Własności działań na zbiorach. między zbiorami. Relacje Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Mamy dany zbiór A = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ……. } Czy zapis zbioru A jest zgodny z naszymi dotychczasowymi ustaleniami, umowami ? Nie. Czy wymieniliśmy wszystkie elementy zbioru A ? Nie. Czy zbiór A, określiliśmy podając funkcję zdaniową, której ten zbiór jest zbiorem spełniania ? Nie. W tym momencie, prawie wszyscy pomyślą, o co mu chodzi, przecież wszyscy wiedzą, że tych liczb ( czy ja wiem jakich ?) jest nieskończenie wiele i nie da się ich wymienić. Odpowiem ( niektórzy powiedzą złośliwie ): po pierwsze, nie umawialiśmy się na temat zapisu, po drugie, wydawało mi się, że przestaliście wypisywać, bo bez sensu byłoby wymienianie np. nawet do tysiąca. Inaczej mówiąc, nie wiem, czy to wyliczanie ma się skończyć, czy nie. Umówmy się zatem, że zapis A = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ……. } oznacza zbiór liczb, które wiemy jak otrzymywać ( tu np. ciągle dodając 5 ) „ wymieniając ” w nieskończoność ( ? ), a zapis { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, … , 1000 } takie liczby od 5 , do tysiąca ( włącznie, w/g wcześniejszej umowy ).

Mamy dany zbiór A = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ……. } i funkcje zdaniowe : zbiór naturalnych wielokrotności liczby 5, zbiór naturalnych, których cyfra jedności jest równa 0 lub 5. zbiór naturalnych podzielnych przez 5. Wyznaczmy zbiory spełniania tych funkcji zdaniowych. Najprawdopodobniej, wszyscy natychmiast odpowiedzą, zbiorami spełniania jest ten sam zbiór A. Niektórzy przewidują moja reakcje na taką odpowiedź. Ucząc matematyki, choć jestem stary, jestem jak pięciolatek, który ku utrapieniu uczniów i nauczycieli ciągle pyta, dlaczego ? Skąd mam wiedzieć, kiedy dwa zbiory są równe. równa się 1, Pytanie, czy to pestka, wobec pytania o równość zbiorów. Choć mam nadzieję ( chyba zbyt często to powtarzam ), że Ci, którzy z uwagą śledzili moją poprzednia prezentację i @ Geometria, nauka dedukcyjna. @, mają gotową odpowiedź. Pojęcie równości zbiorów uznamy za aksjomat teorii zbiorów.

Wydaje się, że znaleźliśmy proste rozwiązanie problemu. Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy. Ten aksjomat został sformułowany przez E. Zermelo w 1908 r. Jak wykazać, że zbiory spełniania funkcji zdaniowych : zbiór naturalnych wielokrotności liczby 5, jest równa 0 lub 5. zbiór naturalnych podzielnych przez 5. są równe ? Nadal nie wiemy. Aksjomat nic nie pomógł. Gdyby te zbiory miały skończoną ilość elementów, to dałoby się pojedynczo sprawdzać należenie do zbioru, ale jest ich niekończenie wiele ( a my jesteśmy śmiertelni ). Trzeba ten problem jakoś rozwiązać. Powrócimy do niego za chwilę. Rozpatrzmy dwa zbiory : A : zbiór uczniów Twojej szkoły, B : zbiór uczniów Twojej klasy.

B A B A A : zbiór uczniów Twojej szkoły, B : zbiór uczniów Twojej klasy. Co ciekawego powiemy o tych zbiorach ? Aby snuć rozważania o własnościach odnoszących się do dowolnych zbiorów, przedstawmy te zbiory graficznie. Czy ta ilustracja odzwierciedla A B dane o zbiorach ? Najprawdopodobniej wszyscy odpowiedzą, że nie. Ja odpowiem, ten rysunek może się przydać, ale o tym za chwilę. Oczywiście, warto te zbiory narysować tak Jak potocznie nazwiemy te zbiory B A ze względu na ich położenie ? Chyba nikt nie ma oporów, by określić, zbiór A zawiera się w zbiorze B. Aby tą zależność między zbiorami uznać w matematyce, musimy ją zdefiniować. Definicja jest krótka i węzłowata : zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B.

Po tak sformułowanej definicji Zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B. najczęściej pojawia się jej zapis symboliczny, który nie jest formalnym tłumaczeniem słów na symbole. Autorzy podręczników nie zauważają, że uczniowie i studenci maja prawo pytać, skąd się to wzięło ? Spróbujmy poznaną definicję zapisać symbolicznie. Wprawdzie definicja jest krótka i węzłowata, ale na ogół krótka wypowiedź, jest mało precyzyjna. Nawiasem mówiąc dopiero teraz zastanawiałem się, dlaczego węzłowata. Chyba dlatego, że w tej wypowiedzi jest węzeł, który trzeba rozwikłać. Gdzie węzeł, o co chodzi. Odwołajmy się do logiki i podstaw gramatyki. W powyższym określeniu nie widać ( nie słychać ) struktury logicznej wypowiedzi.

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B. W części wyjaśniającej pojęcie występują dwa zdania : „każdy element zbioru A ” , „należy do zbioru B”. Nie tylko na lekcji matematyki, ale także języka polskiego uczyliśmy się, że aby ze zdań prostych zbudować zdanie złożone, należy połączyć je spójnikiem. Po pierwsze w wypowiedzi spójnika nie widać ani nie słychać, po drugie, spójników w logice jest mniej niż w języku polskim i są dosyć dziwne, np. wtedy i tylko wtedy, jeżeli ……. to….. Zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru A. Jakim spójnikiem połączyć zdania zaznaczone kolorami ? Prawie zawsze pada propozycja połączyć spójnikiem „ i ”. Ale wtedy wszyscy przyznają, te zbiory są równe. Ponieważ spójnika lub nikt nie zaproponuje, więc metodą prób i błędów dojdziemy do wniosku, iż zdania te należy połączyć spójnikiem logicznym jeżeli …., to …..

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru A. Kolorowe części zdania mamy połączyć spójnikiem „ jeżeli … to ... ”. Czy to już koniec naszych kłopotów ? Niestety, nie. Gdzie wstawić te słowa ? Z logiki wiemy, że termin „ każdy ” to duży kwantyfikator, i jest istotne do jakiej części wypowiedzi odnosi się. Po analizie różnych propozycji dojdziemy chyba do wniosku, że kwantyfikator powinien odnosić się do całej części wyjaśniającej pojęcie zawierania zbioru. Po tych niebanalnych dywagacjach napiszmy nowa wersję definicji : Zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element jeżeli jest elementem zbioru A to należy do zbioru B. Ta wersja istotnie różni się od początkowej. Widać i słychać strukturę logiczną definicji i nie ma problemu z jej zapisem symbolicznym. zawiera się w

Fakt, że zbiór A zawiera się w zbiorze B zapisujemy zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B. a zbiór B nazywamy nadzbiorem zbioru A. Sądzę, że wszyscy potwierdzą, że opłacił się trud wnikliwego analizowania definicji, by bez problemu zapisać ją symbolicznie. Jeszcze uwaga o definicji, którą można zobaczyć na portalu internetowym Jeżeli każdy element          jest jednocześnie elementem B, to zbiór A nazywa się podzbiorem zbioru B. jest jak poprzednie krótka, lapidarna i poprawna. Jej zapis symboliczny jest prawie zapisem powyższego tekstu tyle, że taki zapis jest skrótowy i mało już stosowany, a natępny warunek błędny. W powyższej definicji pojawił się inny symbol zawierania Jak wiemy, jest to sprawa umowy autora, który najprawdopodobniej aby podkreślić zależność, że ( analogicznie do ).

A B A B A B Z definicji zawierania się zbioru w zbiorze wynika, że: zbiór pusty jest podzbiorem każdego innego zbioru, zbiór A jest podzbiorem samego siebie. Powróćmy do schematów zbiorów. A Cztery slajdy wcześniej, napisałem B ze ten rysunek może być ilustracją przypadku, gdy Jak tego dokonać ? W bardzo prosty sposób. Wystarczy wykorzystać symbol zbioru pustego. Tu nic nie ma, więc A Czy rysunek może może dotyczyć B przypadku, gdy są rozłączne ? Proszę bardzo. Czy rysunek może być ilustracja, że A B Przy okazji rozwiązaliśmy problem, zbadania kiedy dwa zbiory są równe. Oczywiście. Twierdzenie :

A B C Powyższe twierdzenie jest ważne, gdyż pozwala praktycznie wykazać równość zbiorów. Omówiliśmy dwie relacje ( zależności, stosunki ) między zbiorami : równości i zawierania ( zwany inkluzją ). Relacje równości zbiorów oraz zawierania się zbiorów mają własności : relacja jest zwrotna przechodnia Ta własność widoczna jest na schematach Powyższe własności relacji są analogiczne do własności relacji między liczbami. A B C Chodzi o równość liczb oraz nierówność ( jaką ? )

Odpowiednią relacją i zależność między liczbami do wydaje się być relacja ( podobieństwo znaków ) bo zachodzi Ale inkluzja ( zawierania się zbiorów ) ma własność zwaną antysymetrią A relacja takiej własności nie ma. Sądzę, że wszyscy zauważą, że relacja zwana czasem słabą mniejszością, spełnia taką zależność Znamy inkluzję zbiorów i jej odpowiednik między liczbami, słabą mniejszość, znamy dodawanie i mnożenie zbiorów, o dodawaniu i mnożeniu liczb nie wspominając. Czym zająć się teraz ? Idźmy krok dalej. Już w szkole podstawowej poznaliście związki między nierównościami a dodawaniem i mnożeniem liczb.

A B C A B Własności te zwane były prawami monotonii dodawania i mnożenia : Czy są analogiczne własności dla zbiorów ? Dla trzeciej własności na pewno nie, ale dla dwu pierwszych … Zobaczmy na schematach. Widać, ze zachodzą własności : A B C Widać również inne proste zależności : A B

A B A B D C I tu widzimy analogiczne własności do własności nierówności i działań na liczbach. Przejdźmy wreszcie do własności działań na zbiorach. Przypomnijmy definicje działań. Element należy do sumy zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy należy przynajmniej do jednego ze zbiorów.

□ □ □ □ Element należy do iloczynu zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy należy równocześnie do obu zbiorów. Jest oczywiste, ze pytając o własności działań na zbiorach zapytamy o przemienność, łączność dodawania i mnożenia i dalsze znane własności działań na liczbach. Dla dowolnych zbiorów zawartych w przestrzeni zachodzi : □ □ □ □ Czy jest element neutralny dla dodawania zbiorów ? Czy jest element neutralny dla mnożenia zbiorów ? Czy jest element przeciwny ? Powyższe własności są oczywiste, bo wynikają Czy jest element odwrotny ? Nie ma. z definicji działań na zbiorach. Nie ma.

Ale dla zbiorów zachodzą inne dziwne a nawet sprzeczne z własnościami działań na liczbach ( arytmetycznymi ). I dowody tych własności wynikają wprost z odpowiednich definicji. Już w klasie 2-giej szkoły podstawowej poznaliśmy własność, która mówiła o związku miedzy dodawaniem a mnożeniem. Było to prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Nasuwa się naturalne pytanie, czy taka własność zachodzi dla zbiorów. Podejrzewamy, że zachodzi ( dlaczego ? ). Uzasadnią Ci, którzy znają logikę, a dokładniej tautologię :

A A B B C C Jak to udowodnić ? Popatrzmy, jak dowodziły tą własność dzieci. A A B B C C Figura zakratkowana Zakreskujmy kolorowo kolejne zbiory są przystające Figura zakreskowana przynajmniej jednym kolorem Skoro wykazaliśmy prawo rozdzielności mnożenia zbiorów względem dodawania zbiorów trzeba i należy zapytać o rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia. Wykażmy to graficznie.

A A B B C C Figura zakreskowana przynajmniej jednym kolorem Zakreskujmy kolorowo kolejne zbiory Figura zakratkowana są przystające Powyższą równość, dla której nie ma analogicznej w arytmetyce udowodniliśmy wykorzystując graficzne przedstawienie zbiorów. W klasie matematycznej, a tym bardziej na poziomie studiów, należałoby dowieść formalnie. Pokażmy taki dowód. tautologia

Wykazaliśmy, że Czyli Udowodnij prawa algebry zbiorów : Oprócz dodawania, odejmowania i mnożenia zbiorów poznaliśmy jeszcze jedną operacje, dopełnienie zbioru. Warto postawić pytanie, czy jest jakiś związek między dopełnieniem sumy, iloczynu a dopełnieniami tych zbiorów.

Jaka jest zależność miedzy a Czy mamy jakieś podejrzenia ? Czemu są równe, Gratuluję tym, którzy maja odpowiedzi. Tym, którzy nie mają pomysłu, proponuję popatrzeć. Nakreślmy zbiory A , B , przestrzeń X i ich dopełnienia. Zmodyfikujmy rysowanie zbiorów, by wygodniej je określać. X X A B A B kiedy ? Zaznaczmy Odpowiedź jest natychmiastowa. Czy ta równość nie przypomina wam czegoś ? To prawo de Morgana dla alternatywy. Warunki nazywamy prawami de Morgana dla zbiorów.

Dla ustalonej przestrzeni X i dowolnego A zawartego w X Udowodnijmy równość Wykazaliśmy, że Stąd cbdu Dla ustalonej przestrzeni X i dowolnego A zawartego w X zachodzi kilka podstawowych własności : które wynikają wprost z definicji dopełnienia i własności działań na zbiorach.

Koniec prezentacji Zapraszam W tej prezentacji omówilismy dwie postawowe relacje miedzy zbiorami : równośc i inkluzję ( zawieranie się ) zbiorów. Uzasadnilismy podstawowe własności działan na zbiorach. O związkach między działaniami na zbiorach a operacjami na funkcjach zdaniowych będziemy rozważać w prezentacji : @ Działania na zbiorach a funkcje zdaniowe. @ a ćwiczenia w działaniach na podstawowych zbiorach spotykanymi w nauce szkolnej odrobimy w prezentacji : @ Ćwiczenia w działaniach na zbiorach. @ Zapraszam Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl tel. 14 690 87 61 Koniec prezentacji