WARUNKI PLASTYCZNOŚCI DLA MATERIAŁÓW ŚCIŚLIWYCH I NIEŚCIŚLIWYCH Ambroziński Mateusz Bzowski Krzysztof Mechanika Ciała Stałego Kraków, 17.01.2012

Warunki plastyczności – definicja Podział warunków plastyczności Agenda Warunki plastyczności – definicja Podział warunków plastyczności Warunki plastyczności dla materiałów ściśliwych i nieściśliwych Dla materiałów ściśliwych w ujęciu materiałów izotropowych i anizotropowych

Warunki plastyczności - wstęp Prawo definiujące koniec sprężystości lub początek plastyczności w warunkach istnienia złożonego stanu naprężenia nazywamy warunkiem plastyczności. Zależy od stanu naprężenia: Przy definiowaniu warunków plastyczności wykorzystano szereg obserwacji doświadczalnych: Część hydrostatyczna tensora naprężenia (aksjator) nie wpływa na wielkość naprężenia uplastyczniającego Dewiator jest jedynym reprezentantem stanu naprężenia Dla materiałów izotropowych zależność opisująca moment uplastycznienia materiału jest niezależna od układu odniesienia (funkcja tylko niezmienników) F < 0 – stan sprężysty, F = 0 – stan plastyczny.

Warunki plastyczności – wstęp Są próbą opisu zachowania materiałów bez wnikania w fizykalny opis zjawisk zachodzący w czasie obciążenia. Umożliwia w wypadku złożonego stanu naprężenia określenie czy materiał przekroczył granicę plastyczności, czy też nie. Warunek plastyczności może być wyrażony przez trzy niezmienniki tensora naprężenia Istotnym spostrzeżeniem jest fakt, iż na uplastycznienie ma bardzo mały wpływ stan hydrostatyczny, dlatego można przyjąć, że stan ten jest nieistotny i funkcja F zależy tylko od składowych dewiatora naprężenia lub jego niezmienników.

Warunki plastyczności - podział Warunki dla materiałów nieściśliwych Hubera-Misesa-Hencky’ego Tresci Schmidta-Išlinskij-Hilla Misesa (izotropowe, anizotropowe) Hosforda (izotropowe, anizotropowe) Przegląd warunków Hilla (anizotropowe) Warunki dla materiałów ściśliwych Kuhna-Downeya Oyane Greena Hirschvogla Höneßa Energetyczny

Warunek plastyczności Hubera-Misesa-Hencky’ego (HMH) Drugi niezmiennik dewiatora stanu naprężeń: Lub z wykorzystaniem dewiatora stanu naprężenia - , który jest reprezentacją stanu naprężenia dla ciała nieściśliwego Stan naprężenia i odkształceń może być jednoznacznie opisany w każdym punkcie przy użycia niezmienników tensora naprężenia i odkształceń. Szczególnie duże znaczenie w analizie procesów odkształcenia ma drugi niezmiennik dewiatora stanu naprezeń

Warunek plastyczności HMH Wg teorii von Misesa: Uplastycznienie materiału nastąpi w momencie, gdy drugi niezmiennik dewiatora naprężenia osiągnie wartość krytyczną k Gdzie k jest stałą materiałową. (1)

Warunek plastyczności HMH Stałą k można wyznaczyć w próbie jednoosiowego rozciągania: (2) W sensie fizycznym, parametr k, odpowiada najmniejszej wartości naprężenia stycznego, jakie może wystąpić w materiale uplastycznionym. [1]

Warunek plastyczności HMH Podstawiając równania (2) do (1) otrzymujemy warunek plastyczności HMH dla kierunków głównych (3) Z warunku HMH wynika, że uplastycznienie materiału nie jest zależne od naprężeń normalnych czy stycznych , natomiast jest funkcją wszystkich składowych tensora naprężenia. Jednocześnie jest niezależne od części hydrostatycznej tensora naprężenia oraz od znaków składowych naprężeń Materiał zacznie płynąć plastycznie, gdy suma kwadratów różnic między naprężeniami wyrażona prawą stroną równania (3) przekroczy wartość naprężenia uplastyczniającego wyznaczoną w próbie jednoosiowego rozciągania

Warunek plastyczności HMH Całkowita energia odkształcenia Moduł Younga i współczynnik Poissona mogą być wyrażone w postaci: Podstawiając (5) do (4) otrzymujemy: (4) K – moduł ściśliwości G – moduł ścinania (odkształcenia postaciowego) (5) Von Mises sformułował warunek plastyczności jako funkcja drugiego niezminnika dewiatora tensora naprężenia. Dużo wcześniej jednak Huber , Hencky i Haight, sformułowali identyczne równanie, opierając Się na stwierdzeniu, że uplastycznienie materiału nastąpi wówczas, gdy energia odkształcenia sprężystego związanego ze zmianą postaci osiągnie wartość krytyczną. Całkowitą energię odkształcenia sprężystego może być przedstawiona za pomocą niezmienników tensora naprężenie, modułu Younga i współczynnika Poissona (6)

Warunek plastyczności HMH Część objętościowa Część postaciowa Dla jednoosiowego stanu naprężenia: materiał przechodzi w stan plastyczny wówczas, gdy energia sprężystego odkształcenia postaciowego UpD osiągnie pewną wartość krytyczną niezależną od rodzaju stanu naprężenia Updkryt.

Warunek Tresci (maksymalnego naprężenia stycznego) Materiał przechodzi w stan plastyczny, gdy maksymalne naprężenie styczne osiągnie wartość naprężenia stycznego w próbie jednoosiowego rozciągania Maksymalne naprężenie styczne: - największe naprężenie główne - najmniejsze naprężenie główne 𝜎 1 𝜎 3

Warunek Tresci W procesie jednoosiowego rozciągania, gdy: i To uplastyczniające naprężenie styczne jest równe: Warunek plastyczności wg. maksymalnego naprężenia stycznego przyjmuje postać: Warunek plastyczności Tresci wyrażony jest znacznie prostsza formuła niż HMH. Niemniej jednak jego podstawową wadą jest nieuwzględnienie naprężenie pośredniego 𝜎 2 co może prowadzić do istotnego rozbiezności w oblcizeniach dla pelnego schematu stanu naprężeń

Warunek Schmidta-Išlinskij-Hilla Równanie określane jest często jako górne oszacowanie warunku HMH i oznacza, że materiał przejdzie w stan plastyczny, gdy maksymalna wartość wyrażenia po lewej stronie wyniesie 𝟐 𝟑 𝝈 𝒑

Porównanie warunków plastyczności Intepretacja warunków plastyczności na wykresie naprężeń głównych jest tzw. powierzchnia plastyczności, która dla płaskiego stanu naprężeń jest elipsą otrzymaną w wyniku przecięcia walca płaszczyzną o równaniu 𝜎 3 =0 Wynika z niego że przy jednoosiowym rozciąganiu lub ściskaniu lub dwuosiowym równomiernym rozciąganiu lub ściskaniu warunki plastyczności się pokrywają. Źródło: Jakowluk A.: Procesy pełzania i zmęczenia w materiałach. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993.

Warunek Misesa (materiał izotropowy) Według definicji plastycznego warunku Misesa, materiał przejdzie w stan plastyczny wtedy, gdy drugi niezmiennik dewiatora naprężenia osiągnie charakterystyczną dla danego materiału wartość krytyczną: kp – wyraża naprężenie uplastyczniające przy czystym ścinaniu lub naprężenie styczne przy osiągnięciu stanu plastycznego. Gdzie: Po podstawieniu do funkcji :

Warunek Misesa (materiał anizotropowy) Pierwszy warunek dla materiałów anizotropowych zaproponowany przez Misesa w 1928 roku. Gdzie: Aijkl – Parametry anizotropii (które tworzą tensor czwartego rzędu z 81 elementami). Ze względu na symetrię tensora naprężenia σij=σji parametry anizotropii również spełniają warunki symetrii: Aijkl = Aklij = Ajikl = Aijlk. W taki sposób dla wartości i, j, k, l tworzą 60 związków, a więc tensor zawiera tylko 21 niezależnych parametrów. i,j,k,l = 1,2,3.

Warunek Misesa (materiał anizotropowy) Warunek Misesa przedstawiony w postaci rozwiniętej: Złożoność powyższego warunku powoduje zastosowanie tylko w szczególnych przypadkach anizotropii.

Warunek Hosforda (materiał izotropowy) Warunek Hosforda jest uogólnieniem warunku Hubera-Misesa-Hencky’ego. Gdzie: σ1 , σ2 , σ3 oznaczają naprężenia główne, n jest wykładnikiem zależnym od materiału, σy oznacza granicę plastyczności w próbie jednoosiowego rozciągania lub ściskania.

Interpretacja geometryczna Warunek Hosforda (materiał izotropowy) Dla n = 1 warunek Hosforda przekształca się do warunku Tresci. Dla n = 2 warunek Hosforda przekształca się do warunku HMH. Wynika z niego że przy jednoosiowym rozciąganiu lub ściskaniu lub dwuosiowym równomiernym rozciąganiu lub ściskaniu warunki plastyczności się pokrywają. Źródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Hosford_yield_criterion

Warunek Hosforda (materiał anizotropowy) Warunek plastyczności Hosforda z 1979 r. jest uogólnieniem warunku plastyczności Hilla z 1948r. F, G i H - parametry anizotropii, n - zależy od rodzaju struktury kryształu (bcc, fcc, hex, itp.).

Warunek Hosforda (materiał anizotropowy) Hosford dowiódł, że najlepsze przybliżenie uzyskał dla materiałów o strukturze fcc, gdy n = 6, a dla materiałów o strukturze bcc gdy n = 8. Źródło: http://www.tenerife-training.net/Tenerife-News-Cycling-Blog/2008/11/science/why-gives-metals-their-strength/ Źródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Hosford_yield_criterion

Warunek Hilla (1948 rok) Hill sformułował kwadratowy warunek plastycznego płynięcia dla materiałów ortotropowych (uogólniony warunek plastyczności Misesa z 1928 roku) Warunek ten opisuje materiał, który ma własności opisane równaniami oraz - dewiator tensora naprężenia w przestrzeni trójwymiarowej. Warunek ten jest obecnie najczęściej wykorzystywanym warunkiem w odniesieniu do anizotropowych elementów metalowych. Hill zakładał, że każdy punkt stanu anizotropii ma trzy wzajemnie ortogonalne płaszczyzny symetrii, których przecięcia są głównymi osiami anizotropii. [5]

cd. Warunek Hilla (1948 rok) Przyjmując pewne założenia, m.in.: Funkcja f jest potencjałem plastycznym, materiał anizotropowy jest nieściśliwy (warunek nie zależy od naprężenia średniego), osie stosowanego układu współrzędnych pokrywają się z kierunkami danej symetrii, własności w kierunkach x1,x2,x3 są takie same jak w kierunkach x1’,x2’,x3’,x1’’,x2’’,x3’’, gdzie płaszczyzny x1x2, x2x3 i x3x1 są płaszczyznami symetrii własności ciała, uplastycznienie materiału ortotropowego nie zależy od części izotropowej tensora naprężenia, tzn., że warunek plastyczności Misesa powinien być spełniony również dla składowych dewiatora naprężenia,

cd. Warunek Hilla (1948 rok) Korzystając z wzorów transformacyjnych dla składowych stanu naprężenia otrzymuje się warunek plastyczności w kierunkach ortotropii przedstawiony w postaci: Z powyższego równania oraz z założenia, że uplastycznienie materiału ortotropowego nie zależy od części izotropowej tensora naprężenia, dziewięć parametrów anizotropii związanych jest trzema zależnościami:

[5] cd. Warunek Hilla (1948 rok) Warunek plastyczności opisany przez 9 składowych można podać w postaci zawierającej sześć niezależnych parametrów anizotropii. Wybierając za takie parametry i wprowadzając ich oznaczenie podane przez Hilla jako: Po rozwiązaniu układu równań (3 zależności) z wykorzystaniem powyższych oznaczeń otrzymano: Po podstawieniu do warunku opisanego przez 9 składowych otrzymuje się warunek plastyczności Hilla dla materiału anizotropowego [5]

cd. Warunek Hilla (1948 rok) F, G, H, L, M, N są parametrami materiałowymi charakteryzującymi początek płynięcia. Ich wartości określa się wykonując sześć standardowych testów: trzy próby jednoosiowego rozciągania w trzech głównych kierunkach ortotropii, trzy próby czystego ścinania w głównych płaszczyznach ortotropii.

Rozwiązując: [5] [7] cd. Warunek Hilla (1948 rok) Rozpatrując jednoosiowe rozciąganie w kierunkach x1,x2,x3, gdy granice plastyczności wynoszą odpowiednio z warunku Hilla otrzymuje się: Rozwiązując: Do opisu wielu zjawisk związanych z procesem płynięcia warunki plastyczności drugiego stopnia są niewystarczające, np. do takich zjawisk jak earing (fałdowanie kołnierza), pojawiający się podczas tłoczenia blach czy zwiększenie odporności na korozję łopatek turbin gazowych, dlatego poszukiwano warunków wyższego stopnia Przy czystym ścinaniu, gdy odpowiednie granice plastyczności są równe z warunku Hilla otrzymuje się: [5] [7]

cd. Warunek Hilla (1948 rok) Dla płaskiego stanu naprężenia Używając parametrów Lankforda, tj. R0, R45, R90, powyższe kryterium można zapisać jako: - granica plastyczności w kierunku walcowania

Warunek Hilla (1979 rok) Hill wprowadził warunek m-tego stopnia sformułowany dla stanów naprężenia, dla których kierunki główne pokrywały się z osiami ortotropii. W warunku tym występuje siedem stałych materiałowych f, g, h, a, b, c i m, których wyznaczenie w testach może być kłopotliwe. Hill zasugerował jednak, że niektóre z tych stałych można przyjąć jako równe zeru bez utraty możliwości opisu przez to kryterium zjawisk, których nie jest w stanie opisać jego poprzedni warunek z 1948 roku.

[7] cd. Warunek Hilla (1979 rok) Jeżeli mamy do czynienia z anizotropia normalną, oraz z płaskim stanem naprężenia (σ3=0) Hill podaje cztery szczególne przypadki swojego kryterium: g=h=a=b=0 f=g=b=c=0 g=h=b=c=0 f=g=a=b=0 Najczęściej używany jest przypadek IV. [7]

Warunek Hilla Rozszerzenie przypadku IV 1990 rok. Przypadek IV został rozszerzony na materiały anizotropowe w płaszczyźnie blachy, wyglądał następująco: σ, τ, a, b, m - parametry materiałowe, które należy wyznaczyć z badań doświadczalnych. Hill zasugerował, aby wykładnik m był mniejszy od 2. Jeżeli m=2, to po kilku przekształceniach otrzymamy warunek Hilla z 1948 roku dla płaskiego stanu naprężenia.

Warunek Hilla (1993 rok) Hill zaproponował kolejny warunek plastyczności dla problemów płaskiego stanu naprężenia z płaską anizotropią, warunek przyjmował więc formę: σ0 jest uzyskaną w próbie jednoosiowego rozciągania granicą plastyczności w kierunku walcowania, σ90 jest granicą plastyczności w kierunku normalnym do kierunku walcowania, σb jest granicą plastyczności według jednorodnego dwuosiowego rozciągania

Parametry c, p i q są zdefiniowane jako: cd. Warunek Hilla (1993 rok) Parametry c, p i q są zdefiniowane jako:

cd. Warunek Hilla (1993 rok) R0 i R90 (zmienne Lankforda) są wartościami wyznaczonymi w próbie jednoosiowego rozciągania odpowiednio w kierunku walcowania i w kierunku płaskim do kierunku walcowania. Warunek ten powinien utrzymywać zgodność z zaproponowanym w 1979 roku przez Hilla warunkiem plastyczności. Kierunek rozciągania prostopadły do kierunku walcowania. Kierunek rozciągania zgodny z kierunkiem walcowania.

Warunki plastyczności materiałów ściśliwych Materiały ściśliwe to materiały zmieniające podczas odkształcenia w sposób trwały objętość. Funkcja płynięcia takich materiałów opisana jest w postaci: Gdzie Warunki plastyczności dla izotropowych, ściśliwych ciał stałych można ogólnie przedstawić w postaci: [2]

Warunek Kuhna-Downeya Korzystając ze związku między niezmiennikiem tensora naprężenia i niezmiennikiem dewiatora naprężenia: Warunek plastyczności Kuhna-Downeya można zapisać w postaci: Warunek ten ujmuje wpływ hydrostatytycznej składowej stanu naprężenia, dewiatora naprężenia, oraz liczby Poissona na przejście ciała ściśliwego w stan plastyczny [2]

Warunek plastyczności Greena Założenie: Materiał izotropowy z równomiernie rozłożonymi pustkami o sferycznym kształcie, a osnowa materiału jest sztywno plastyczna i podlega warunkom płynięcia Misesa. 𝜂 – porowatość 𝑉 𝑝 𝑉 𝜎 𝑝𝑜 ∗ - granica plastyczności materiału osnowy przejścia ciała ściśliwego w stanplastyczny [2]

Warunek plastyczności Oyane Założenie: Ciało w postaci elementu sześciennego z wydrążonym wewnątrz nieskończenie małym sześcianem symulującym por. Naprężenie uplastyczniające ciała porowatego jest proporcjonalne do naprężenia uplastyczniającego osnowy: 𝜎 𝑝 =𝑓 𝜎 𝑝 ∗ F jest funkcją względnej gęstości Warunek plastyczności uwzględnia wpływ aksjatora naprężenia, dewiatora naprężenia i względnej gęstości na przejście materiału w stan plastyczny [2]

Warunek plastyczności Hirschvogla Założenie: Przyjęto model pora w postaci wydrążonego walca poddanego skręceniu oraz hydrostatycznemu ściskaniu. Porowatość: - promień wewnętrzny - promień zewnętrzny [2]

Energetyczny warunek plastyczności Podczas odkształcenia metalicznych materiałów ściśliwych zmianie postaci towarzyszy trwała zmiana objętości. Przez analogię do warunku plastyczności Hubera-Misesa-Hencky’ego, odkształcenie plastyczne może nastąpić wtedy, gdy potencjalna energia odkształcenia na zmianę objętości i postaci osiągnie wartość krytyczną. Założenia: W stanie sprężystym ciało ściśle zachowuje liniową zależność między naprężeniami a odkształceniami opisaną prawem Hooke’a Trwała zmiana objętości i postaci następuje po osiągnięciu przez intensywność naprężenia wartości krytycznej (tj. granicy plastyczności)

Energetyczny warunek plastyczności Do jednoznacznego określenia przejścia materiału ściśliwego w stan plastyczny konieczne jest doświadczalne wyznaczenie dwóch cech materiałowych: Liczbę Poissona Naprężenia uplastyczniającego Wyprowadzenie z energii odkształcenia przypadającego na jednostkę ciała sprężystego i uwzględnieniu prawa Hooke’a [2]

Bibliografia Majta Janusz, Odkształcanie i własności. Stale mikrostopowe – wybrane zagadnienia, Szczepanik Stefan, Przeróbka materiałów spiekanych z proszków i kompozytów, Skrzypek Jacek, Plastyczność materiałów inżynieryjnych Sińczak Jan, Procesy przeróbki plastycznej – ćwiczenia laboratoryjne, R. Hill. (1948). A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals. Proc. Roy. Soc. London, 193:281–297 http://en.wikipedia.org/wiki/Hill_yield_criteria

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ