Dane INFORMACYJNE Nazwy szkół: Zespół Szkół w Barwicach, Zespół Szkół w Cielczy ID grup: 98/56_MF_G1, 98/53_MF_G1 Opiekun: Izabela Polewska, Dorota Dziecichowicz Kompetencja: Fizyczno - Matematyczna Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych Semestr/rok szkolny: Semestr II, rok szkolny 2010/2011

liczby olbrzymy

nazwy dużych liczb 10 dziesięć 100 sto 1000 tysiąc 1000000 milion 1000000000 miliard 1 000000000000 bilion 1 000000000000000 biliard 1 000000000000000000 trylion

nazwy dużych liczb 1 000000000000000000000 tryliard 1 000000000000000000000000 kwadrylion 1 000000000000000000000000000 kwadryliard 1 000000000000000000000000000000 kwintylion 1 000000000000000000000000000000000 kwintyliard .

… i tak dodając po trzy zera tworzymy kolejne liczby olbrzymy: sekstylion, sekstyliard, septylion, septyliard, oktylion, oktyliard, nonylion, nonyliard, decylion, decyliard, undecylion, undecyliard, dodecylion, dodecyliard, tridecylion, tridecyliard, kwatuordecylion, kwatuordecyliard, kwindecylion, kwindecyliard, seksdecylion, seksdecyliard, centylion…. Kto zgadnie dalej?

1 i 100 zer to googol

Patrząc na te liczby olbrzymy można powiedzieć „Co tam milionerzy, gdyby tak zostać centylionerem, albo googolnerem.” Zapamiętajcie 

duże liczby można zapisać prościej nazywamy to notacją wykładniczą ZAPIS WYKŁADNICZY NAZWA 1027 1033 1039 1045 1048 1054 1063 1075 1090 1099 KWADRYLIARD KWINTYLIARD SEKSTYLIARD SEPTYLIARD OKTYLION NONYLION DECYLIARD DODECYLIARD KWINDECYLION SEKSDECYLIARD

Z DUŻYMI LICZBAMI CZĘSTO MOŻEMY SIĘ SPOTKAĆ I NIE CHODZI TU O GOTÓWKĘ  Szybkość światła - 3*108 m/s Odległość Ziemi od Słońca zwana Jednostką Astronomiczną – 15*1010 m Rok świetlny, jednostka odległości stosowana w astronomii – 9,46*1015 m Parsek, jednostka odległości stosowana w astronomii – 3,08*1016 m Bar jednostka ciśnienia – 105 Pa Ładunek elektronu – 1,76*1011 C/kg Liczba atomów we Wszechświecie - 1080 Gęstość neutronu – 1018 kg/m3

przedrostki do tworzenia wielokrotności jednostek Nazwa i oznaczenie Mnożnik Przykłady deka da hekto h kilo k mega M Giga G tera T peta P eksa E 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 hektopaskale (hPa) kiloniutony (kN) megadżule (MJ) gigawaty (GW) terametry (Tm) petasekundy (Ps) eksawolty (EV)

prawa i przykłady działań na potęgach Prawa działań na potęgach przykłady a0=1 a1=a an*am=an+m an:am=an-m (a*b)n=an*bn (a:b)n=an :bn a-n=1/an np.: 60=1 np.: 71=7 np.:53*56=53+6=59 np.:27:24=27-4=23 np.:(5*3)2=52*32 np.:(6:3)4=64 :34 np.:4-3=1/43

LICZBY LILIPUTY

Małe liczby Do zapisywania małych liczb dziesiętnych służą potęgi o wykładniku całkowitym, a dokładniej ujemnym i tak: = 0,001=1*10-3 = 0,000 7 =7*10-4 = 0,000 49=49*10-5 =0,000 000 000 543 =543*10-12 Liczba występująca w wykładniku potęgi to ilość zer liczby znajdującej się w mianowniku(minus oznacza, że ta potęga liczby 10 znajduje się w mianowniku)

małe liczby w przyrodzie W przyrodzie występuje wiele gatunków zwierząt i roślin, których rozmiary i nie tylko można wyrazić za pomocą potęg o wykładniku całkowitym (nie naturalnym). Czy wiecie na przykład, że: •modliszka łapiąc swoje ofiary wysuwa przednie łapy w ciągu 0,000 3 sekundy czyli 3*10-4s

małe liczby w przyrodzie •najmniejszy owad świata pochodzący z rodziny błonkówek (ich skrzydła pokrywa cienka, przezroczysta błona), ma długość 0,17 milimetra czyli 17*10-2mm, tzn. 17*10-5m.

małe liczby w przyrodzie •komar waży 0,000 001 5 kilograma czyli 15*10-7kg •pyłek niezapominajki waży 0,000 000 000 000 14 kg czyli 14*10-14kg

Liliputy Liliputy to bardzo małe liczby. Są one tak małe, że trudno je sobie wyobrazić. Takimi liczbami są na przykład: •wielkość ładunku elektrycznego- 0,000 000 000 000 000 000 16 C (kulomba), •masa cząsteczki wody - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 03 kg czy masy cząstek elementarnych (protonu lub elektronu ): •masa protonu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg •masa elektronu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 95 kg

przedrostki si Dla ułatwienia zapisu i odczytu liczb wprowadzono przedrostki przyjęte w systemie SI. Liczba Przedrostek Oznaczenie 10-1 decy d 10-2 centy c 10-3 mili m 10-6 mikro µ 10-9 nano n 10-12 piko p 10-15 femto f 10-18 atto a

przedrostki si 10-1 - to jedna dziesiąta pewnej wielkości , na przykład : 1 decymetr oznacza dziesiątą część metra 1dm=10-1 m 10-3- to jedna tysięczna pewnej wielkości, na przykład: 1miliamper oznacza tysięczną część ampera, jednostki natężenia prądu 1 mA=10-3 A 10-12- to jedna bilionowa pewnej wielkości, na przykład: 1 pikofarad oznacza bilionową część farada,jednostki pojemności elektrycznej 1 pF =10-12 F

notacja wykładnicza Małe liczby można również zapisywać w notacji wykładniczej czyli postaci iloczynowej liczby z przedziału od 0 (bez zera) do 10 (łącznie z dziesięć) oraz potęgi liczby 10. Oto przykłady: •0,000 000 000 000 04kg=4*10-14kg (masa pyłku niezapominajki ) •0,000 000 000 000 000 000 16 C=1,6*10-19 C (wielkość ładunku elektrycznego)

notacja wykładnicza •0,000 000 000 000 000 000 000 000 03 kg=3*10-26kg (masa cząsteczki wody) •0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg =1,6726*10-27kg (masa cząsteczki protonu) •0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 95 =9,1095*10-31kg (masa elektronu)

notacja wykładnicza Na potęgach o wykładniku całkowitym wykonujemy takie same działania (stosujemy określone wzory)jak na potęgach o wykładniku naturalnym. Zastosujemy znane nam reguły w zadaniach.

zadania Zadanie 1. W butelce kropli do oczu znajduje się 1ml lekarstwa. Ile razy będzie można zakropić oczy, jeśli masa kropli wynosi m=4*10-5kg? Rozwiązanie: 1ml≈1g=10-3kg Aby obliczyć na ile razy starczy lekarstwa należy masę lekarstwa podzielić przez masę jednej kropli, a następnie wynik podzielić przez dwa(para oczu) 25:2=12,5 Wykorzystaliśmy tutaj wzór na dzielenie potęg o tych samych podstawach. Odp. Kropli wystarczy na 12 razy. =-3-(-5)=0,25∗10-3+5=0,25∗102=25

zadania Zadanie 2. Znając masę elektronu i protonu oblicz masę atomu wodoru, który zawiera jeden elektron i jeden proton. me =9,1*10-31 kg mp =1,7*10-27 kg Rozwiązanie: masawodoru =masaelektronu + masaprotonu mw = 9,1*10-31 kg + 1,7*10-27 kg zastąpimy potęgę 10-31 potęgą 10-27 *10-4 (ponieważ 10-27 *10-4 =10-27 +(-4) =10-31 )

zadania Zadanie 2 c.d. Wykorzystaliśmy tutaj wzór na mnożenie potęg o tych samych podstawach. Mamy więc: mw = 9,1*10-27 *10-4 kg+ 1,7 *10-27 =10-27 (9,1*10-4 +1,7)kg= =10-27 (0,00091+1,7)kg=1,70091*10-27 kg≈1,7*10-27 kg Jak można zauważyć, masa atomu wodoru to tak naprawdę masa jego protonu. Odp. Masa atomu wodoru wynosi około 1,7*10-27 kg.

Systemy liczbowe W dzisiejszym świecie istnieje wiele sposobów zapisywania liczb. W zależności od celu wykorzystania tych liczb na co dzień, najczęściej wykorzystujemy dziesiętny i rzymski system liczbowy. Informatycy wykorzystują dwójkowy, ósemkowy i szesnastkowy system zapisywania liczb.

Systemy liczbowe System liczbowy – to inaczej zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi (np. arabskimi lub rzymskimi), które jednak można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

Rodzaje systemów Otóż tak popularny zapis rzymski to tak zwany addywny system liczbowy czyli taki, w którym liczba powstaje poprzez dopisywanie kolejnych symboli z podstawowymi wielokrotnościami liczb 5 i 10. Aby zapisać niektóre liczby należy wykonać odejmowanie, czyli przestawić pewne symbole: liczbie 68 odpowiada zapis rzymski LXVIII (68=50+10+5+1+1+1) liczbie 40 odpowiada zapis rzymski XL (50-10)- przestawienie symboli

pozostałe systemy… …takie jak dwójkowy, dziesiętny czy szesnastkowy to tak zwane systemy pozycyjne czyli takie, w których liczbę zapisuje się jako iloczyn liczby naturalnej mniejszej o 1 od liczby zwanej podstawą tego systemu oraz odpowiedniej potęgi tej podstawy.

system dziesiętny Dziesiętny system liczbowy, zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc w nim 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny.

Przeliczanie systemu dziesiętnego na inne Aby przeliczyć liczbę z systemu dziesiątkowego na inny, wykonujemy dzielenie z resztą liczby przez podstawę systemu liczbowego, na który jest przeliczana. Iloraz tych liczb ponownie dzielimy przez podstawę systemu liczbowego, aż do wyniku 0. Zapisujemy reszty z dzielenia od końca.

Przeliczanie innych systemów liczbowych na dziesiętny Aby przeliczyć liczbę z danego systemu liczbowego na dziesiętny, rozpisujemy ją jako sumę liczb, z których każda jest iloczynem kolejnej cyfry przez kolejną potęgę podstawy systemu.

System jedynkowy Najbardziej prymitywnym systemem liczbowym jest jedynkowy system liczbowy, w którym występuje tylko jeden znak (np. 1, albo (częściej) pionowa kreska). W systemie tym kolejne liczby są tworzone przez proste powtarzanie tego znaku. Np. 3 w tym systemie jest równe 111, a pięć 11111. Systemem takim posługują się np. Pigmeje. Kiedy, w przypadku większych liczb, zaczyna się grupować symbole, np. po 5 (cztery równoległe kreski, przekreślone piątą), mamy do czynienia z przejściem do addytywnego systemu liczbowego.

system dwójkowy Dwójkowy system liczbowy (inaczej binarny) to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1.Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b. Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach: 1+ 0 = 1 1 + 1 = 10 1* 0 = 0 1 * 1 = 1 10 - 1 = 1

zamiana na system dwójkowy Oto przykład: liczba 47 (zapisana w systemie dziesiętnym) (47)10 47 : 2= 23 r.1 (r- reszta z dzielenia) 23 :2= 11 r.1 11 : 2= 5 r.1 5 : 2= 2 r.1 2 :2= 1 r.0 1 : 2= 0 r.1 Zapisując reszty od końca otrzymujemy zapis 101111 Zatem (47)10 = (10111)2

zamiana systemu dwójkowego Jak dokonać zamiany odwrotnej? Wykorzystując wartości kolejnych potęg liczby 2 ( 20 =1, 21 =2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26= 64, 27= 128…. ), odszyfrujmy zapisz od końca : (101011)2= 1•20 + 1•21 + 0 •22 + 1•23 + 0• 24 + 1•25= 1+2+0+8+0+32= 43 Zatem : (101011)2= (43)10

system szesnastkowy System szesnastkowy zwany także heksadecymalnym posługuje się szesnastoma symbolami z tym, że nie używa liczb od 0 do 15 lecz cyfr od 0 do 9 a pozostałych sześć liczb zastępuje pierwszymi, wielkimi literami alfabetu A, B, C, D, E, F.W zapisie tym występują oczywiście także potęgi liczby 16, która jest podstawą tego systemu.

zamiana na system szesnastkowy Aby przejść z systemu dziesiętnego na szesnastkowy, postępujemy podobnie jak przy zamianie na dwójkowy (to znaczy dzielimy liczbę i kolejne wyniki z dzielenia przez 16) 4975 : 16 = 310 r.15 310 : 16 = 19 r.6 19 : 16 = 1 r.3 1 : 16 = 0 r.1 Zapisując reszty od końca i przypisując im odpowiednie znaki systemu szesnastkowego otrzymujemy : (4975)10= (136F)16 co czytamy 1,3,6, F

zamiana systemu szesnastkowego Zamiana systemu szesnastkowego na dziesiętny wygląda następująco: Wykorzystując wartości kolejnych potęg liczby 16 (160 = 1, 161= 16, 162= 256, 163= 4096, 164=65 536…) odszyfrujmy zapis : (B3C7)16= 7 • 160 + 12 • 161 + 3 • 162 + 11 • 163 = =7 + 192 + 768 + 45 056 = 46 023 Zatem: (B3C7)16=(46 023)10

zamiana systemu dwójkowego na szesnastkowy Aby dokonać tej konwersji należy podzielić zapis od końca na grupy czterocyfrowe ( jeśli zabraknie cyfr na początku należy dopisać zera ) a następnie przyporządkować odpowiadający im symbol w systemie szesnastkowym (1|1010|1111)2= (0001|1010|1111)2 (na początku liczby dopisano trzy brakujące zera)

zamiana systemu dwójkowego na szesnastkowy (0001|1010|1111)2 Rozszyfrujmy pierwszą czwórkę cyfr, czyli zapis 0001 (0001)2= 1 • 20 + 0 • 21 + 0 • 23 + 0 • 23 = 1  1 (1010)2 = 0 • 20 + 1 • 21 + 0 • 22 + 1 • 23 = 10  A (1111)2= 1 • 20 + 1 • 21 + 1 • 22 + 1 • 23 = 15  F Zatem : (0001)2  1 (1010)2  A (1111)2  F Mamy więc (110101111)­2= (1AF)16

zamiana systemu dwójkowego na szesnastkowy Każdemu symbolowi zapisu szesnastkowego odpowiada 4-cyfrowy zapis zero -jedynkowy w systemie dwójkowym. Odszyfrujmy zapis ( 2C6)16 2 =21= 0 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 0 • 20 Zatem (2)16 = (0010)2 (C)16 = 12 12 = 8 +4=23+22= 1 • 23 + 1 • 22 + 0 • 21 + 0 • 20 Więc (C)16 = (1100)2 6 = 4 +2= 22 + 21 = 0 • 23 + 1 • 22 + 1 • 21 + 0 • 20 Więc (6)16 = (0110)2 Zatem liczbie (2C6)16 odpowiada zapis w systemie dwójkowym - (001011000110)2

zastosowanie systemów liczbowych Z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów, najbardziej naturalnym systemem w informatyce jest dwójkowy system liczbowy. W okresie pionierskich czasów komputeryzacji ważną rolę odgrywał system ósemkowy, który spotyka się niekiedy do dziś. Natomiast naturalny dla ludzi system dziesiętny został wprowadzony dopiero wraz z powstaniem języków programowania wyższego poziomu, których celem było jak największe ułatwienie w korzystaniu z komputerów.

zastosowanie systemów liczbowych Ze względu na specyfikę architektury komputerów, gdzie często najszybszy dostęp jest do adresów parzystych, albo podzielnych przez 4, 8 czy 16, często używany jest szesnastkowy system liczbowy. Sprawdza się on szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. Na przykład: 216 = 6553610 = 1000016 232 = 429496729610 = 10000000016 1000016 i 10000000016 są znacznie łatwiejsze do zapamiętania.

zastosowanie systemów liczbowych System szesnastkowy często spotykany jest też na stronach WWW (HTML), gdzie stosowany jest do zapisu kolorów. System dwójkowy jest powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów (do dwóch) pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

bibliografia www.wikipedia.pl http://wiki.wolnepodreczniki.pl/Matematyka:Gimn azjum/Pot%C4%99ga_o_wyk%C5%82adniku_ca%C5%8 2kowitym http://www.supermatematyka.pl/potegowanie/zad ania.html http://www.gimn4.bedzin.pl/gimn4/strony/bogusia /liczby.html#ol