Fraktale Michał Nowakowski Dariusz Cieślicki Wojciech Maciejewski

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu potocznym oznacza: Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od wymiaru topologicznego.

Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco Kształt podobny do kształtu całej figury

Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego Fraktal ukazuje detale w nieskończonym powiększeniu

Fraktale Sierpińskiego Trójkąt Sierpińskiego Dywan Sierpińskiego Rodzaje Fraktali Zbiór Cantora Fraktale Sierpińskiego Trójkąt Sierpińskiego Dywan Sierpińskiego Krzywa Kocha Zbiory Julii Zbiory Mandelbrota

Zbiór Cantora Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera. Zbiór Cantora został opracowany w 1883 roku, przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha. Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Zbiór Cantora – poszczególne iteracje

Fraktale Sierpińskiego Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora. Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie, jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich czasów.

Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego

Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego

Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach

Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego Struktura taka powstaje w następujący sposób: dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego wnętrze (część środkowego). To samo robimy z pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema kwadratami itd.

Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego

Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach

Krzywa Kocha Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha. Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora. Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.

Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania

Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu

Zbiory Julii Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru. Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach iteracji otrzymamy: krok 0: Zn krok 1: Zn 2 + C krok 2: (Zn 2 +C)2 + C krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C

Zbiory Julii Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki, dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.

Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i Jest to przykład zbioru nieograniczonego

Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i Jest to przykład zbioru ograniczonego

Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i Jest to przykład zbioru ograniczonego

Zbiór Mandelbrota Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej. Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko obiegły cały świat. Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.

Zbiór Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii

Wymiar Fraktalny Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka różnych definicji wymiaru: wymiar samopodobieństwa wymiar pudełkowy wymiar cyrklowy I wiele, wiele innych…

Wymiar Samopodobieństwa Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać: 𝐃= 𝐥𝐨𝐠 (𝐚 ) 𝐥𝐨𝐠 ( 𝟏 𝐬 ) Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których zbudowany jest obiekt. Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi mniejszymi częściami.

Wymiar Cyrklowy Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako: 𝑫=𝟏+𝒅 Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów, który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu dokładności pomiaru 1 𝑠 , gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta przedstawia się wzorem: 𝐥𝐨𝐠 𝒖 =𝒇( 𝐥𝐨𝐠( 𝟏 𝒔 ))

Wymiar Pudełkowy Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres określony zależnością:

IFS – System iterowania funkcji IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót, skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty fraktali. Jak to działa? Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia. Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów. Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.

IFS – Paproć Barnsleya

IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D

IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D

Zastosowanie Fraktali Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści) Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie lokalnego wymiaru fraktalnego Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego prototypu) Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy zapisu EKG.

Macie jakieś pytania?