mgr Anna Walczyszewska KOMBINATORYKA mgr Anna Walczyszewska

Kombinatoryka PERMUTACJE WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Wyjście Kombinatoryką nazywamy dział matematyki zajmujący się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. PERMUTACJE WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI WARIACJE BEZ POWTORZEŃ KOMBINACJE ZADANIA PROGRAM – ELEMENTY KOMBINATORYKI

(a, b, c) (a, c, b) (c, b, a) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) ZADANIA Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru Liczba wszystkich różnych permutacji zbioru n-elementowego jest równa: Przykład permutacji zbioru trzy-elementowego Przykład permutacji zbioru trzy-elementowego B={a, b, c} (a, b, c) (a, c, b) (c, b, a) A= (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b)

(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c) ZADANIA Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są elementy danego zbioru Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa: Przykłady dwu-wyrazowej wariacji z powtórzeniami zbioru trzy-elementowego A= B={a, b, c} k = 2 , n = 3 (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)

(a, b) (a, c) (b, a) (b, c) (c, a) (c, b) ZADANIA Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg o nie powtarzających się wyrazach, którego wyrazami są elementy danego zbioru. Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa: Przykłady dwu-wyrazowej wariacji bez powtórzeń zbioru trzy-elementowego A= B={a, b, c} k = 2 , n = 3 (a, b) (a, c) (b, a) (b, c) (c, a) (c, b)

ZADANIA Kombinacją k-elementową zbioru n – elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru. Liczba wszystkich różnych kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego jest równa: Przykłady dwu-elementowej kombinacji zbioru trzy- elementowego A= B={a, b, c} k = 2 , n = 3 {a, b} {a, c} {b, c}

PRZYKŁADOWE ZADANIA PERMUTACJE Zad.1 Na ile sposobów można posadzić 7 osób na 7 miejscach? Zad.2 Ile liczb róznocyfrowych większych od czterech tysięcy można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4? Skoro mają to być liczby większe od 4000 to na pierwszym miejscu musi wystąpić cyfra 4. Pozostałe trzy cyfry należy rozłożyć na kolejnych trzech miejscach. POWRÓT

PRZYKŁADOWE ZADANIA WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Zad.1 Rzucamy sześciokrotnie moneta. Ile jest możliwych wyników? n = 2 ponieważ mamy do wyboru dwie możliwości orła albo reszkę k = 6 ponieważ rzucamy moneta 6 razy Zad.2 Pamiętam pierwsze trzy cyfry siedmiocyfrowego numeru telefonu znajomego, zapomniałem pozostałe. Pamiętam jednak, że nie było wśród nich zera ani piątki. Ile jest możliwych numerów telefonicznych spełniający taki warunek n = 8 ponieważ tyle cyfr pozostało poza zerem i piątką k = 4 ponieważ tyle zostało miejsc w 7-cyfrowym numerze telefonu POWRÓT

WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ PRZYKŁADOWE ZADANIA WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Zad.2 Dziesięć samochodów wjechało na parking, na którym było 15 wolnych miejsc. Na ile sposobów można zaparkować te samochody? n = 15 ponieważ tyle jest wolnych miejsc na parkingu k = 10 ponieważ tyle jest samochodów Zad.1 Ile można wykonać trójkolorowych chorągiewek z sześciu kolorów. n = 6 ponieważ tyle mamy kolorów k = 3 ponieważ tworzymy chorągiewki z trzech kolorów POWRÓT

PRZYKŁADOWE ZADANIA KOMBINACJE Zad.1 Spotkało się 20 przyjaciół i każdy z każdym wymienił uścisk dłoni. Ile było takich uścisków? n = 20 ponieważ tyle jest graczy k = 2 ponieważ do uścisku dłoni potrzebne są dwie osoby Zad.2 Na okręgu wybrano sześć punktów. Ile czworokątów wyznaczają te punkty? n = 6 ponieważ tyle mamy wybrać punków k = 4 ponieważ tworzymy czworokąty POWRÓT

ZADANIA Następne W turnieju szachowym brało udział 12 zawodników. Każda partia szachów była rozgrywana nie więcej niż 10 min. Ile godzin potrzeba na cały turniej skoro rozgrywano go w systemie każdy z każdym ROZWIAZANIE Ilu zawodników brało udział w turnieju szachowym, w którym rozegrano 84 partie, jeśli dwaj zawodnicy wycofali się po rozegraniu 3 partii, a pozostali grali do końca. ROZWIAZANIE

ROZWIĄZANIE n = 12 ponieważ tylu zawodników bierze udział w turnieju k = 2 ponieważ do rozegrania jednej partii potrzeba 2 zawodników W całym turnieju rozegrano 66 partii szachowych. Każda z nich trwała nie więcej niż 10 minut, więc cały turniej trwał 660 minut. Po przeliczeniu minut na godziny otrzymujemy odpowiedź: Na cały turniej szachowy potrzeba maksymalnie 11 godzin POWRÓT

ROZWIĄZANIE POWRÓT n- ilość graczy w turnieju n-2 – ilość graczy po rezygnacji dwóch 6 – ilość partii rozegranych przez dwóch zawodników, którzy się wycofali 84 – ilość partii rozegranych w całym turnieju POWRÓT Odp. W turnieju szachowym brało udział 15 graczy.

Strona główna ZADANIA Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których tylko pierwsza i ostatnia cyfra jest takie same ROZWIAZANIE Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których żadna cyfra się nie powtarza ROZWIAZANIE

ROZWIĄZANIE Wszystkich cyfr jest 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Ponieważ mają to być liczby czterocyfrowe więc na pierwszym i ostatnim miejscu nie może wystąpić cyfra zero. W takim razie na pierwszym i ostatnim miejscy może wystąpić jedna z pozostałych dziewięciu cyfr. Dwa środkowe miejsca należy wypełnić nie powtarzającymi się cyframi. POWRÓT Odp. Takich cyfr jest 648

ROZWIĄZANIE Wszystkich cyfr jest 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Skoro to maja być liczby czterocyfrowe to na pierwszym miejscu nie może wystąpić cyfra zero - liczba wszystkich czterowyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru 10 elementowego – wszystkie liczby czterocyfrowe razem z zerem na początku - liczba wszystkich trzywyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru 9 elementowego – wszystkie liczby czterocyfrowe z zerem na początku POWRÓT Odp. Takich cyfr jest 4536