MECHANIKA PŁYNÓW Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska KATEDRA BUDOWNICTWA WODNEGO MECHANIKA PŁYNÓW dr inż. Paweł Zawadzki www.up.poznan.pl/kbw/dydaktyka/mechanikaplynow.html

Procesy odwracalne i nieodwracalne Procesem odwracalnym (reversible process) nazywamy taki proces, w którym zarówno system jak i jego otoczenie może wrócić dokładnie do stanu wyjściowego bez żadnej dodatkowej pracy. Z pierwszej zasady termodynamiki wynika prawo zachowania energii. Druga zasada termodynamiki określa nieodwracalność procesów makroskopowych przebiegających ze skończoną prędkością. 2

Procesy odwracalne i nieodwracalne Procesy, w którym występują straty tarcia, przepływ ciepła i mieszanie gazów są procesami nieodwracalnymi. Czysto odwracalne procesy dotyczą jedynie płynów idealnych. Wszystkie rzeczywiste procesy są nieodwracalne, lecz niektóre z nich mogą być w przybliżeniu opisane jako odwracalne. 3

Procesy odwracalne i nieodwracalne Przykładem procesu opisywanego jako odwracalny jest przepływ przez dyszę zbieżną, gdzie straty tarcia są niewielkie i przepływ ciepła jest bardzo mały lub w ogóle nie występuje, może być opisany jako proces odwracalny. Przepływ w rurociągu jest typowym procesem nieodwracalnym z powody występowaniu znaczących strat tarcia. 4

Entropia S Z procesami nieodwracalnymi ściśle łączy się pojęcie entropii S (entropy) jako właściwości, która jest miarą nieokreśloności lub w przypadku procesów termodynamicznych jest ilością energii niedostępnej do użytecznej pracy w czasie naturalnego procesu przepływu. W procesach rzeczywistych entropia rośnie, stąd dostępna energia maleje. 5

Entropia S Entropia – elementarny przyrost entropii ciała równy jest ilorazowi elementarnej ciepła Q, które pochłonęło to ciało, do temperatury bezwzględnej T jaką miało to ciało w momencie pochłaniania tego ciepła: 6

Entropia S Procesy zachodzące przy stałej entropii możliwe są jedynie w teorii, jednak mogą być bardzo zbliżone do procesów rzeczywistych. W obliczeniach przyjmuje się zwykłe, że entropia ciała jest równa zeru, gdy ciało ma temperaturę 0oC i znajduje się pod ciśnieniem 0,1 MPa. 7

Entalpia i Sumę energii wewnętrznej i energii przekształcenia nazywamy entalpią. Entalpia i (enthalpy) definiowana jest równaniem: gdzie: i – entalpia odniesiona do jednostki masy (N·m/kg) u – energia wewnętrzna (N·m/kg) p – ciśnienie (Pa) ρ – gęstość (kg/m3) 8

Energia wewnętrzna u Energia wewnętrzna u jest energią kinetyczną ruchów molekularnych i sił międzymolekularnych, jej wartość zależy od temperatury. Energia wewnętrzna u gazu o dowolnej temperaturze TK równa jest ilości ciepła, które musi być doprowadzone aby ogrzać gaz z 0K do TK. Ogrzewanie musi być przeprowadzone przy zachowaniu stałej objętości (zerowa praca). 9

Energia wewnętrzna u Przykład 1. Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz cv =3161 J/(kgK). Oblicz cp oraz κ (wykładnik adiabaty) 10

Energia wewnętrzna u Uwzględniając zależność na wykładnik adiabaty od ciepła właściwego oraz otrzymujemy: 11

Energia wewnętrzna u Przykład 2. Dla helu R = 2078 J/(kgK) oraz κ =1,66. Oblicz cp oraz cv. 12

Energia wewnętrzna u Wartości cp oraz cv dla wielu gazów zmieniają się nieznacznie, zwłaszcza w niższych temperaturach. Na przykład w zakresie temperatur od 273 do 373 K ciepło właściwe powietrza cv zmienia się w granicach 1%. W warunkach gdy wielkości cp i cv mogą być przyjmowane jako stałe, zmiany entalpii oraz energii wewnętrznej gazu określają zależności: 13

Równanie izentropy Dla adiabatycznej przemiany izentropowej spełnione jest równanie izentropy: gdzie: p – ciśnienie (Pa) ρ – gęstość (kg/m3) κ – wykładnik adiabaty (-). 14

Równanie izentropy Korzystając z równania stanu równanie izentropy można przedstawić jako: lub gdzie: p – ciśnienie (Pa) ρ – gęstość (kg/m3) κ – wykładnik adiabaty (-). 15

Przemiany izentropowe Przemiana izentropowa – jeżeli przemiana adiabatyczna odbywa się bez tarcia i jest przemianą odwracalną. Można przyjąć, że drobne zaburzenia rozprzestrzeniające się w gazie, np. fale dźwiękowe, podlegają przemianie izentropowej. Prędkość tych zaburzeń jest nazywana prędkością dźwięku (speed of sound) i definiowana jako: 16

Przemiany izentropowe Wykorzystując równanie izentropy można zapisać: gdzie: p – ciśnienie (Pa); ρ – gęstość (kg/m3); κ – wykładnik adiabaty (-); T – temperatura (K); R – stała gazowa J/(kgK). 17

Prędkość dźwięku Stosunek prędkości gazu do lokalnej dźwięku nazywamy liczbą Macha: Jest to bezwymiarowa liczba charakteryzująca ruch gazu: Ma < 1 występuje ruch poddźwiękowy (subsonic); Ma > 1 jest to ruch naddźwiękowy (supersonic). 18

Prędkość dźwięku Przykład 3. Dwa samoloty lecą z prędkością 1 Ma, który z nich leci prędzej, jeżeli pierwszy leci na wysokości 1 km a drugi na wysokości 10 km? H = 1 km H = 10 km Na jakim poziomie temperatura powietrza jest większą? T1 > T2 a1 > a2 v1 > v2 Wraz ze wzrostem wysokości temperatura powietrza maleje a tym samym maleje prędkość dźwięku. 19

Równanie bilansu energii Przyrost energii wewnętrznej określonej objętości kontrolowanej w dowolnym procesie, stanowiący różnicę strumienia energii wypływającej i wpływającej, równy jest różnicy ciepła Q doprowadzonego do układu oraz pracy L, wykonanej przez układ w czasie tego procesu (I zasada termodynamiki). W bilansowaniu energii uwzględniamy zmiany jednostkowej (w odniesieniu do jednostki masy): energii potencjalnej g·z, energii kinetycznej v2/2, energii wewnętrznej u. 20

Równanie bilansu energii Dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu, bilans energii układu wyznacza równanie gdzie: u – energia wewnętrzna na jednostkę masy (m2/s2) v – prędkość przepływu gazu (m/s) vn – składowa prędkości prostopadła do powierzchni dA (m/s) 21

Równanie bilansu energii Dla ruchu ustalonego i równomiernego rozkładu parametrów przepływu w przekrojach wejściowym i wyjściowym obszaru kontrolowanego, można napisać: gdzie ciepło ec oraz praca mechaniczna lt są odniesione do jednostki masy gazu. 22

Równanie bilansu energii Dla ustalonego przepływu gazu na długości przewodu dx, bez doprowadzenia pracy technicznej równanie powyższe można zapisać w postaci różniczkowej: 23

Równanie bilansu energii Uwzględniając wyrażenie na entalpię otrzymujemy: gdzie: i – entalpia (m2/s), v – prędkość gazu (m/s), g – stała grawitacji (m/s2), z – wysokość położenia osi strumienia (m). 24

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego W ruchu ustalonym płynów nieściśliwych prędkość zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do zmian przekroju poprzecznego. Nieco inne zależności występują w ruchu płynów ściśliwych, gdyż w tym przypadku prędkość zależy także od zmian gęstości płynu. Dodatkowo własności płynu ściśliwego, gdy następuje zmiana pola przekroju poprzecznego, zależą od tego, czy jest to ruch poddźwiękowy (Ma < 1) czy naddźwiękowy (Ma > 1). 25

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego Ograniczając się do zagadnienia przepływu jednowymiarowego, równanie ciągłości można przedstawić w postaci: Po zlogarytmowaniu tego równania otrzymujemy następującą postać równania ciągłości: Równanie ciągłości dla gazów!!!! 26

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego Równanie Eulera (3.12) dla ustalonego przepływu gazu izentropowego, bez uwzględnienia sił masowych ma postać następującą: Uwzględniając zależność ciśnienia od gęstości możemy napisać: 27

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego Wykorzystując równanie do wyeliminowania wyrażenia dρ/ρ oraz podstawiając zamiast v/a = Ma otrzymujemy ostatecznie: lub równanie Hugoniota. 28

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego Wzór ten określa związek pomiędzy przyrostem prędkości dv, przyrostem przekroju poprzecznego dyszy dA oraz liczbą Macha Ma. 29

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego dla przepływu poddźwiękowego (Ma < 1): jeśli dA/A < 0, dv/v > 0 (malejący przekrój poprzeczny powoduje wzrost prędkości) jeśli dA/A > 0, dv/v < 0 (rosnący przekrój poprzeczny powoduje zmniejszanie się prędkość) 30

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego dla przepływu naddźwiękowego (Ma > 1): jeśli dA/A < 0, dv/v < 0 (malejący przekrój powoduje zmniejszanie się prędkości) jeśli dA/A > 0, dv/v > 0 (rosnący przekrój powoduje wzrost prędkości) 31

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego dla przepływu dźwiękowego (Ma = 1): dA/A = 0, v = const. (przekrój stały, prędkość stała) 32

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego Ma < 1 ruch poddźwiękowy dA/A > 0, dv/v < 0 dA/A < 0, dv/v > 0 Ma > 1 ruch naddźwiękowy dA/A > 0, dv/v > 0 dA/A < 0, dv/v < 0 33

Wpływ zmian przekroju na ruch płynu ściśliwego Przepływy poddźwiękowe i naddźwiękowe wykazują przeciwstawne właściwości gdy następuje zmiana przekroju poprzecznego. Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu poddźwiękowego wymagany jest przewód zbieżny, podobnie jak przy przepływie płynu nieściśliwego. Aby nastąpiło przyspieszenie przepływu naddźwiękowego wymagany jest odcinek przewodu rozbieżnego. 34

Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę Dla krótkich przewodów można pominąć straty energii i wnioski dotyczące przepływu idealnego mają też zastosowanie praktyczne. Zauważmy, że dla prędkości dźwiękowej zachodzi zależność dA/A = 0. Warunek może wystąpić w krańcowym przekroju przewodu zbieżnego lub na przejściu przewodu zbieżnego w rozbieżny, zwanej dyszą Lavala. 35

Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę Jednak przepływ dźwiękowy w przewężeniu wystąpi jedynie wówczas, gdy różnica ciśnień między obszarem odcinka górnego i przewężeniem będzie wystarczająco duża aby nastąpiło odpowiednie przyspieszenie przepływu. Przy niewielkiej różnicy ciśnień prędkość w przewężeniu będzie poddźwiękowa (Ma < 1). Jeśli różnica ciśnień będzie się zwiększać, prędkość w przewężeniu będzie wzrastać, aż do momenty, gdy wystąpi prędkość dźwięku (Ma = 1). Wraz z dalszym zwiększaniem się różnicy ciśnień, wydatek przepływu będzie wzrastał (dzięki wzrostowi gęstości) lecz prędkość pozostanie prędkością dźwiękową. 36

Wpływ płynu ściśliwego przez dyszę Przepływ naddźwiękowy (Ma > 1) wystąpi poniżej przewężenia w dyszy Lavala tylko wtedy, gdy w przewężeniu wystąpi przepływ dźwiękowy. Jeśli przepływ w przewężeniu jest poddźwiękowy, przepływ na odcinku rozbieżnym jest także poddźwiękowy i prędkość będzie malała wraz ze powiększaniem przekroju. 37