funkcji. Granice dalszych szczególnych Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Przypomnijmy, że w pierwszej prezentacji o granicy funkcji zbadaliśmy ciągłość funkcji tożsamościowej i stałej Wykorzystując twierdzenie o sumie i iloczynie funkcji ciągłych dowiedliśmy, że funkcje potęgowe wielomiany i funkcje wymierne gdzie są wielomianami i są funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach. Zbadaliśmy granice i ciągłość niektórych podstawowych funkcji : wykładniczej , trygonometrycznych, i innych np. Dowodząc twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej i funkcji złóżonej, wykazaliśmy, że pozostałe podstawowe funkcje są ciągłe w swoich dziedzinach.

* ** Dla wprawy, ale krócej niż poprzednio, jeszcze raz zbadajmy granice funkcji wykładniczej Na początku wykażemy, że granica tej funkcji w punkcie 0 wynosi 1. Gdy równość jest prawdziwa. * Rozważmy przypadek Niech będzie ciągiem o własnościach Granicę znajdziemy korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach. Zatem Oznaczając przez mamy Czyli I stąd bo Ponieważ więc zgodnie i twierdzeniem o trzech funkcjach ** W przypadku dowód jest analogiczny. Ostatecznie

*** * * * Granice funkcji w dowolnym punkcie Obliczmy Korzystajmy z poprzedniej granicy Co tu można zrobić ? Stałą wyłączyć przed lim. Zatem Stąd funkcja jest ciągła w R. * * * Zbadajmy granice funkcji wykładniczej dla Wykażemy, że dla Jeśli to i ciąg dąży do ( dowód w prezentacji : @ Granice szczególnych ciągów. @ ) to cbdu. W konsekwencji cbdu.

* * * Ćwiczenie : Obliczmy Gdy to Zatem Ale istnieją granice jednostronne Warto naszkicować wykres tej funkcji ( dodatek dla dociekliwych ). * * * W prezentacji @ Ciągłość funkcji @ udowodniliśmy, że funkcja jest ciągła w każdym punkcie. Obliczmy granice tej funkcji dla Na podstawie wykresu funkcji podejrzewamy, że nie istnieje.

* * * nie istnieje. Jak tego dowieść ? Sposób poznaliśmy już na wstępie pierwszej prezentacji, w której zdefiniowaliśmy granicę funkcji w punkcie. Pierwsza funkcja była tak dobrana, że nas nie zainteresowała, gdyż dla ciągów argumentów zbieżnych do tej samej liczby odpowiadzjące im ciągi wartości funkcji miały różne granice. I to jest pomysł. Spróbujmy znaleźć dwa ciągi argumentów zbieżne do nieskończoności dla których ciągi wartości mają różne granice. Mam nadzieję, że każdy kto zna wykres funkcji może podać już co najmniej kilka przykładów. Niech Wtedy Zatem podobnie * * *

* * * Rada : Wyznacz Ćwiczenie : Obliczmy Ciągłość funkcji w swoich dziedzinach wynika z twierdzeń o ciągłości funkcji złożonych i ilorazie funkcji ciągłych, bo Rada : Wyznacz * * * Ćwiczenie : Obliczmy Na początku zauważmy, że dla odpowiadający ciąg wartości funkcji jest zbieżny do zera. Czy Kto ma kłopot z odpowiedzią, zapomniał(a) definicję granicy funkcji w punkcie. A Ci, którzy uważnie śledzili poprzednie ćwiczenia, stwierdzą….

* * * stwierdzą, że Kto tego nie widzi, niech weźmie np. ciągi nie istnieje stwierdzą, że Kto tego nie widzi, niech weźmie np. ciągi i wyznaczy odpowiadające im granice ciągów wartości. oraz Warto naszkicować wykres tej funkcji ( dodatek dla dociekliwych ). * * * Z twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnych funkcje : jako funkcje odwrotne do są funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach. Granice funkcji widać z ich wykresów, zatem warto i trzeba znać ich wykresy.

Ćwiczenie : Znajdźmy Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że Więc mnożąc przez otrzymamy Korzystając z twierdzenia o granicy trzech funkcji gdy to otrzymaliśmy symbol nieoznaczony i granicę tą musimy obliczyć innymi sposobami. Zajmijmy się granicą funkcji w zerze. Granica odgrywa ważną rolę w analizie matematycznej. Wykażemy, że w pewnym sąsiedztwie zera zachodzi nierówność

* * * Dla mamy ( patrz rysunek ). C Dla mamy ( patrz rysunek ). B A O 1 Wzory na pola w b a ł R Z parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych wynika, że nierówność zachodzi również dla Na mocy twierdzenia o granicach trzech funkcji otrzymujemy * * * Powróćmy do granicy Analogicznie

Ćwiczenie : Obliczmy Do obliczeń tych granic wykorzystamy wzór który należy traktować ogólnie nie istnieje, ale…..

Ćwiczenie : Wyznaczmy Ponieważ udowodniliśmy, że podejrzewamy , iż Jak to udowodnić ? Mamy już doświadczenie, wykorzystamy twierdzenie o granicach trzech funkcji. Niech Wówczas Na podstawie twierdzeń arytmetyki Jeżeli to i skrajne wyrazy nierówności dążą do e. Stąd

Niech Czyli * * * Wykażmy, że * *

* * * * Granice funkcji tej postaci obliczać będziemy tak samo jak obliczaliśmy w prezentacji @ Granice szczególnych ciągów. @ granice ciągów podobnej postaci. * * * * Spośród masy wzorów na granice różnorodnych funkcji ważnych w analizie matematycznej poznajmy jeszcze jeden.

* Udowodnijmy zaskakującą granicę Niech Zatem obie strony logarytmujemy mnożymy stronami Ten wzór można uogólniić Zatem Obliczmy kilka granic na zastosowanie powyższego wzoru.

* * * * * * *

Na koniec naszych rozważań w tej prezentacji o ciągłości funkcji przypomnijmy najważniejsze definicje i twierdzenia. Funkcję nazywamy ciągłą w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje oraz Funkcję, która jest ciągła w każdym punkcie zbioru, nazywamy funkcją ciągłą w tym zbiorze. Udowodniliśmy, że jeżeli funkcję są ciągłe to suma, różnica, iloczyn, iloraz, funkcje odwrotne i złożenie tych funkcji jest funkcją ciągłą w odpowiedniej dziedzinie. Wykazaliśmy ciągłość podstawowych funkcji : wielomianowej, wymiernej, wykładniczej, logarytmicznej i ciągłość funkcji trygonometrycznych. Do obliczeń granic funkcji wykorzystywaliśmy udowodnione przez nas twierdzenia. Przypomnijmy niektóre.

Twierdzenie o granicach trzech funkcji, gdzie c - constans Twierdzenie o granicach trzech funkcji, takich, że dla każdego argumentu Udowodniliśmy granice szczególnych funkcji :

Dodatek dla dociekliwych. Poznaliśmy pierwsze dwa podstawowe pojęcia analizy matematycznej. Pojęcie granicy ciągu i granicy funkcji. W konsekwencji zdefiniowaliśmy funkcje ciągłe. Następna prezentacja to : @ Własności funkcji ciągłych. @ Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl Koniec prezentacji Na następnych slajdach, Dodatek dla dociekliwych.

. . . . W prezentacji obliczaliśmy granice szczególnych funkcji. Granice funkcji, tak jak inne własności funkcji łatwo odczytać z jej wykresu. Naszkicujmy wykresy funkcji, których granice badaliśmy. Nie bez przyczyny użyłem terminu „ naszkicujmy ”, gdyż udowodnić, że są tak rzeczywiście wyglądają wykresy tych funkcji, nie potrafimy, nie mamy odpowiednich narzędzi, odpowiedniej wiedzy, by to udowodnić. Naszym celem jest właśnie tą wiedzę zdobyć. Ale to jeszcze długa droga. Szkicując wykres funkcji wykorzystamy fakt, że funkcja jest ciągła i obliczone granice, . nie ma miejsc zerowych i wartości są dodatnie. . i kilka punktów, np. . . Połączmy „ elegancko ” znane punkty.

* Szkicując wykres funkcji wykorzystamy fakt, że funkcja jest ciągła w nieparzysta i znamy granice, nie istnieje Korzystając z własności funkcji łatwo znaleźć miejsca zerowe : Zaznaczmy powyższe punkty na układzie i wskażmy argumenty dla których wartości funkcji wynoszą 1 lub -1. Połączmy te punkty krzywą y . . . . . 1 . . . . . . . . x Czy potrafimy wyobrazić sobie coraz bardziej ściśniętą . . . . . . „harmonijkę”? -1

* . Szkicując wykres funkcji wykorzystamy fakt, że funkcja jest ciągła w parzysta i znamy granice, Korzystając z własności funkcji łatwo znaleźć miejsca zerowe : Zaznaczmy powyższe punkty na układzie, i wskażmy argumenty dla których wartości funkcji wynoszą x lub -x. Połączmy te punkty krzywą y 1 . . . . Czy potrafimy wyobrazić sobie . . . . . . . . . . . . . coraz bardziej ściśniętą x . „zmnieszającą się harmonijkę”? . . .

* * * * Jak zorientowaliśmy się, wykresy funkcji można opisywać, ale nie można ich nakreślić. Tym faktem nie zdziwieni są Ci, którzy znają i pamiętają prezentację : @ Figury niemierzalne. @ Warto pamiętać figury : kwadrat – sito, kwadrat z brodą, kwadrat z irokezem i wiele innych, których mimo znanej konstrukcji nie da się narysować. * * * * Szkicując wykres funkcji wykorzystamy fakt, że funkcja jest ciągła w parzysta i znając granice, dwóch ostatnich granic nie udowodniliśmy Korzystając z własności funkcji znamy miejsca zerowe : Obliczając przybliżone wartości funkcji (kalkulator) dla argumentów i wyznaczając odpowiednie punkty, otrzymamy,

* * * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . otrzymamy szkic wykresu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . x . . Przynajmniej z kreśleniem tej krzywej nie było problemu. * * * Tym którzy z sukcesem zamierzają studiować na kierunkach politechnicznych, proponuję obliczyć granice funkcji w podanych punktach :

Koniec dodatku dla dociekliwych. Wskazówka : w przypadku problemów w wyznaczaniu granic powyższych funkcji należy powrócić do przykładów podanych w tej prezentacji. W następnej prezentacji poznamy @ Własności funkcji ciągłej. @ Opr. WWWęgrzyn. i-lo. tarnów. Koniec dodatku dla dociekliwych.