Rozkład macierzy korelacji ze względu na wartości i wektory własne a problem głównych składowych Singular Value Decomposition SVD
równanie charakterystyczne Wartości własne równanie charakterystyczne Gdy znane są wartości własne R, można wyznaczyć wektory własne u1 i u2 z równań postaci: Macierz wartości własnych Niestety, istnieje ich wiele, trzeba założyć, że mają długość 1 Macierz wektorów własnych
Własności wektorów i wartości własnych Każdą nieosobliwą macierz kwadratową daje się przedstawić jako iloczyn trzech macierzy; takie przedstawienie nazywa się rozkładem ze względu na wektory i wartości własne (SVD) Wektory własne są względem siebie ortogonalne Wartości własne sumują się do rozmiaru macierzy Iloczyn wartości własnych kwadratowej macierzy R jest równy wyznacznikowi tej macierzy
Pożytki z wektorów i wartości własnych Rozwiązanie problemu głównych składowych Wartość własna to wariancja głównej składowej Kolejne składowe mają coraz mniejszą wariancję Każda składowa „reprezentuje” jaką część sumy wariancji wskaźników Rozwiązanie ortogonalnego problemu 2-czynnikowego Jeśli mamy SVD, możemy każdy wskaźnik wyrazić jako liniową kombinację głónych składowych Macierzy korelacji między wskaźnikami daje sie wyrazic jako suma macierzy korelacji wynikacjącyh z poszczególnych wymiarów czynnikowych
Przykład
X1 X2
λ2- 2λ + 0,7696 = λ1 = 0,52 λ2 = 1,48 C1 C2 1,980 0,000 0,849 1,131 -0,849 0,283 -0,283 -1,131 -1,980