Matematyka Architektura i Urbanistyka Semestr 1

Algebra liniowa II. Analiza matematyczna. 1. Rachunek różniczkowy. 2 Algebra liniowa II. Analiza matematyczna 1. Rachunek różniczkowy 2. Rachunek całkowy IV. Geometria analityczna V. Logika matematyczna

I. Algebra liniowa Rachunek macierzowy Układy równań liniowych

I. Algebra liniowa I.1. Rachunek macierzowy I.1.1 Pojęcia podstawowe Def. 1 (macierzy) Macierzą nazywamy ciąg mn wyrażeń (np. liczb) aik, i=1, 2, ... , m; k=1, 2, ... , n które zapisujemy w postaci prostokątnej tablicy m x n – wymiar macierzy Jeżeli m=n – macierz kwadratowa stopnia n

Przykłady

Def. 2 (wektora) Macierz o jednej kolumnie nazywamy wektorem kolumnowym, a o jednym wierszu – wektorem wierszowym Wektor kolumnowy Wektor wierszowy Def. 3 (skalara) Macierz stopnia 1 [a11]= a11 nazywamy skalarem i identyfikujemy z liczbą (wyrażeniem) a11 Def. 4 (macierzy zerowej) Macierz A=0  aik= 0, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m Def. 5 (macierzy diagonalnej) Macierz kwadratową nazywamy diagonalną (przekątniową), jeżeli poza przekątną główną ma same zera czyli gdy aik=0 dla i≠ k np.

Def. 6 (symbolu Kroneckera) Przykłady: Def. 7 (macierzy jednostkowej) Macierz jednostkowa 1 (albo U lub E) 1=[δik] np. Def. 8 (podmacierzy) Jeżeli z macierzy usuniemy wiersz albo kolumnę albo kilka wierszy albo kilka kolumn, to pozostała macierz o mniejszych wymiarach nazywana jest podmacierzą macierzy wyjściowej

Def. 9 (macierzy symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeżeli aik = aki Def. 10 (macierzy antysymetrycznej albo skośnie symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną (skośnie symetryczną), jeżeli aik = –aki Wniosek: aii=0 Przykład: Def. 11 (równości macierzy) Jeżeli macierze A i B mają te same wymiary, to A=B  aik= bik, i=1, 2, ... , m; k=1, 2, ... , n

I.1.2 Działania na macierzach I.1.2.1 Transpozycja macierzy Def. 12 (macierzy transponowanej) Macierz transponowana AT do macierzy A aTik = aki np. I.1.2.2 Suma (dodawanie) macierzy Def. 13 (sumy macierzy) Jeżeli macierze A i B mają te same wymiary, to A+B=C  cik=aik+ bik, i=1, 2, ... , m; k=1, 2, ... , n czyli [aik]+[bik]=[aik+ bik] Tw. 1 (przemienność dodawania macierzy) A+B=B+A tzn. dodawanie macierzy jest przemienne Tak jak dla zwykłych liczb!!! Tw. 2 (łączność dodawania macierzy) (A+B)+C=A+(B+C) tzn. dodawanie macierzy jest łączne Zatem przy dodawaniu można opuszczać nawiasy i pisać po prostu A+B+C Tak jak dla zwykłych liczb!!!

I.1.2.3 Różnica (odejmowanie) macierzy Tw. 3 (element neutralny dodawania macierzy) A+0=A Macierz zerowa 0 jest elementem neutralnym (zerowym ) dodawania macierzy Tak samo jak dla liczb Tw. 4 (o transpozycji sumy) (A+B)T =AT+BT Transpozycja sumy macierzy równa jest sumie macierzy transponowanych (kolejność dodawania i transponowania można bezkarnie zamieniać) I.1.2.3 Różnica (odejmowanie) macierzy Tw. 5 (macierz przeciwna) Dla każdej macierzy A istnieje macierz przeciwna –A taka, że A+(–A)=0 –A=[–aik] Tak samo jak dla liczb: liczbą przeciwną do 7 jest -7, a dla -4 jest 4. Odejmowanie liczb to dodawanie liczby przeciwnej np. 9-2 = 9+(-2). Podobnie można zdefiniować odejmowanie macierzy: Df. 14 (różnicy macierzy) A-B= A+(-B)

Tw. 6 (o rozkładzie macierzy kwadratowej) Każdą macierz kwadratową A można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej S i macierzy antysymetrycznej R A=S+R Dowód: aik =sik +rik aki =ski +rki ale ski =sik i rki = –rik, zatem aki =sik –rik Dodając ostatnie dwa wzory stronami dostajemy aki + aik =2sik a stąd sik = ski =½ (aik + aki) Podobnie odejmując stronami otrzymamy rik = –rki =½ (aik – aki)

I.1.2.4 Iloczyn (mnożenie) macierzy przez liczbę Def. 15 (mnożenia macierzy przez liczbę) cA=c[aik]=[c aik] np. Tw. 7 (rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę) (m+n)A=mA+nA n(A+B)=nA+nB Tak samo jak dla liczb I.1.2.5 Iloczyn (mnożenie) macierzy Def. 16 (iloczynu macierzy) Niech A – macierz o wymiarach m x n niech B – macierz o wymiarach n x p AB=C gdzie C – macierz o wymiarach m x p cik = ai1 b1k + ai2 b2k + ai3 b3k + ... + ain bnk albo w skrócie

Mnożenie macierzy to zupełnie co innego niż mnożenie liczb!!! Tw. 8 Mnożenie macierzy nie jest przemienne, tzn. AB≠BA Inaczej niż dla liczb!!! Przykład:

Może być tak, że AB jest wykonalne, a BA jest niewykonalne. Przykład: Dla liczb: jeżeli ab=0, to albo a=0, albo b=0. Dla macierzy niekoniecznie. Może być AB=0 nawet gdy A≠0 i B≠0 Przykład: Takie niezerowe macierze, których iloczyn daje macierz zerową, nazywane są dzielnikami zera

Tw. 9 (element neutralny mnożenia) Niech A – macierz kwadratowa stopnia n, a 1 – macierz jednostkowa stopnia n 1A=A1=A czyli 1 jest elementem neutralnym mnożenia macierzy kwadratowych. Tak samo jak dla liczb!!! Tw. 10 (o łączności mnożenia macierzy) Niech A, B, C mają wymiary odpowiednio (m x n), (n x p), (p x q). A(BC)=(AB)C czyli mnożenie macierzy jest łączne. Tak samo jak dla liczb!!! Tw. 11 (o transpozycji iloczynu macierzy) (AB)T =BTAT Transpozycja iloczynu macierzy równa jest iloczynowi macierzy transponowanych w przeciwnej kolejności

Tw. 12 (o rozdzielności mnożenia macierzy względem dodawania) A(B+C) = AB+AC (A+B)C = AC+BC Tak samo jak dla liczb!!! Def. 17 (skrócony zapis mnożenia macierzy przez siebie) A2 =AA An=AA …. A I.1.2.6 Iloraz macierzy Poprzednio zdefiniowaliśmy różnicę macierzy poprzez dodawanie macierzy przeciwnej. Teraz spróbujmy zdefiniować iloraz macierzy poprzez mnożenie macierzy przez macierz odwrotną – tak jak ma to miejsce dla liczb: a:b=ab-1 np. 8:2 = 8*2-1 =8*1/2=4 Tw. 13 (macierz odwrotna) Dla niektórych macierzy kwadratowych A istnieje macierz odwrotna A-1 taka, że A A-1 = A-1A = 1 Dla jakich macierzy kwadratowych istnieje macierz odwrotna? Jak obliczyć macierz odwrotną? Odpowiedzią są wyznaczniki

I.1.2.7 Liniowa zależność i niezależność wektorów Def. 18 (kombinacji liniowej) Kombinacją liniową elementów pewnego zbioru nazywamy sumę iloczynów tych elementów przez liczby Tymi elementami mogą być w szczególności wektory (kolumnowe lub wierszowe) czyli kolumny lub wiersze macierzy. Przykład: Niech c1=4, c2=-1, c3=-7, c4=3, Def. 19 (liniowej zależności elementów) Mówimy, że elementy pewnego zbioru (np. wektory, kolumny macierzy itp.) są liniowo zależne, jeżeli ich kombinacja liniowa jest równa zero. W przeciwnym przypadku mówimy, że elementy są liniowo niezależne.

I.1.3 Wyznaczniki Def. 20 (wyznacznika macierzy kwadratowej) Wyznacznik macierzy kwadratowej jest to suma iloczynów elementów tej macierzy branych po jednym z każdego wiersza i kolumny i opatrzonych odpowiednim znakiem. Wyznacznik macierzy A (liczba): Przykłady:

Obliczanie wyznaczników jest proste, ale bardzo mozolne. Do obliczania wyznaczników stopnia 3 można stosować mnemotechniczną metodę Sarrusa. A co z wyznacznikami wyższych rzędów? W szczególnych przypadkach pomocne będą następujące własności wyznaczników: Wł. 1: det AT = det A (Transpozycja macierzy nie zmienia wartości wyznacznika) Wł. 2: Jeżeli w macierzy A występuje kolumna lub wiersz z samymi zerami, to det A=0 Wł. 3: Zamiana miejscami dwóch kolumn lub wierszy macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika Wł. 4: Jeżeli w macierzy A występuje dwie identyczne kolumny lub wiersze, to det A=0 Wł. 5: Jeżeli w macierzy A pewien wiersz lub kolumna zostanie pomnożony przez stałą c, to wartość wyznacznika zostanie pomnożona przez tę samą stałą. Wł. 6: Jeżeli w macierzy A jedna kolumna lub wiersz jest proporcjonalna do innej, to det A=0 (Jeżeli aik= c ajk , k=1, 2, ... , n, to det [aik]=0)

Wł. 7: Wyznacznik nie zmieni wartości, jeżeli do elementów pewnej kolumny/wiersza dodamy/odejmiemy elementy innej kolumny/wiersza. Wł. 8: Wyznacznik nie zmieni wartości, jeżeli do elementów pewnej kolumny/wiersza dodamy kombinację liniową innych kolumn/wierszy. Wł. 9: Jeżeli chociaż jedna z kolumn (wierszy) wyznacznika jest kombinacją liniową innych jego kolumn (wierszy), to wyznacznik jest równy zero. Wł. 10: Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników poszczególnych macierzy det AB = det A* det B Co zrobić w przypadku ogólnym, gdy powyższe własności nie pomogą? Trzeba zastosować tzw. rozwinięcie Pascala. Def. 21 (minora macierzy kwadratowej) Minorem Mik elementu aik nazywa się podwyznacznik powstały przez skreślenie i-tego wiersza i k-tej kolumny Przykład:

Def. 22 (dopełnienia algebraicznego) Dopełnienie algebraiczne Aik elementu aik jest to minor Mik z odpowiednim znakiem: Aik=(-1)i+k Mik Przykład poprzedni: i=2, k=3, (-1) 2+3=-1, A23=-M23 Tw. 14 (rozwinięcie Pascala) Wyznacznik równa się sumie algebraicznej iloczynów elementów dowolnej kolumny (wiersza) przez odpowiadające im dopełnienia algebraiczne. (rozwinięcie względem i-tej kolumny) (rozwinięcie względem k-tego wiersza) Przykład:

Maksymalna liczba operacji przy obliczaniu wyznacznika metodą Pascala Rozwinięcie Pascala polega na obniżaniu stopnia wyznacznika stosuje się rekurencyjnie aż do otrzymania dopełnień algebraicznych trzeciego stopnia pozwala na obliczenie wyznaczników dowolnie wysokiego stopnia Do rozwinięcia Pascala należy wybierać taką kolumnę (wiersz), w którym jest najwięcej zer, co zapewni zmniejszenie liczby składników w sumie z tw. 14. Jeżeli w wyznaczniku nie ma takich wierszy lub kolumn, można przed zastosowaniem rozwinięcia Pascala przekształcić wyznacznik korzystając z własności 7 lub 8 tak, by otrzymać wiersz/kolumnę z dużą liczbą zer. Maksymalna liczba operacji przy obliczaniu wyznacznika metodą Pascala Stopień wyznacznika Liczba wyznaczników stopnia 3, po wielokrotnym stosowaniu rozwinięcia Pascala Sumaryczna liczba dodawań i mnożeń 2   3 1 17 4 4*17=68 5 5*4=20 20*17=340 6 6*5*4=120 120*17=2040 7 7*6*5*4=840 840*17=14 280 … n 4*5*…*(n-1)n=n!/6 n!*17/6

I.1.4 Macierz odwrotna Def. 23 (macierzy dołączonej) Macierz AD dołączona do macierzy A=[aik ] jest to transponowana macierz dopełnień algebraicznych: AD=[Aik] T=[Aki ] Przykład:

Tw. 15 (o macierzy dołączonej) Def. 24 (macierzy osobliwej) Macierz A jest osobliwa, jeżeli det A=0. W przeciwnym wypadku macierz jest nieosobliwa. Tw. 16 (o istnieniu macierzy odwrotnej) Macierz A-1odwrotna do macierzy A istnieje wtedy i tylko wtedy, jeżeli det A ≠ 0 czyli macierz A jest nieosobliwa Tw. 17 Transpozycja macierzy odwrotnej jest równa odwrotności macierzy transponowanej (można zamieniać kolejność transponowania i odwracania macierzy)

a : b = c oznacza, że bc=cb=a. I.1.5 Iloraz macierzy - dokończenie W arytmetyce liczb stosuje się oznaczenia ilorazu dwóch liczb: Przez iloraz dwóch liczb a przez b albo a :b (b ≠ 0) rozumie się taką liczbę c, że bc=cb=a. Inaczej: a : b = c oznacza, że bc=cb=a. Za pomocą takiego samego wzoru można zdefiniować iloraz dwóch macierzy A przez B. Jednak ze względu na to, że mnożenie macierzy jest nieprzemienne, będą istniały dwa ilorazy: lewo- i prawostronny. Def. 25 (ilorazu macierzy) Jeżeli B C1 =A, to C1 jest ilorazem lewostronnym A przez B Jeżeli C2 B =A, to C2 jest ilorazem prawostronnym A przez B Warunkiem istnienia obu ilorazów jest, by macierz dzielnika była nieosobliwa. Dokładniej: Tw. 18 (o obliczaniu ilorazu macierzy) Jeżeli det B ≠ 0, to istnieją takie dwie macierze C1 i C2 , że

I.1.6 Macierze równoważne i operacje elementarne Def. 26 (rzędu macierzy) Rząd macierzy prostokątnej M o wymiarach mxn (rz M) to najwyższy stopień nieosobliwej macierzy (kwadratowej) wyciętej z macierzy M. Przykład: Z macierzy M można „wyciąć” dwie macierze kwadratowe stopnia 3: det B1=0 i det B2=0. Zatem rząd macierzy M jest mniejszy od 3 (rzM<3). Z macierzy M można „wyciąć” sześć macierzy kwadratowych stopnia 2: det C1=-1-6=-7 ≠ 0, zatem rzM=2

Def. 27 (macierzy schodkowej) Jeżeli w dowolnym wierszu macierzy pierwszy niezerowy element (tzw. element kierunkowy) jest w k-tej kolumnie, to we wszystkich poniższych wierszach pierwszych k elementów jest równych 0. Przykład: Def. 28 (macierzy schodkowej zredukowanej) Macież schodkową nazywamy zredukowaną, jeżeli wszystkie elementy kierunkowe są równe 1. Przykład:

Def. 29 (postaci kanonicznej macierzy) Macierz A ma postać kanoniczną, jeżeli aii=1 dla 1<i<=r=rzA, a poza tym aik=0, tzn. aik=0 dla i≠ k oraz aii=0 dla i>r=rzA

Def. 30 (operacji elementarnych na wierszach i/lub kolumnach macierzy) Następujące operacje na wierszach (kolumnach) macierzy nazywamy operacjami elementarnymi: Przestawienie (zamienienie miejscami) dwóch dowolnych wierszy lub kolumn Pomnożenie wiersza lub kolumny przez stałą c ≠ 0 Dodanie kombinacji liniowej wierszy lub kolumn do innego wiersza lub kolumny, np.: Dodanie do siebie lub odjęcie dwóch wierszy lub kolumn Dodanie wielokrotności jednego wiersza lub kolumny do innego wiersza (kolumny) Operacje elementarne służą do upraszczania macierzy Def. 31 (równoważności macierzy) Macierze A i B nazywamy równoważnymi, jeżeli B powstaje z A przez ciąg operacji elementarnych na wierszach i kolumnach Jeżeli macierz B powstaje z A przez ciąg operacji elementarnych tylko na wierszach, to macierze A i B nazywamy wierszowo równoważnymi Tw. 19 (o równoważności macierzy) Macierze równoważne mają ten sam rząd (operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy)

Tw. 20 Każda macierz jest wierszowo równoważna schodkowej macierzy zredukowanej (każdą macierz można sprowadzić do schodkowej macierzy zredukowanej przez operacje elementarne na wierszach tej macierzy). Przykład: w2-2w1 w2-w1 i ↨ w3-5w1 w3-w2 Tw. 21 Każda macierz jest równoważna pewnej macierzy w postaci kanonicznej (każdą macierz można sprowadzić do postaci kanonicznej przez operacje elementarne na wierszach i kolumnach tej macierzy). Przykład (ciąg dalszy poprzedniego przykładu): k4-2k1+7k2 k2-k1 k3+2k1-9k2 k5+k1

I.2. Układy równań liniowych I.2.1 Podstawowe definicje i własności Def. 32 (równania liniowego) Równanie nazywamy liniowym, jeżeli po jednej jego stronie występuje kombinacja liniowa niewiadomych, a po drugiej stronie – stała: Def. 33 (układu równań liniowych) Układ równań nazywamy liniowym, jeżeli wszystkie równania wchodzące w jego skład są liniowe: Liczby aik, , i=1,…, m; k=1,…, n stojące przy niewiadomych nazywamy współczynnikami układu m równań o n niewiadomych, a liczby po prawej stronie – wyrazami wolnymi lub wymuszeniami. Uwaga: Jeżeli chociaż jedno równanie nie jest liniowe, wówczas cały układ równań nazywamy nieliniowym.

Def. 34 (rozwiązania układu równań liniowych) Zbiór liczb {ck: k=1,…, n} takich, że wstawione w miejsce niewiadomych zamieniają układ równań w tożsamość, nazywamy rozwiązaniem układu równań. Macierzowy zapis układu równań liniowych: Każdy wiersz zapisu macierzowego odpowiada jednemu równaniu. Def. 35. Układ równań jest zgodny, gdy ma co najmniej jedno rozwiązanie sprzeczny, gdy nie ma rozwiązania Def. 36. Zgodny układ równań jest oznaczony, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie nieoznaczony, gdy ma więcej rozwiązań Tw. 21 Nieoznaczony układ równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań Przed przystąpieniem do rozwiązywania układu równań trzeba koniecznie sprawdzić, czy jest on zgodny czy sprzeczny

I.2.2 Rozwiązywanie układów równań liniowych I.2.2.1 Przypadek szczególny – m=n (tyle samo niewiadomych co równań) Macierz współczynników A jest kwadratowa. Tw. 22 Jeżeli macierz współczynników A jest nieosobliwa (albo inaczej – jeżeli rzA=n), to układ równań jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie). I.2.2.1.1 Rozwiązywanie układu równań przez odwracanie macierzy Jeżeli det A ≠ 0, wówczas istnieje macierz odwrotna do A. Mnożąc układ równań czyli Bardzo prosty zapis, bardzo czasochłonne obliczanie macierzy odwrotnej!!! Jeżeli macierz A jest osobliwa, to nie wiadomo, czy układ jest sprzeczny czy nieoznaczony

I.2.2.1.2 Rozwiązywanie układu równań metodą Cramera Oznaczenie Ak – macierz powstała z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B Jeżeli macierz A jest nieosobliwa (det A ≠ 0), to można obliczyć wszystkie niewiadome ze wzoru Przykład Układ jest oznaczony, ma jedno rozwiązanie, które można obliczyć ze wzoru

I.2.2.2 Przypadek ogólny – m i n dowolne, niekoniecznie równe Jeżeli macierz A jest osobliwa, to układ jest albo sprzeczny albo nieoznaczony. Metoda Kramera pozwala na stwierdzenie, który z tych dwóch przypadków zachodzi. Tw. 22 Jeżeli macierz współczynników A jest osobliwa (albo inaczej – jeżeli rzA<n), a przynajmniej jedna z macierzy Ak jest nieosobliwa, to układ równań jest sprzeczny (nie ma żadnego rozwiązania). I.2.2.2 Przypadek ogólny – m i n dowolne, niekoniecznie równe Podstawą do dalszych rozważań jest pojęcie tzw. macierzy rozszerzonej Ar Def. 37. Macierz rozszerzona Tw. 23 (Kroneckera-Capelli’ego) Układ równań liniowych jest zgodny wtedy i tylko wtedy, gdy rzA = rzAr

Metoda eliminacji Gaussa Sprowadzenie macierzy Ar do zredukowanej macierzy schodkowej poprzez operacje elementarne na wierszach macierzy Ar Obliczenie niewiadomych poczynając od ostatniej. Krok 1: Po wykonaniu operacji elementarnych na wierszach oryginalne elementy przekształcają się w elementy z gwiazdką może wystąpić raz albo wcale Indeks r oznacza rząd macierzy Ar (r=rzAr). Macierz pozwala na łatwe stwierdzenie, czy układ równań jest zgodny czy sprzeczny, a jeżeli jest zgodny – czy jest oznaczony czy nieoznaczony.

Najpierw trzeba stwierdzić, czy układ nie jest sprzeczny Najpierw trzeba stwierdzić, czy układ nie jest sprzeczny. Gdyby tak było, to nie ma co rozwiązywać! ten wiersz decyduje, czy układ jest sprzeczny Wiersz odpowiada równaniu Jest to sprzeczność, zatem jeżeli wystąpi taki wiersz, to układ jest sprzeczny i nie ma co rozwiązywać. Jeżeli nie ma takiego wiersza, to układ jest zgodny. Przed przystąpieniem do jego rozwiązania odrzucamy wiersze zerowe, bo odpowiadają one trywialnej tożsamości i nie zawierają żadnej informacji. Tak więc do rozwiązania układu zgodnego wykorzystuje się tylko pierwsze r wierszy macierzy .

Mogą zajść dwa przypadki, które odpowiadają dwóm różnym rodzajom układów zgodnych: r=n (liczbie niewiadomych). Układ jest oznaczony i ma jednoznaczne rozwiązanie r<n . Układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań. Krok 2: Obliczanie niewiadomych dla zgodnego układu równań 1. r=n dla r=n Macierz = odpowiada (po usunięciu trywialnych tożsamości 0=0) równaniu macierzowemu

a to z kolei odpowiada n równaniom skalarnym. Równania te rozwiązujemy od końca wyznaczając niewiadome o najwyższych numerach. itp

Przykład: Układ m=3 równań o n=2 niewiadomych: Macierz Po sprowadzeniu do postaci zredukowanej schodkowej W macierzy Ar nie występuje wiersz , zatem układ równań jest zgodny (ma przynajmniej jedno rozwiązanie. Rząd macierzy Ar równy liczbie niezerowych wierszy wynosi 2 i jest równy liczbie niewiadomych. Zatem układ równań jest oznaczony i ma tylko jedno rozwiązanie. Macierzy Ar odpowiada układ równań skalarnych Stąd

r<n . Układ jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spośród n niewiadomych pewne n-r niewiadomych będą to tzw. niewiadome swobodne, a pozostałe r niewiadomych – niewiadome główne. Z układu równań można wyrazić niewiadome główne poprzez niewiadome swobodne. Będzie to tzw. rozwiązanie ogólne układu nieoznaczonego. Nadając wartości niewiadomym swobodnym otrzymuje się jednoznaczne rozwiązanie, tzw. rozwiązanie szczególne. Przykład: m=n=4 (tyle samo równań co niewiadomych). Nie ma wiersza zatem układ jest zgodny. Ponieważ r=2<n=4, układ jest nieoznaczony. Macierzy Ar odpowiada układ r=2 równań skalarnych r-n =2 niewiadome będą niewiadomymi swobodnymi, a pozostałe r=2 – niewiadomymi głównymi Jak wybrać niewiadome swobodne? Czy każdy wybór jest możliwy? Nie. Np. nie można równocześnie wybrać x3 i x4 jako niewiadomych swobodnych, bo można uzyskać sprzeczność!

Metoda sprowadzania do postaci prawie kanonicznej Wybierzmy jako niewiadome swobodne x2 i x4 Wtedy niewiadomy głównymi będą x1 i x3 Rozwiązanie ogólne: x3=5x4+3 x1=0,5x2+x4+2 Przyjmując np. x2 = 2, a x4 = -1, otrzymamy jedno z rozwiązań szczególnych x1 =2, x3 =-2 Metoda sprowadzania do postaci prawie kanonicznej Sprowadzenie macierzy Ar do zredukowanej macierzy schodkowej poprzez operacje elementarne na wierszach macierzy Ar Sprowadzenie zredukowanej macierzy schodkowej odpowiadającej zgodnemu układowi równań do postaci „kanonicznej” poprzez operacje elementarne na kolumnach macierzy .

1. r=n Macierz odpowiada (po usunięciu trywialnych tożsamości 0=0) równaniu macierzowemu albo w skrócie czyli Gotowe rozwiązanie!!!!

II. Analiza matematyczna Rachunek różniczkowy Rachunek całkowy

II. Analiza matematyczna Jest to dział matematyki poświęcony badaniu funkcji. II.1. Rachunek różniczkowy II.1.1 Pochodna funkcji Oznaczenia: y=f(x) – funkcja jednej zmiennej x – zmienna niezależna y – wartość funkcji f(x) Δx – przyrost zmiennej niezależnej (Δx<0 lub Δx>0, ale Δx ≠ 0 Δy= Δf – przyrost wartości funkcji Def. II.1 (ilorazu różnicowego) Iloraz różnicowy funkcji f(x) dla przyrostu Δx:

Przykład: y=f(x) = x2 Iloraz różnicowy to tangens kąta nachylenia siecznej do wykresu funkcji f(x) Znaczenie praktyczne: Niech zmienną niezależną x jest czas t, a funkcją f(x) – droga s(t). Iloraz różnicowy funkcji s(t) dla przyrostu Δt to prędkość średnia w odcinku czasu Δt

Def. II.2 (pochodnej funkcji) Pochodna f’(x) funkcji f(x) to granica ilorazu różnicowego przy Δx dążącym do 0 Pochodna funkcji f(x) to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f(x)

Przykład poprzedni: y=f(x) = x2 Znaczenie praktyczne: Niech zmienną niezależną x jest czas t, a funkcją f(x) – droga s(t). Pochodna funkcji s(t) dla przyrostu Δt to prędkość chwilowa w chwili t. Oznaczenia pochodnej funkcji y=f(x)

II.1.2 Obliczanie pochodnych funkcji W najprostszych przypadkach można pochodną obliczać wprost z definicji 39. Przykład: funkcja stała f(x)=c Podobnie można obliczyć z definicji pochodne innych funkcji: funkcja pochodna Takie proste funkcje trafiają się rzadko. Na ogół trzeba korzystać z twierdzeń 2. y=x y’=1 3. y=x2 y’=2x 4. y=xn y’=nxn-1 5. y=ax y’=ax ln a 6. y=ex y’=ex 7. 8. y=sin x y=cos x y’=cos x y’=sin x

Tw. II.1 (o pochodnej operacji arytmetycznych) Jeżeli funkcje f(x) i g(x) posiadają pochodne f’(x) i g’(x), to: [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x) [f(x)  g(x)]’ = f’(x)  g’(x) [f(x) g(x)]’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x) Jeżeli g(x)≠0, to Przykłady: funkcja pochodna

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej można obliczyć pochodne kolejnych funkcji: funkcja pochodna warunki

Tw. II.2 (o pochodnej funkcji złożonej y=f(x)) Jeżeli funkcje u=h(x) i y=f(u) posiadają pochodne h’(x) i f’(u), to: funkcja złożona y=f[h(x)] ma pochodną y’=f’(u) h’(x), gdzie w miejsce u trzeba podstawić h(x). Przykłady: y = sin 10x y = = sin u, u=10 x y’ = cos u * 10 = 10 cos 10x Tw. 24 można stosować do funkcji wielokrotnie złożonej Przykład:

II.1.3 Pochodne wyższych rzędów Def. II.3 (pochodnych wyższych rzędów) Druga pochodna f’’(x) funkcji f(x) to pochodna pierwszej pochodnej f’’(x)=[f’(x)]’ Pochodna n-tego rzędu do pochodna pochodnej o jeden rząd niższej f(n)(x)=[f(n-1)(x)]’ Przykłady: f(x)=xex Obliczyć f’’(x) f’(x)=ex + xex =(x+1)ex ; f’’(x)= ex + (x+1)ex =(x+2)ex f(x)=3x3+7x2-4x+8 Obliczyć f(4)(x) f’(x)=9x2+7x-4; f’’(x)=18x+7; f’’’(x)=18; f(4)(x) =0

II.1.4 Analiza funkcji w oparciu o pochodne II. 1. 4. 1 Przyrost lub malenie funkcji – znak pierwszej pochodnej f’(x)>0 - funkcja rośnie f’(x)<0 - funkcja maleje f’(x)=0 - funkcja jest stała albo funkcja ma w tym punkcie maksimum albo funkcja ma w tym punkcie minimum

II. 1. 4. 2 Ekstremum funkcji (lokalne) Ekstremum to wspólna nazwa dla minimum i maksimum. Tw. II.3 (Fermata) – warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli funkcja y=f(x) ma w pewnym punkcie x0 ekstremum, to f’(x0 )=0 Ale niekoniecznie odwrotnie: jeżeli f’(x0 )=0, to funkcja może w tym miejscu mieć ekstremum, ale nie musi (np. funkcja stała na pewnym odcinku) Tw. II.4 (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli f’(x0 )=0 i pochodna zmienia znak w x0 , to funkcja ma ekstremum w x0 . Dokładniej: Jeżeli dla x< x0 f’(x)<0, f’(x0 )=0, a dla x> x0 f’(x)>0, to funkcja ma minimum w x0 Jeżeli dla x< x0 f’(x)>0, f’(x0 )=0, a dla x> x0 f’(x)<0, to funkcja ma maksimum w x0 Twierdzenie oczywiste, ale na ogół niewygodne do stosowania

Tw. II.5 (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum) postać uproszczona Jeżeli f’(x0 )=0 i f’’(x0 )≠0 , to funkcja ma ekstremum w x0 . Dokładniej: Jeżeli f’(x0 )=0 i f’’(x0 )>0 , to funkcja ma minimum w x0 Jeżeli f’(x0 )=0 i f’’(x0 )<0 , to funkcja ma maksimum w x0 Twierdzenie nieoczywiste, ale bardzo wygodne do stosowania Przykład: f(x)=x2-3x+4 f’(x)= 2x-3 f’(x)=0 dla 2x=3 czyli x0 = 1,5 f’’(x0 )=2>0 Funkcja ma minimum w punkcie x0 = 1,5

II. 1. 4. 3 Wklęsłość i wypukłość funkcji Def. II.4 (pochodnych wyższych rzędów) Gdy druga pochodna f’’(x)>0 dla a<x<b, to mówimy, że funkcja f(x) jest wypukła na odcinku (a,b) Gdy druga pochodna f’’(x)<0 dla a<x<b, to mówimy, że funkcja f(x) jest wklęsła na odcinku (a,b)