Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012 Analiza matematyczna IV. Całki WYKŁAD 9 Całki nieoznaczone Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu funkcja pierwotna, definicja całki nieoznaczonej, całki nieoznaczone niektórych funkcji elementarnych, twierdzenia o całkach nieoznaczonych, całkowanie funkcji wymiernych, trygonometrycznych oraz funkcji zawierających niewymierności.

Funkcja pierwotna Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli: dla każdego

Twierdzenie podstawowe o funkcjach pierwotnych Funkcja pierwotna Twierdzenie podstawowe o funkcjach pierwotnych Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy: jest funkcją pierwotną funkcji f na I, każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci:

Funkcja pierwotna Warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.

Funkcja pierwotna Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Przykłady funkcji, których pierwotne nie są funkcjami elementarnymi:

Całka nieoznaczona Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez lub

Całka nieoznaczona Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Całka nieoznaczona Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego Niech funkcja f’ ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego gdzie

Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Twierdzenia o całkach nieoznaczonych Liniowość całki oznaczonej Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to:

Twierdzenia o całkach nieoznaczonych Całkowanie przez podstawienie Jeżeli funkcja f : I  R jest ciągła na przedziale I, funkcja  : J  I ma ciągłą pochodną na J, to: gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną f oraz

Twierdzenia o całkach nieoznaczonych Całkowanie przez części Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to:

Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Całkowanie funkcji wymiernych Funkcję wymierną nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.

Całkowanie funkcji wymiernych Funkcję wymierną właściwą postaci gdzie nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju. gdzie przy czym nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

Całkowanie funkcji wymiernych Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Całkowanie funkcji wymiernych Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy wzory:

Całkowanie funkcji wymiernych Do obliczania całek z ułamków prostych drugiego rodzaju stosujemy wzór: Pierwszą z tych całek obliczamy za pomocą podstawienia a drugą po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej i podstawieniu

Całkowanie funkcji wymiernych Uwaga Istnieje wzór rekurencyjny: dla

Całkowanie funkcji trygonometrycznych Funkcję, którą można przedstawić w postaci ilorazu wielomianów dwóch zmiennych, nazywamy funkcją wymierną dwóch zmiennych.

Całkowanie funkcji trygonometrycznych Niech R(u,v) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczas do obliczania całek w postaci w zależności od warunków jakie spełnia funkcja R stosujemy podstawienia:

Całkowanie funkcji trygonometrycznych Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Całkowanie funkcji trygonometrycznych Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Całkowanie funkcji z niewymiernościami Niech R(u,v) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczas do obliczania całek w postaci gdzie a > 0, stosujemy podstawienia:

Całkowanie funkcji z niewymiernościami Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

Całkowanie funkcji z niewymiernościami Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.