MECHANIKA PŁYNÓW Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska KATEDRA INŻYNIERII WODNEJ I SANITARNEJ MECHANIKA PŁYNÓW dr inż. Paweł Zawadzki www.up.poznan.pl/kiwis/dydaktyka/mechanikaplynow.html

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika v2 p1, T1 Rozważmy  wypływ gazu ze zbiornika, w którym panuje wysokie ciśnienie, do obszaru o niższym ciśnieniu. Zakładamy, że jest to ustalony wypływ adiabatyczny gazu doskonałego a więc bez wymiany ciepła (ec=0), pracy mechanicznej (lt=0) a przy małej gęstości gazu mogą być pominięte człony wyrażające energię potencjalną (g·z=0). Przy tych założeniach równanie bilansu energii sprowadza się do postaci:

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika v2 p1, T1 Różnicę entalpii i2 – i1 można zastąpić wyrażeniem , za ciepło właściwe cp podstawiamy zależność oraz , dzięki czemu: Jest to równanie Bernoulliego dla gazów idealnych i przemian adiabatycznych wzdłuż strumienia.

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika v1 p0, T0 Parametry nieruchomego gazu w zbiorniku przy v = 0, nazywamy parametrami spiętrzenia. W szczególności temperatura i ciśnienie odpowiadające temu stanowi nazywane są temperaturą spiętrzenia i ciśnieniem spiętrzenia i oznaczamy symbolami To i po. Jeżeli parametry gazu na zewnątrz zbiornika oznaczamy indeksem”1”, to równanie przybiera postać:

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika v1 p0, T0 Prędkość wypływu gazu ze zbiornika możemy wyznaczyć: Korzystając z równania izentropy:

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika v1 p0, T0 Otrzymamy wzór St. Venanta-Wantzela:

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika v1 p0, T0 Wydatek masowy wypływu gazu przez otwór obliczamy z zależności: Podstawiając w powyższym równaniu zależność na prędkość gazu v1 otrzymujemy:

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika v1 p0, T0 Z analizy wzoru St. Venanta-Wantzela wynika, że maksymalna prędkość gazu vmax teoretycznie może wystąpić przy jego rozprężeniu do próżni absolutnej, gdzie i = 0 a więc także p1 = 0:

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 1. Jak zmienia się masowe natężenie masowego natężenia wypływu gazu w funkcji ilorazu ciśnień p1/p0 = x dla stałych parametrów gazu w zbiorniku? Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze  = 1,4 (wykładnik adiabaty) p0 = 2 MPa

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Ze spadkiem ciśnienia p1, wielkość M(x) początkowo rośnie, a po osiągnięciu wartości maksymalnej Mmax dla x = β, maleje do zera. Badania doświadczalne wskazują, że dla p1/p0 < β masowe natężenie nie zmienia się i jest równe wartości maksymalnej. Przedstawiona rozbieżność nazywana jest „paradoksem Saint Venanta-Wantzela”.

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Wielkość β można wyznaczyć z warunku na ekstremum funkcji M(x): czyli stąd ekstremum funkcji występuje gdy x = p1/p0 = β:

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 2. Określ wartość x = p1/p0 = β przy, której obserwowany maksymalny wypływ powietrza ze zbiornika. Dla powietrza  = 1,4

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Jeśli do równania za iloraz p0/p1 podstawimy wielkość β otrzymamy: Wstawiając prędkość maksymalną wprost do wzoru na masowe natężenie wypływu otrzymamy:

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Kryterium do obliczania prędkości i wydatku przy wypływie gazu przez otwory i dysze zbieżne stanowi stosunek ciśnienia zewnętrznego p1 do ciśnienia w zbiorniku p0 a mianowicie: gdy p1/p0 > β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów gdy p1/p0 < β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 3. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku. Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze  =  = 1,4 (wykładnik adiabaty) p0 = 0,2 MPa T0 = 300 K p1 = pa = 0,1013 MPa dla masowe natężenie przepływu nie zmienia się i jest równe wartości maksymalnej. v1 p0, T0

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 3.

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 4. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć temperaturę wypływającego strumienia, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku. Dane jak w przykładzie 3. - z rów. bilansu energii dla dwóch przekrojów otrzymujemy zależność na temperaturę wypływającego strumienia gazu

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 4.

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 5. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku. Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze  =  = 1,4 (wykładnik adiabaty) p0 = 0,15 MPa T0 = 300 K p1 = pa = 0,1013 MPa dla masowe natężenie przepływu obliczamy z równania Saint Venanta-Wantzela. v1 p0, T0 19

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 5. 20

Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 6. Obliczyć gęstość gazu w zbiorniku Dane jak w przykładzie 5. 21

Parametry krytyczne gazu Zauważmy, że w wyjściowym równaniu izentropy po lewej i po prawej stronie występuje wyrażenie określające kwadrat prędkości dźwięku:

Parametry krytyczne gazu Wstawiając te wielkości do równania otrzymamy: gdzie a0 jest prędkością dźwięku w warunkach spiętrzenia (stagnation), gdy v = 0, przy tzw. parametrach spiętrzenia gazu w zbiorniku p0, ρ0, T0.

Parametry krytyczne gazu Z równania wynika, że przy wypływie gazu ze zbiornika gdy wzrasta prędkość gazu v1 maleje prędkość dźwięku a1. Parametry gazu, przy których prędkość przepływu gazu równa jest lokalnej prędkości dźwięku tj. v1 = a1, nazywane są parametrami krytycznymi: p ρ, T, v, a.

Parametry krytyczne gazu Z równania tego można wyznaczyć prędkość krytyczną gazu (v1 = v), równą krytycznej prędkości dźwięku (a1 = a).

Parametry krytyczne gazu Warto zwrócić uwagę, że prędkość krytyczna gazu określona wzorami równa jest maksymalnej prędkości występującej przy wypływie gazu przez otwór a więc jest to prędkość krytyczna.