Dodatkowe własności funkcji B-sklejanych zawężenie f do K Rozważmy funkcjeIch zawężenia do dowolnego przedziałutworzą układ wielomianów. Dla i=k ten układ jest bazą przestrzeni Lemat : układ funkcji sklejanych Jest liniowo niezależny w przedziale Dowód Dla k=0 oczywiste układ =

Dodatkowe własności funkcji B-sklejanych Indukcja ze względu na k, niech k 1. Załóżmy, ze lemat jest prawdziwy dla Niech ze wzoru na pochodną Wykorzystano tu równość

Dodatkowe własności funkcji B-sklejanych Układ lnz. czyli Ponieważ w szeregunie znikają tylko w przedziale c.n.d.

Dodatkowe własności funkcji B-sklejanych Tw.Układ funkcji jest liniowo niezależny w przedziale Dowód: W przedzialenie znikają tylko funkcje więc Z poprzedniego lematu Jeślito lemat jest udowodniony. Jeśli nie to rozumujemy następująco:

Dodatkowe własności funkcji B-sklejanych Niech j oznacza indeks najmniejszy indeks ze wskaźnikiem dodatnim dla którego Wtedy c.n.d. Przykład: Udowodnić, że:

Dodatkowe własności funkcji B-sklejanych

Analogicznie dla Zadanie: sprawdzić, że:

Zastosowanie funkcji B- sklejanych Będziemy starać się powiązać(B-spline) z funkcją - zbiór interpolujących funkcji sklejanych Tw. Układ funkcjiest bazą przestrzeni Jej wymiar jest równy k+n. Dowód Każda z funkcji

Zastosowanie funkcji B- sklejanych Jest liniową kombinacją (n+k) funkcji Ich liczba = k+1+n-1=k+n i są one liniowo niezależne, więc są bazą w czyli ma wymiar n+k. Ponieważ układ funkcji jest liniowo niezależny, liczba funkcji w tym układzie jest równa n+k, ponadto W takim razie układ stanowi bazę

Macierz interpolacyjna W zagadnieniach węzły interpolacji nie muszą koniecznie pokrywać się z węzłami określającymi funkcje B-sklejane Niech w postaci macierzowej Tw. Z) macierzjest nieosobliwa T)

Macierz interpolacyjna Dowód: Dla dowodu nie wprost przyjmijmy, że Wobec tego prawdziwa jest alternatywa: 1 Rozważmy indeksy W takim razie macierz A ma postać

Ponieważ macierz A jest nieosobliwa, wobec tego jej wiersze i kolumny są liniowo niezależne sprzeczność 2 Rozważmy indeksy W takim razie pewne wiersze w B muszą być zależne. C.n.d. Macierz interpolacyjna

Lemat Jeśli to A jest macierzą nieosobliwą. Dowód Indukcja ze względu na n Niech n=1 Przypadek 1 C jest macierzą st. r a D st. n-r. Macierz A jest nieosobliwa C, D są nieosobliwe

Macierz interpolacyjna Te dwie macierze macierze mają taką samą strukturę, ale mniejszy stopień, więc z założenia indukcyjnego są nieosobliwe. Przypadek 2 Podobnie jest, gdy Dla r takiego, że mamy Macierze C, D są st. r-1 i n-r+1 i założenia indukcyjnego są nieosobliwe A nieosobliwa.

Macierz interpolacyjna Przypadek 3 Jeżeli przypadki 1, 2 nie są spełnione, to i jednocześnie Tak może być dla n=1 lub n=2. Wtedy zakładamy, że czyli W przedzialejest c.n.d.

Macierz interpolacyjna Tw. (Schreneberg-Whitney) Macierzjest nieosobliwa gdy jej wszystkie elementy są różne od sera. Przypadek k=3

Macierz interpolacyjna Układ równań z macierzą trójkątną dolną o paśmie 4.

Macierz interpolacyjna Postępowanie odwrotne: Uwaga: na ogół dane są Wtedy możemy wyznaczyć następująco:

Funkcje B-spline z węzłami wielokrotnymi Zakładamy, że mamy nieskończony układ węzłów Przyjmuje się, że:

Własności Funkcji B-spline z węzłami wielokrotnymi Nieujemność - Rozkład jedynki - lokalny nośnik - w dowolnie wybranym węźle nie zeruje się co najwyżej k+1 funkcji B-spline

Własności Funkcji B-spline z węzłami wielokrotnymi Różniczkowalność – wszystkie pochodne istnieją w przedziałach w węzłach w nośniku jest k-p razy różniczkowalna, gdzie p jest krotnością węzła. Za wyjątkiem przypadku k=0 osiąga dokładnie jedno minimum

Przykład k=0

Schemat wyznaczania

Uogólnienie Def. Wektor węzłów nazywamy nieperiodycznym jeśli pierwszy i ostatni węzeł jest reprezentowany z wielokrotnością p+1: oraz Zakładamy, że tym samym wektor węzłów ma postać: Def. Jeśli istnieje d>0 takie, że dla wszystkich wtedy T nazywamy jednolitym (uniform) wektorem wektorem węzłów, w przeciwnym razem niejednolitym (nonuniform).

Uogólnienie-krzywa Beziera Uwaga: wektor węzłów prowadzi do wielomianów Bernsteina stopnia p: Niech zbiór punktów w nazywamy krzywą Beziera.

Krzywe B-spline Niech zbiór punktów w krzywa B-spline Zbiór punktów nazywamy zbiorem punktów wiodących

Krzywe B-spline - własności Stopień, liczba węzłów, liczba punktów wiodących związane Są wzorem m+1=n+1+(k+1). k – stopień funkcji B-spline n – liczba węzłów m – liczba punktów wiodących Własności krzywych B-spline: Wielokrotność k+1 węzłów początkowego i końcowego implikuje:

Własności krzywych B-spline Niezmienniczość afiniczna Silna własność wypukłej otoczki – krzywa zawarta jest w wypukłej obwiedni swoich punktów kontrolnych: Lokalny przybliżony ruchowy schemat: jeśli dowolnie wybrany punkt kontrolny zostanie przemieszczony, to to przemieszczenie ma wpływ na tą część krzywej, która jest rozpięta na p+1 punktach (kilka z nich może być punktami zdegenerowanymi). Przesuwając się od t=0 do t=1 kolejne funkcje B-spline zachowują się przełączniki

Własności krzywych B-spline c.d. jest różniczkowalna do nieskończoności w punktach różnych od węzłów (wielomian) a w węzłach k-p razy różniczkowalna, gdzie k jest rzędem krzywej a p krotnością węzła. Własność zmniejszającej się wariacji: Żadna hiperpłaszczyzna (prosta dla n=2) nie ma więcej przecięć z krzywą B-spline niż z łamaną utworzoną z punktów wiodących, innymi nie ulega zmianie więcej niż ta łamana. Krzywa B-spline bez węzłów wewnętrznych jest krzywą Beziera.

Zastosowanie krzywych NURBS

Przykłady rozwiązań

Zastosowanie krzywych NURBS

Przykłady rozwiązań

Zastosowanie krzywych NURBS

Dach Scorielisa-Lo

Przykład siatki

Krzywe NURBS Rozważmy półprzestrzeń przestrzeni czterowymiarowej: Określamy następujące odwzorowanie perspektywy: Punkt w brany jest na półprostej wychodzącej z początku układu i przechodzącej przez (x,y,z) Jeśli wtedy określamy Rozważmy w 4-D następujący zbiór punktów wiodących:

Krzywe NURBS Określmy krzywą B-spline w przestrzeni 4-wymiarowej: Def. Wymierną krzywą B-spline (NURBS) nazywamy obraz Krzywej poprzez odwzorowanie perspektywy:

Własności krzywych NURBS są wymiernymi funkcjami bazowymi Nieujemność - Rozkład jedynki - lokalny nośnik - w dowolnie wybranym węźle nie zeruje się co najwyżej k+1 funkcji B-spline Różniczkowalność – wszystkie pochodne istnieją w przedziałach w węzłach w nośniku jest k-p razy różniczkowalna, gdzie p jest krotnością węzła.

Własności krzywych NURBS Ekstrema: Za wyjątkiem przypadku k=0 osiąga dokładnie jedno minimum Funkcje są uogólnieniami funkcji dla przypadku:

Własności krzywych NURBS Silna własność wypukłej otoczki – krzywa zawarta jest w wypukłej obwiedni swoich punktów kontrolnych: Własność zmniejszającej się wariacji: Żadna hiperpłaszczyzna (prosta dla n=2) nie ma wiecęj przecięć Z krzywą B-spline niż z łamaną utworzoną z punktów wiodących, innymi nie ulega zmianie więcej niż ta łamana.

Własności krzywych NURBS Krzywa NURBS bez węzłów wewnętrznych jest wymierną krzywą Beziera. Wymierna krzywa B-spline jest poprawnym uogólnieniem krzywej B-spline oraz krzywej Beziera i wymiernej krzywej Beziera. Wagi oddziałowywują na krzywą NURBS lokalnie: ściślej mówiąc, jeśli są ustalone, wtedy zmiany zmieniają krzywą tylko w zakresie Dla ustalonego t, 0<t<1, jeśli rośnie to rośnie a maleje. Oznacza to, że krzywa zbliża się do punktu wiodącego

Powierzchnie typu B-spline są czterema krzywymi brzegowymi tej powierzchni Własności: lokalny support

Powierzchnie NURBS

Def. Powierzchnią NURBS stopnia (p,q) (w 3-D) nazywamy obraz powierzchni B-spline w przestrzeni 4-D poprzez odwzorowanie perspektywy H:

Powierzchnie NURBS Uwaga: nie jest produktem funkcji zmiennych u, v Własności powierzchni NURBS Nieujemność: Lokalny suport:Jeśli (u,v) jest poza prostokątem Ponadto w dowolnym danym prostokącie co najwyżej (p+1) (q+1) funkcji bazowych nie zeruje się.

Powierzchnie NURBS Rożniczkowalność: we wnętrzach prostokątów wyznaczonych przez proste wychodzące z węzłów wszystkie pochodne istnieją, w węzłach o wielokrotności k istnieją do rzędu p-k(q-k). Ekstrema: jeśli p>0 i q>0 wtedy osiąga dokładnie maksimum. Funkcje są uogólnieniem funkcji bazowych B-spline, jeśli wszystkie wagi są równe:

Charakterystyka interpolacji funkcjami sklejanymi 7 węzłów 13 węzłów