Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

Zespół szkół technicznych im. Inż. Tadeusza Tańskiego w Słubicach Nazwa szkoły: Zespół Szkół Technicznych im inż. Tadeusza Tańskiego ID grupy: 97/23_mf_g1 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Własności liczb naturalnych Semestr IV /rok szkolny 2010/2011

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbadziej abstakcyjnych pojęć, jednak niewiedza na temat czym liczby są, nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. Liczby naturalne można ustawić w ciąg nieskończony (po kolei jedna za drugą). Dysponując jedynką, łatwo jest otrzymać wszystkie inne liczby naturalne. Trzeba tylko cierpliwie dodawać... Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N. Zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki: 1. 0 N, 2. Jeśli n N, to n + 1 N

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... } Próżno szukać wśród liczb naturalnych takiej, która jest wynikiem odejmowania liczby większej od mniejszej. Można oczywiście uznać, że takie działanie nie ma sensu. Taka była mniej więcej postawa uczonych w starożytnej Grecji. Dziś liczby ujemne już nie gorszą. Są na skali termometrów i w bilansach księgowych. Wraz z liczbami naturalnymi (oraz zerem) tworzą zbiór liczb całkowitych rozciągający się od minus do plus nieskończoności. Zbiór liczb całkowitych można więc zdefiniować, jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera. Zbiór liczb całkowitych jest najmniejszym podzbiorem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, spełniający następujące warunki: 1. 0 Z, 2. Jeśli c Z, to c + 1 Z i c - 1 Z Liczbami całkowitymi nazywamy więc wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą Z lub C.

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą Q. Każda liczba całkowita i każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. W odróżnieniu od liczby całkowitej, liczba wymierna nie jest w zasadzie wielokrotnością jednostek. Wraz z liczbami wymiernymi pojęcie ilości ulega zmianie, przechodzimy od wyliczania do wymiaru

Ułamki dzielimy na właściwe i niewłaściwe. Ułamek właściwy - to taki ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamki właściwe są mniejsze od 1. Ułamek niewłaściwy - to taki ułamek, w którym licznik jest większy od mianownika lub równy mianownikowi. Ułamki niewłaściwe są większe lub równe 1. Ułamki niewłaściwe przedstawione w postaci całości i ułamka właściwego nazywamy liczbami mieszanymi.

Są liczby, których nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Nazywamy je liczbami niewymiernymi. Liczb niewymiernych jest całe mnóstwo - dużo więcej niż wszystkich możliwych liczb wymiernych. Natknęli się na nie pitagorejczycy, rozważając długości przekątnych kwadratu. Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne. Liczbę niewymierną nie można przedstawić w postaci ułamka, a rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Istnienie liczb niewymiernych bardzo zaskoczyło pitagorejczyków, którzy uważali, że liczby są składnikami wszystkich bytów, których głównym zadaniem jest przedstawianie wymiarów wielkości geometrycznych. Stało się to za sprawą twierdzenia samego Pitagorasa i najważniejszej figury starożytnego świata - kwadratu. I tak w kwadracie o boku długości 1, korzystając z twierdzenia Pitagorasa - długość przekątnej musi być taka, aby jej kwadrat równał się 2. Pitagorejczycy udowodnili że nie istnieje żadna taka liczba wymierna, której kwadrat wynosi 2. A więc przekątna i bok kwadratu nie mają żadnej wspólnej miary. Są niewspółmierne. A mimo to jesteśmy w stanie je zobaczyć. Wielkości geometryczne wymykające się numeryczności zostały określone mianem alogon - niewyrażalnych. Grecy rozwinęli teorię dotyczącą wyłącznie wielkości geometrycznych, ustalili proporcje między wielkościami, ale odmówili im prawa do miana liczb. Dopiero dwa tysiące lat później byty te przyłączyły się do grona liczb, a ta, której kwadrat wynosi 2 i od której wszystko się zaczęło została nazawana liczbą niewymierną - pierwiastkiem kwadratowym z 2.

Liczby rzeczywiste wygodnie jest utożsamiać z punktami na prostej. Każdemu punktowi prostej odpowiada jedna i tylko jedna liczba rzeczywista, i na odwrót. Liczba rzeczywista opisuje bowiem odległość opatrzoną kierunkiem, wskazanym przez jej znak, mierzoną za pomocą pewnej ustalonej jednostki. Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywa się zbiorem liczb rzeczywistych. Pojęcie liczby rzeczywistej obejmuje wszystkie rodzaje liczb używane w codziennej praktyce: liczby naturalne, liczby całkowite, ułamki, pierwiastki, itp. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem R.

Liczby rzeczywiste oznaczają ciągłość Bezsilność liczb wymiernych w wyrażenaniu wszystkich miar wielkości, spowodowało, że rozbudowano pole liczb. W IX wieku arabski uczony Al-Farabi poszerzył pojęcie liczby o liczby wymierne i niewymierne dodatnie. Dwa wieki później matematyk arabski Omar Chajjam sformuował ogólną teorię liczby. Do liczb wymiernych dodał takie elementy, aby wszystkie wielkości mogły zostać zmierzone. Pojęcie liczb rzeczywistych możliwe jest dzięki osi ukierunkowanej. Zrozumienie ciągłości liczb rzeczywistych, może ułatwić fakt, że wypłniają one całkowicie oś, nie pozostawiając żadnej "dziury". Znak + lub - ma za zadanie wskazać kierunek na osi, liczba bez znaku określa zaś długość.

Co to jest liczba pierwsza, wie chyba każdy. To liczba naturalna, podzielna tylko przez 1 samą siebie. Liczby 0 i 1 nie są zaliczane do liczb pierwszych, ani do złożonych

Liczby pierwsze, dla przypomnienia, choć wszyscy wiedzą to doskonale, to te z liczb naturalnych, które nie dzielą się przez żadną liczbę różną od siebie samej (no i przez jedynkę, bo przez nią wszystko da się podzielić z definicji i jedynki też się za liczbę pierwszą nie uważa). Euklides z Aleksandrii (mniej więcej p.n.e.) w IX księdze Elementów udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. W dowodzie tym posłużył się metodą sprowadzania do absurdu i jest to jeden z pierwszych przykładów zastosowania praktycznego tej metody. Tenże sam Euklides też udowodnił podstawowe twierdzenie arytmetyki mówiące o tym, że każda liczba naturalna daje się przedstawić jako iloczyn skończonej ilości liczb pierwszych. Eratostenes ( p.n.e.), matematyk egipski, wynalazł metodę znajdowania liczb pierwszych w skończonym przedziale liczb naturalnych. Tak zwane sito Eratostenesa polega na kolejnym wykreślaniu z listy wielokrotności kolejnych, poczynając od najmniejszej, liczb pierwszych.

Liczby Mersenne'a W XVII wieku francuski mnich Marin Mersenne rozpatrywał możliwość istnienia liczb pierwszych postaci 2n - 1. Stwierdził, że 2n - 1 jest liczbą pierwszą dla n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 i nie jest nią dla żadnej inne wartości n mniejszej od 257. Przez następne dwa wieki nikt nie był wstanie tego potwierdzić ani zaprzeczyć. W 1876 r. E. Lucasowi udało się udowodnić, że jest liczbą pierwszą i przez następnych siedem dekad była to największa liczba pierwsza. W tym czasie odkryto błędy w stwierdzeniu Mersenne'a, pomylił się w przypadku liczb 67 i 257, a pominął liczby 61, 89 i 107, które podstawione w miejsce n dają liczby pierwsze. Liczby postaci Mn = 2n - 1, gdzie n jest liczbą naturalną nazywamy liczbami Mersenne'a. Liczby Mersenne'a można określić także jako sumę n pierwszych wyrazów postępu geometrycznego 20, 21, 22, 23,... Mamy więc M1 = 1, M2 = 3, M3 = 7, M4 = 15, M5 = 31, M6 = 63,... Wiadomo, że jeżeli n jest liczbą złożoną, to liczba Mn jest także liczbą złożoną. Prawdziwe jest także stwierdzenie, że jeżeli liczba Mn jest liczbą pierwszą, to liczba n musi być pierwszą, ale niekoniecznie na odwrót.

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides. Łatwo szukać kolejnych liczb pierwszych nie większych od danej liczby naturalnej n. Wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n. Liczba 2, pierwsza wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 2, gdyż nie są to liczby pierwsze. Z liczb pozostałych po tym wykreśleniu kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały poprzednio wykreślone. Z pozostałych teraz liczb kolejną po 2 i 3 jest liczba 5; pozostawia się ją i wykreśla wszystkie dalsze liczby podzielne przez 5, które nie zostały dotychczas wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się wreszcie do tego, że wszystkie liczby, które nie są pierwsze zostaną wykreślone, pozostaną tylko liczby pierwsze nie większe od n. Ta metoda zwana jest sitem Eratostenesa. Znacznie dzisiaj udoskonalona pozwala wyłuskać wszystkie liczby pierwsze początkowych kilkudziesięciu milionów liczb. Obecnie za pomocą super szybkich komputerów można znaleźć gigantyczne liczby pierwsze. W Internecie odbywa się "Wielkie Internetowe Poszukiwanie Liczb Pierwszych Mersenne'a" (GIMPS).

· Liczba pierwsza (odkryta 1 czerwca 1999 roku) ma ponad 2 mln cyfr, dokładnie Jest ona 38 z kolei tzw. liczbą Mersenne'a. · Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 43 liczba Mersenne'a: i liczy sobie cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 15 grudnia 2005 roku przez Curtisa Coopera i Stevena Boone'a - uczestników projektu GIMPS. Największa liczba pierwsza ( cyfr), która nie jest liczbą Mersenne'a: × Liczba ta jest jednocześnie piątą największą znaną liczbą pierwszą. Została odkryta w ramach projektu Seventeen or Bust. Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera: ( ) / 17 znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora. Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, , , Liczba złożona z 23 jedynek jest pierwsza W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, i · Liczba zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest pierwsza. · Liczba nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: , , 73939, 7393, 739, 73, 7.

liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ: 6 = Następną jest 28 ( 28 = ), a kolejne to 496, 8128, , i

Liczby doskona ł e to bardzo ciekawe liczby, znane ju ż w staro ż ytno ś ci. Z definicji liczba n jest liczb ą doskona łą, gdy jest równa sumie wszystkich swoich dzielników, mniejszych od n. Nie wiadomo, czy istnieje niesko ń czenie wiele liczb doskona ł ych, podobnie, jak nie wiadomo, czy istnieje cho ć jedna liczba doskona ł a nieparzysta. W 1932 roku dowiedziono, ż e liczba nieparzysta doskona ł a - oczywi ś cie, je ś li istnieje - musi mie ć przynajmniej cztery ró ż ne dzielniki pierwsze, a obecnie wiadomo ju ż, ż e musi ich by ć najmniej osiem.

W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą. Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2 p -1)·2 p-1, gdzie 2 p - 1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest ·( ) – liczy ona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci, gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od (wynik z roku 1991). Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

Liczbami bli ź niaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze ró ż ni ą ce si ę o 2. Liczbami bli ź niaczymi s ą wi ę c Np. nast ę puj ą ce pary liczb: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43),... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje niesko ń czenie wiele par liczb bli ź niaczych. Ju ż w 1919 roku Norweg Brun wykazał, ż e szereg odwrotno ś ci bli ź niaczych liczb pierwszych, jest zbie ż ny. Zbie ż no ść ta mo ż e by ć spowodowana przez to, ż e liczb bli ź niaczych jest tylko sko ń czenie wiele a je ś li tak nie jest - to znaczy przynajmniej, ż e s ą one "rzadko poło ż one".

Do dzisiaj nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jak sugeruje hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych. Największe znane dziś liczby bliźniacze to · ± 1; W 1919 norweski matematyk Viggo Brun udowodnił, że szereg odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżny Może być to spowodowane tym, że liczb bliźniaczych jest skończenie wiele – jeśli tak nie jest, znaczyłoby to, że są "rzadko" rozłożone w zbiorze liczb naturalnych. Łatwo zauważyć, że liczby pierwsze (oprócz 2 i 5) kończą się na 1,3,7,9. Wiedząc, że wśród liczb mniejszych od 10 9 (1 miliarda) jest około 5% liczb pierwszych (czyli około 50 milionów) można wywnioskować, że średnio co ósma liczba kończąca sie na 1, 3, 7, 9 jest pierwsza.

Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi jeżeli suma wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie A. Takimi liczbami "przyjaciółkami" są liczby jak wykazał Pitagoras: 220 i 284. Istotnie, 220= , a więc liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284, a 284= , a więc liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220.

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Znanych jest około miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie wiele. Poniższa tabela podaje 11 przykładów par liczb zaprzyjaźnionych AB

Ciekawostka Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już takich par aż !

sito Eratostenesa- - metoda znajdowania kolejnych liczb pierwszych, mniejszych od zadanej liczby naturalnej n.Polega ona na tym, że wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n. Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla wszystkie jej wielokrotności, ponieważ nie są już one liczbami pierwszymi. Z pozostałych niewykreślonych liczb, najmniejszą jest 3. Postępujemy z liczbą 3 podobnie jak z liczbą 2. Następnie, ta sama operacja dotyczyć będzie liczby 5, itd. Po zakończeni tego procesu, wszystkie liczby złożone zostaną wykreślone; pozostaną tylko liczby pierwsze. Liczby pierwsze można wyszukiwać poprzez eliminację ze zbioru liczbowego wszystkich wielokrotności wcześniejszych liczb. Przykład Mamy następujący zbiór liczb naturalnych: { }

W zbiorze pozostały liczby nieparzyste - z wyjątkiem pierwszej liczby 2. Liczby podzielne przez dwa zostały wyeliminowane. Teraz eliminujemy wielokrotności kolejnej liczby 3. Otrzymamy następujący zbiór: { } Teraz w zbiorze pozostały liczby niepodzielne przez 2 i 3 - z wyjątkiem pierwszych 2 i 3. Zwróć uwagę, iż kolejna liczba 4 została już ze zbioru wyeliminowana. Skoro tak, to ze zbioru zniknęły również wszystkie wielokrotności liczby 4, ponieważ są one również wielokrotnościami liczby 2, a te wyeliminowaliśmy przecież na samym początku. Przechodzimy zatem do liczby 5 i eliminujemy jej wielokrotności otrzymując zbiór

Sito Eratostenesa Sito Eratostenesa eliminacji liczb złożonych ze zbioru zaznaczając je w określony sposób, a w drugim obiegu przegląda zbiór ponownie wyprowadzając na wyjście liczby, które nie zostały zaznaczone. Podstawowe znaczenie w tym algorytmie ma wybór odpowiedniej struktury danych do reprezentacji zbioru liczb. Na tym polu można dokonywać różnych optymalizacji. W pierwszym podejściu zastosujemy tablicę wartości logicznych S[ ]. Element S[i] będzie odpowiadał liczbie o wartości i. Zawartość S[i] będzie z kolei informowała o tym, czy liczba i pozostała w zbiorze (S[i] = true) lub została usunięta (S[i] = false).

Wejście - liczba określająca górny kraniec przedziału poszukiwania liczb pierwszych, n N, n >n1 Wyjście: Kolejne liczby pierwsze w przedziale od 2 do n. Zmienne pomocnicze S[ ] - tablica wartości logicznych. S[i] {false,true}, dla i = 2,3,...,n. - zawiera granicę wyznaczania wielokrotności. g Ng - przebiega przez kolejne indeksy elementów S[i]. i Ni - wielokrotności wyrzucane ze zbioru S[ ], w Nw Algorytm sita Eratostenesa

Program Najwiekszy_wspolny_dzielnik; uses crt; var a,b,nwd,r:integer; begin clrScr; a:=1710; b:=1957; repeat writeLn(a,' = ',a div b,'*',b,' + ',a modb); r:=a mod b; a:=b; b:=r; until r=0; writeLn('Nwd = ',a); readLn; end.

program prg; Type Tbarray = array of boolean; var i,k,p,q,n,m : longword; S Begin readln(n); if n and 1 = 1 then inc(n); M:= n shr 1; setlength(S,m+1); for i := 1 to m - 1 do S[i] := true; i := 1; p := 3; q := 4; Repeat if S[i] then Begin k := q; while k < m do Begin S[k] := false; inc(k,p); end; inc(i); inc(p,2); inc(q,(p shl 1) - 2); until q >= m; write(2,' '); for i := 1 to m - 1 do if S[i] then : Tbarray; write((i1,' '); writeln; end.

program Liczba_pierwsza; uses crt; var liczba,n:longint; begin clrScr; liczba:= ; for n:=2 to round(sqrt(liczba)) do if liczba mod n=0 then begin writeLn(liczba,'-liczba zlozona'); readLn; exit; end; textColor(lightRed); writeLn(liczba,'-liczba pierwsza'); readLn; end.

program prg; type Tbarray = array of boolean; Var c,k,t,q,m,n,i,j,ij : longword; S : Tbarray; Begin readln(n); m := n div 3; if (m and 1) = 0 then inc(m); setlength(S,m+1); c := 0; k := 1; t := 2; if(!(m & 1)) q := round(sqrt(n)) div 3; m++; for i := 1 to m do S[i] := true; for i := 1 to q do Begin k:= 3 - k; inc(c,(k shl 2) * i); j:= c; ij := (i shl 1) * (3 -k) + 1; inc(t,k shl 2); while j <= m do Begin S[j] := false; inc(j,ij); end; write(2,' ',3,' '); for i := 1 to m do if S[i] then Begin if (i and 1) = 1 then write(3 * i + 2) Else write(3 * i + 1); write(' '); end; writeln; end.

program prg; type Tbarray = array ofboolean; var i,n,w :longword; S:Tbarray; begin readln(n); setlength(S,n+1); for i := 2 to n do S[i] :=true; for i := 2 toround(sqrt(n)) do if S[i] then begin w := i *i; while w <=n do begin S[w] :=false; inc(w,i); end; End; for i := 2 to n do if S[i] thenwrite(i,' '); writeln; end.