumnami danej macierzy A, a kolumny są wierszami macierzy A. Geometrycznie odpowiada to obrotowi macierzy wokół osi przechodzącej przez lewy górny i prawy dolny róg. Formalnie wzór na macierz przestawioną B do macierzy A przedstawia się następująco: AT= AT =

Podmacierz macierzy A to dowolna macierz powstająca z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn. Macierz klatkowa to macierz z wprowadzonym dodatkowym podziałem wierszy i kolumn na grupy kolejnych wierszy i kolumn. Obrazowo macierz klatkowa to macierz, w której poprowadzono poziome i pionowe linie wzdłuż jej wierszy lub kolumn dzielące ją tym samym na podmacierze nazywane wówczas klatkami. Dzięki temu podziałowi możliwe jest również rozważanie macierzy, której elementami są podmacierze (klatki). Odwrotnie, mając dany zestaw „pasujących” macierzy można zestawiać z nich macierze klatkowe. Jeśli dane są na przykład macierze: A o n wierszach i m kolumnach, B o n wierszach i k kolumnach, C o l wierszach i m kolumnach i D o l wierszach i k kolumnach, to można z nich zestawić macierz klatkową . Macierz może zostać podzielona na 4 klatki 2×2 Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako

Historia MACIERZY… Pierwszymi macierzami były prawdopodobnie kwadraty magiczne 3×3, które w literaturze chińskiej pojawiają się już ok. 650 p.n.e.[1]. Ważny chiński tekst matematyczny, powstały między III wiekiem p.n.e. a II wiekiem n.e. Dziewięć Rozdziałów o Sztuce Matematyki (Jiu Zhang Suan Shu) jest pierwszym przypadkiem użycia macierzy do rozwiązania układu równań liniowych[2] W rozdziale siódmym, Zbyt dużo i nie wystarczająco po raz pierwszy wprowadzono koncepcję wyznacznika, prawie 2000 lat przed jego publikacją przez japońskiego matematyka Seki Kowa w 1683 i niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza w 1693. Kwadraty magiczne był znane także arabskim matematykom, prawdopodobnie już w VII wieku, kiedy Arabowie podbili północnozachodnie części subkontynentu indyjskiego i przejęli zdobycze matematyki i astronomii hinduskiej. Być może idea ta dotarła do nich przez Chiny. Pierwsze kwadraty magiczne rzędu 5 i 6 pojawiły się w Encyklopedii Bractwa Czystości (arab. رسائل أخوان الصفا و خلان الوفا) z Bagdadu około 983 roku. Prostsze kwadraty magiczne były znane wielu wcześniejszym matematykom arabskim[1]. Po opracowaniu teorii wyznaczników (dzisiaj mówimy o wyznacznikach macierzy) przez Seki Kowa i Leibniza pod koniec XVII wieku, Cramer rozwinął ją dalej w XVIII wieku, znajdując, w roku 1750, wzory na rozwiązania układów równań liniowych, nazwane później wzorami Cramera. Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan opracowali, na początku XIX wieku, metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną dziś metodą eliminacji Gaussa-Jordana W XIX wieku znano wyznaczniki i oczywiście kwadraty magiczne, dopiero jednak James Joseph Sylvester i Arthur Cayley wprowadzili macierze dwuwskaźnikowe jako sposób przejrzystego zapisu dużej liczby powiązanych strukturalnie danych – współrzędnych wektorów w ustalonej bazie przestrzeni liniowej czy współczynników układu równań. Termin "macierz" pojawił się po raz pierwszy w 1848, użyty przez Sylvestera. Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius i John von Neumann przyczynili się do rozwoju teorii macierzy.

Dodawanie i mnożenie przez skalar Jeżeli zbiór R, z którego bierze się elementy macierzy, jest pierścieniem przemiennym z jedynką (mówimy wtedy o macierzach nad pierścieniem R), to w zbiorze wszystkich macierzy o n wierszach, m kolumnach i elementach z pierścienia R określone są Działania: mnożenia macierzy przez stałą (skalar, element pierścienia) wg wzoru dodawania macierzy wg wzoru (aij) + (bij) = (aij + bij). Słownie: mnożenie macierzy przez skalar polega na wymnożeniu przez niego wszystkich jej elementów, a dodawanie macierzy na dodaniu odpowiadających sobie elementów. Zbiór z dodawaniem jest grupą przemienną: łączność i przemienność działań w pierścieniu przenosi się na działania na macierzach, elementem neutralnym jest macierz zerowa Θ o elementach równych , elementem przeciwnym do macierzy A jest macierz . Mnożenie przez skalar spełnia warunki: , zatem zbiór z dodawaniem i mnożeniem przez skalary jest modułem nad pierścieniem R. Moduł ten jest wolny rangi mn Jeśli pierścień R jest ciałem, to zbiór z powyższymi działaniami staje się przestrzenią liniową nad ciałem R o wymiarze nm.

Przykład mnożenia przez skalar Przykład dodawania macierzy

Mnożenie MACIERZY… Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, jednak niżej określone, nazywane mnożeniem Cauchy'ego, ma wiele zastosowań w algebrze liniowej, w której macierze służą do zapisu przekształceń liniowych – odpowiada ono ich składaniu. Macierze można również mnożyć używając iloczynu Kroneckera. Iloczyn macierzy (nazywanej w tym kontekście lewym czynnikiem) i macierzy (prawy czynnik) jest macierzą taką, że . W zbiorze macierzy kwadratowych ich mnożenie jest działaniem wewnętrznym.

Przykłady mnożenia macierzy:

Oblicz iloczyn macierzy A= , B= Otrzymany wynik zamien na macierz transponowana.

Rozwiazanie: AB= (AB)T =

KONIEC :) Prezentacje wykonali: Oskar Maronna i Michał Kotala