INFORMACJA! Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach. Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników. Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres e-mailowy autora: mc@limba.wil.pk.edu.pl.

HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE

Hipotezy wytężeniowe 1 ekspl Rm ekspl<<Rm RH ekspl<RH s-1 Znajomość stanu naprężenia i deformacji w każdym punkcie konstrukcji (naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia) jest podstawą do wymiarowania jej elementów, t.j. przyjęcia wymiarów zapewniających bezpieczną i funkcjonalną użyteczność całej konstrukcji. W najprostszym przypadku wytrzymałościowym, tj. w przypadku jednoosiowego rozciągania zadanie to jest stosunkowo proste, gdyż zarówno macierz naprężeń jak i odkształceń są reprezentowane prze z jeden składnik ( lub ), a przemieszczenie w kierunku osi pręta jest równomiernie rozłożone na jego długości. Łatwo jest również przeprowadzić doświadczenie w celu wyznaczenia charakterystyk materiałowych: modułu Younga, współczynnika Poissona, granicy sprężystości, wytrzymałości doraźnej i ustalicć wielkość dopuszczalnego naprężenia eksploatacyjnego. 1 1 ? ekspl Rm ekspl<<Rm RH ekspl<RH s-1 arctgE ekspl = 1 =RH /s współczynnik bezpieczeństwa

Hipotezy wytężeniowe W przypadkach bardziej złożonych, w których występuje więcej niż jedna składowa stanu naprężenia (np. w przypadku zginania poprzecznego) pojawia się pytanie w jaki sposób określić stan niebezpieczny (w przypadku wymiarowania w zakresie sprężystym – granicę stosowalności prawa Hooke’a). tzx txz sx z x Czy musza być tu spełnione dwa warunki: x< H x< H gdzie H i H byłyby niezależnymi granicami sprężystości na rozciąganie i na ściskanie? s1 s2 1 2 z x a2 a1 Przejście do układu naprężeń głównych również nie wyjaśnia tej sprawy, gdyż np. suma obu naprężeń głównych może dawać wektor naprężenia o module większym niż RH … s1 s2 |p| 1 2 Potrzebne jest więc przyjęcie HIPOTEZY, określającej co decyduje o osiągnięciu stanu niebezpiecznego

Hipotezy wytężeniowe W najogólniejszym przypadku stanu naprężenia gdy wszystkie składowe stanu naprężenia są nie-zerowe (nie-zerowe są wszystkie trzy naprężenia główne) wytężeniem można nazwa pewną funkcję w przestrzeni 9-wymiarowej przestrzeni składowych macierzy naprężeń (lub w 3-wymiaorwej przestrzeni naprężeń głównych) W jednoosiowym stanie naprężenia: Zażądamy, aby wytężenie w danym stanie przestrzennym było takie same jak w stanie jednoosiowym: Rozwiązanie tego równania ze względu na 0: nazywamy naprężeniem zastępczym wg. przyjętej hipotezy, określającej postać funkcji F a więc i funkcji 

Hipotezy – logika rozumowania Niech miarą wytężenia będzie: wektor, którego składowymi są naprężenia główne Stosunek: określa „odległość” od stanu niebezpiecznego. Tę odległośc możemy interpretować jako „wytężenie” materiału w danym punkcie. TAKA HIPOTEZA NIE JEST ZNANA ALE ISTNIEJE BARDZO DO NIEJ „PODOBNA” JEST TO HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A Dla tej hipotezy funkcja f jest nieanalityczna (nieciągłości pochodnych na krawędziach)

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A Widać, że jest to materiał o takich samych własnościach wytrzymałościowych we wszystkich kierunkach. Ponieważ określenie materiał izotropowy jest zarezerwowane dla odkształcalności (w zakresie sprężystym: prawo Hooke’a ma tylko dwie niezależne stałe materiałowe) musimy tu użyć bardziej precyzyjnego określenia: „materiał izotropowy ze względu na wytrzymałość”

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A Materiał o własnościach wytrzymałościowych odpowiadających tej hipotezie można nazwać nie tylko izotropowym (wartości naprężeń niebezpiecznych są takie same dla każdego kierunku) ale i izonomicznym (wartość naprężenia niebezpiecznego jest taka sama przy rozciąganiu jak i przy ściskaniu).

HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A Wytężenie 100% Wytężenie 80% Wytężenie 60% Wytężenie 40% Wytężenie 0%

a gdy a>0 HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A Materiał o cechach wytrzymałościowych: Izotropowych (takich samych w obu kierunkach) Iznomicznych (własności przy rozciąganiu takie same jak przy ściskaniu) Materiał niewrażliwy na ściskania. Odpowiada to hipotezie wytężeniowej GALILEUSZA: Materiał o cechach wytrzymałościowych: Izotropowych (takich samych w obu kierunkach) An-iznomicznych (własności przy rozciąganiu inne niż jak przy ściskaniu) gdzie a gdy a>0 0 gdy a<0

HIPOTEZA COULOMBA-TRESCI-GUESTA Jest to przypadek czystego ścinania – np. skręcanie. Wiele materiałów wykazuje wrażliwość właśnie na ściananie Ten sześciobok przestawia hipotezę Tresci-Guesta, wg. której miarą wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne Jednoosiowe rozciąganie W jednoosiowym stanie naprężenia:

HIPOTEZA HUBERA-MISESA-HENCKY’EGO Nieznaczną z punktu widzenia ilościowego, ale znaczącą poprawkę do hipotezy Tresci-Guesta wniosła hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego Wg tej hipotezy o wytężeniu decyduje wielkość zgromadzonej energii odkształcenia postaciowego: Po wykorzystaniu prawa Hooke’a można ją wyrazić przez naprężenia: W jednoosiowym stanie naprężenia: W przestrzeni naprężeń głównych jest to walec o osi równo nachylonych do osi układu. Jego przecięciem z płaszczyzną jest elipsa pokazana rysunku.

ZESTAWIENIE OMÓWIONYCH HIPOTEZ Hipoteza GCR CTG HMH Miara wytężenia Największe . napr. normalne Największe napr. styczne Energia odkszt. postaciowego Graniastosłup o osi równo nachylonej do osi układu Walec o osi równo nachylonej do osi układu Sześcian o boku 2R Obraz 3D Obraz 2D Naprężenie zastępcze w 2D Naprężenie dla belek