Dane informacyjne Nazwa szkoły: II Liceum Ogólnokształcące im. ks. prof.J. Tischnera w Wałczu ID grupy: 97/49_MF_G1 Opiekun: Beata Łojewska Kompetencja: matematyczno – fizyczna Temat projektowy: Różne własności liczb pierwszych Semestr/rok szkolny: semestr IV 2011/2012

Spis treści Cele projektu. Liczby naturalne, podzielność w zbiorze. Liczby pierwsze. Historia poszukiwań wielkich liczb pierwszych. Projekt GIMPS. Liczby Mersenne’a. Największe znane liczby pierwsze. Liczby pierwsze w kryptografii. Inne szczególne liczby naturalne: Liczby doskonałe. Liczby doskonałe II rodzaju Liczby bliźniacze. Liczby zaprzyjaźnione. Liczby najbardziej złożone. Liczby trójkątne. Liczby kwadratowe. Liczby palindromiczne. Ciekawe liczby Liczba Szecherezady a cechy podzielności. Magiczna siódemka. Programy komputerowe załączone w prezentacji. . Literatura.

Określenie celów projektu *Celem projektu przedstawionego w tej prezentacji jest : pogłębienie znajomości własności liczb naturalnych zwłaszcza tych, związanych z podzielnością liczb naturalnych oraz z liczbami pierwszymi. *Przy realizacji projektu interesowało nas: kto, kiedy , w jakich okolicznościach i po co odkrywał coraz to nowsze własności liczb naturalnych, kto , jak i po co poszukuje coraz to większych liczb pierwszych.

Liczby naturalne, podzielność w zbiorze liczb naturalnych. Liczby naturalne to na pewno liczby: 1,2,3,4,5… To, czy zero jest liczbą naturalną czy nie, jest kwestią umowy. Matematycy nie przyjęli żadnej ogólnej, wspólnej konwencji dotyczącej przynależności zera do liczb naturalnych. Liczba naturalna m jest podzielna przez liczbę naturalną n ≠0 wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje taka liczba naturalna k, że m = k · n np: 3| 15 bo 15 = 3 · 5 3 | 11, bo nie istnieje liczba naturalna k taka, że 11 = k · 3

CO TO JEST LICZBA PIERWSZA? Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą.

LICZB PIERWSZYCH JEST NIESKOŃCZENIE WIELE! Dowód (nie wprost): Załóżmy, że liczb pierwszych jest skończenie wiele i oznaczmy je symbolami:p1,p2,…,pm. Wówczas liczba p1*p2*…*pm+1 nie jest pierwsza. Jest ona zatem liczbą złożoną i można ją przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, zgodnie z twierdzeniem1. Z drugiej strony nie dzieli się bez reszty przez żadną liczbę pierwszą p1,p2,…,pm. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie 1 Każdą liczbę naturalną n>1 można w jeden tylko sposób przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

LICZBA 1 : PIERWSZA CZY MOŻE ZŁOŻONA? 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną, gdyż ma tylko jeden dzielnik naturalny (liczbę 1) Czy 1 jest liczbą pierwszą? Oczywiście nie jest. Definicja liczby pierwszej mówi, że jest to liczba naturalna większa od 1, która dzieli się tylko przez 1 i przez siebie samą (a zatem ma dokładnie dwa dzielniki naturalne). Liczba 1 nie jest większą od 1 i ma tylko jeden dzielnik naturalny. Czy 1 jest liczbą złożoną? Oczywiście nie jest. Definicja liczby złożonej mówi, że jest to liczba naturalna, która jest iloczynem dwóch liczb naturalnych mniejszych od niej, albo liczba naturalna większa od 1, która nie jest pierwsza.

SITO ERATOSTENESA Eratostenes grecki matematyk, astronom, filozof, geograf i poeta, który na przełomie III i II w. p. n. e. wymyślił sposób wyznaczania liczb pierwszych zwany: SITEM ERATOSTENESA! Sposób ten polega na kolejnym wyznaczaniu wielokrotności kolejnych liczb, co przedstawia animacja zamieszczona obok. *W załączniku program komputerowy wypisujący kolejne początkowe liczby pierwsze

Liczby fermata Wielu filozofów , matematyków prze wieki próbowało odkryć sposób na wyznaczanie liczb pierwszych. Takiej próby podjął się w XVII wieku Pierre de Fermat. Uważał on, że liczby postaci są liczbami pierwszymi. Hipotezę tę obalono, gdyż dla n = 5 liczba taka dzieli się przez 641. Jak dotąd znanych jest pięć liczb Fermata które są pierwsze: 3, 5, 17, 257 i 65537.

Powszechne Poszukiwania ogromnych liczb pierwszych Matematycy i miłośnicy matematyki przez długie lata poszukiwali sposobów na generowanie liczb pierwszych. Gdy poszukiwania ogólnego wzoru na liczby pierwsze nie przynosiły oczekiwanego rezultatu, rozpoczęto poszukiwania coraz to większych liczb pierwszych. Działania te przerodziły się niemalże w zawody. Zarówno matematycy jak i zwykli amatorzy prześcigali się w odkrywaniu kolejnych liczb pierwszych Ponadto sprawdzenie czy pewna duża liczba naturalna jest pierwsza jest niebywale pracochłonne, nawet w dzisiejszych czasach – w erze komputerów. Choć istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, to jednak trudno jest znaleźć nowe, większe od dotychczas znanych, liczby pierwsze. Dzieje się tak, bowiem wśród coraz to większych liczb naturalnych liczby pierwsze pojawiają się coraz rzadziej. .

W jaki sposób znaleźć więc wielkie liczby pierwsze. Np W jaki sposób znaleźć więc wielkie liczby pierwsze? Np. używając niezwykle potężnych i piekielnie drogich superkomputerów Cray z serii T90, wyposażonych w potężny algorytm Lucasa-Lehmera. Patent na użycie Craya do wyszukiwania kolejnych liczb pierwszych ma przede wszystkim wchodząca w skład specjalnego zespołu Silicon Graphic`s Cray Research sławna para matematyków David Slowinski - Paul Gage. Ten program jest ważny nie tylko dlatego, że bije rekordy, ale i dlatego, iż jest on cennym narzędziem do testowania każdego nowego modelu superkomputera. Techniki, stosowane do przyspieszenia działania programu wyszukiwania liczb pierwszych, mają duże znaczenie dla rozwiązywania niezwykłej wagi problemów, w rodzaju obliczania pewnych prognoz pogody czy analizy danych, służących poszukiwaniu nowych złóż ropy.

Program gimps (Great Internet Mersenne Prime Search) Inny od użycia superkomputera sposób poszukiwania liczb pierwszych polega na zebraniu kilkudziesięciu czy kilkuset przyjaciół i wykonanie tej pracy zespołowo, przy podziale jej na mniejsze fragmenty. Dokładnie na tym polega projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)

Program gimps (Great Internet Mersenne Prime Search) czyli projekt obliczeń rozproszonych, w którym biorą udział ochotnicy poszukujący liczb pierwszych Mersenne‘ a. Założycielem i autorem oprogramowania jest George Woltman. W projekcie tym może wziąć udział każdy. Wystarczy w tym celu wejść na stronę http: / /www.mersenne.org i pobrać z niej odpowiednie oprogramowanie, które działa automatycznie w wolnym czasie komputera. Organizacja Electronic Frontier Foundation oferuje 150 000 dolarów za odkrycie liczby pierwszej zapisywanej przy pomocy 100 mln cyfr oraz 250 000 dolarów za odkrycie liczby pierwszej zapisywanej przy pomocy miliarda cyfr.

Są to liczby w postaci: M=2n – 1 LICZBY MERSENNE'A Są to liczby w postaci: M=2n – 1 Można je zdefiniować jako sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego: 20, 21, 22, 23, ... Przykłady: M(p) jest liczbą pierwszą dla p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 607 M(p) jest liczbą złożoną dla p = 11, gdyż 211−1 = 23·89. Nie wiadomo, czy liczb pierwszych Mersenne'a jest nieskończenie wiele.

LICZBY MERSENNE'A Nazwę zawdzięczają odkrywcy – francuskiemu mnichowi Martinowi Marsenne’owi, który chciał znaleźć wśród nich liczby pierwsze. Stwierdził, że 2n - 1 jest liczbą pierwszą dla n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Dopiero po upływie dwóch wieków odkryto błędy w stwierdzeniu Mersenne'a, pomylił się w przypadku liczb 67 i 257, a pominął liczby 61, 89 i 107, które podstawione w miejsce n dają liczby pierwsze.

Największa odkryta liczba pierwsza Największą odkrytą do tej pory ( 30.10.2011) liczbą pierwszą jest liczba Mersenne’a : liczba 243112609 − 1 składająca się z 12,978,189 cyfr! Odkrył ją 23 sierpnia 2008 roku Edson Smith z University of California Los Angeles (UCLA) Poszukiwania prowadził w sieci przy użyciu 75 uczelnianych komputerów w ramach projektu GIMPS. . Jest to zarazem największa znana liczba pierwsza. Jako ciekawostkę można dodać, że do zapisania tej liczby potrzeba około 7211 kartek formatu A4.

NAJWIĘKSZE ZNANE LICZBY PIERWSZE Największą liczbą pierwszą sprzed ery elektroniki jest liczba, która nosi nazwę odkrywcy - liczba Ferriera i wynosi: Jest to 44-cyfrowa liczba znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora w 1951r.

Największe znane liczby pierwsze

Liczby pierwsze w kryptografii Poszukiwanie wielkich liczb pierwszych, które kiedyś wydawało się tylko zabawą, dziś okazało się niezwykle pożyteczne. Obecnie liczby pierwsze odgrywają dużą rolę w kryptografii. W systemie szyfrującym RSA ( nazwanym tak od pierwszych liter nazwisk jego twórców) powstałym w 1978 r wykorzystuje się następujące fakty:· - po pierwsze łatwiej jest wymnożyć dwie, nawet bardzo duże liczby, niż daną liczbę przedstawić jako iloczyn dwóch innych liczb, - po drugie poziom trudności diametralnie wzrasta jeśli jest tylko jedna możliwość takiego rozkładu, czyli w przypadku gdy liczba jest iloczynem dwóch liczb pierwszych.

Liczby pierwsze w kryptografii Przez duże liczby pierwsze należy rozumieć liczby pierwsze mające ponad 100 cyfr w zapisie dziesiętnym. System RSA jest przykładem tzw. Systemu z kluczem publicznym , w którym wyróżnia się szyfr szyfrujący i szyfr rozszyfrowania. Systemy takie stosuje się m. in. do wprowadzenia podpisu elektronicznego.

Inne Szczególne liczby naturalne Liczby bliźniacze. Liczby zaprzyjaźnione. Liczby doskonałe. Liczby doskonałe II rodzaju. Liczby najbardziej złożone. Liczby trójkątne. Liczby kwadratowe. Liczby palindromiczne.

Liczby bliźniacze Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Największe znane dziś liczby bliźniacze to 16869987339975 · 2171960 ± 1; Do dzisiaj nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele. *W załączniku program komputerowy wypisujący kolejne początkowe pary liczb bliźniaczych

Liczby bliźniacze W 1919 norweski matematyk Viggo Brun udowodnił, że szereg odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżny ≈ 1.902160583104 Może być to spowodowane tym, że liczb bliźniaczych jest skończenie wiele. Jeśli tak nie jest, znaczyłoby to, że są "rzadko" rozłożone w zbiorze liczb naturalnych.

Liczby bliźniacze Łatwo zauważyć, że liczby pierwsze (oprócz 2 i 5) kończą się na 1,3,7,9. Wiedząc, że wśród liczb mniejszych od 109 (1 miliarda) jest około 5% liczb pierwszych (czyli około 50 milionów) można wywnioskować, że średnio co ósma liczba kończąca sie na 1, 3, 7, 9 jest pierwsza. Ostatnimi cyframi liczb bliźniaczych mogą być: 1 i 3 (na przykład 11 i 13), 7 i 9 (na przykład 17 i 19) 9 i 1 (na przykład 29 i 31).

Oto wszystkie pary liczb bliźniaczych mniejszych od 200:

LICZBY DOSKONAŁE Liczbą doskonałą nazywamy liczbę naturalną , która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, (6 = 1 + 2 + 3). Następną jest 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 = 14), a kolejne to 496, 8128,... *W załączniku program komputerowy wypisujący kolejne początkowe liczby doskonałe .

LICZBY DOSKONAŁE Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą , należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą. Leonard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2p-1)·2p-1, gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne,a.

Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest LICZBY DOSKONAŁE Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1) – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

Liczby doskonałe ii rodzaju Liczbą doskonałą II rodzaju nazywamy liczbę naturalną n>1 równą iloczynowi wszystkich jej dzielników, mniejszych od niej samej. Wszystkie sześciany liczb pierwszych oraz wszystkie iloczyny dwu różnych liczb pierwszych są jedynymi liczbami doskonałymi drugiego rodzaju. Przykłady takich liczb: 8, 27, 64,126 ,216, (bo 8 = 1*2*4) 15, 21,33 ,35 ,39 ,51, 55, (bo 15 = 1*3*5) Liczba 6 jest liczba doskonałą oraz liczba doskonałą II rodzaju, bo 6 = 1+2+3 oraz 6 = 1*2*3

Gdy zapytano Pitagorasa: Co to jest przyjaciel? - odpowiedział: Stąd prawdopodobnie pochodzi nazwa liczb zaprzyjaźnionych. -Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284.

Liczby zaprzyjaźnione Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników). Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa , jest para liczb 220 i 284, ponieważ: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284) 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220) Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości.

Jak rozpoznać liczby zaprzyjaźnione ? 1. Aby sprawdzić czy dwie liczby a i b są ze sobą zaprzyjaźnione znajdź najpierw wszystkie naturalne dzielniki liczby a. 2. Następnie znajdź wszystkie naturalne dzielniki liczby b. 3. Zsumuj wszystkie dzielniki liczby a. 4. Zsumuj wszystkie dzielniki liczby b. 5. Sprawdź czy suma dzielników liczby a równa się liczbie b. 6. Sprawdź czy suma dzielników liczby b równa się liczbie a. 7. Jeżeli suma dzielników liczby a równa się liczbie b i jednocześnie suma dzielników liczby b równa się liczbie a to liczby a i b są ze sobą zaprzyjaźnione Przykład: Liczby 284 i 220 są ze sobą zaprzyjaźnione. Dzielniki naturalne liczby 284 to 1, 2, 4, 71, 142. 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Dzielniki naturalne liczby 220 to 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Inne przykłady liczb zaprzyjaźnionych: 1184 i 1210, 2620 i 2924, 5020 i 5564, 6232 i 6368, 10744 i 10856.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE 220 284 1184 1210 2620 2924 5020 5564 6232 6368 10744 10856 12285 14595 17296 18416 63020 76084 66928 66992 Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Znanych jest około miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie wiele. Tabela podaje 10 przykładów  par liczb zaprzyjaźnionych Ciekawostka: Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już  takich par aż 2 122 263! 

Liczby zaprzyjaźnione Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurra'ę ok. roku 850. Niech: Jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi, to 2npq i 2nr są liczbami zaprzyjaźnionymi. Przy użyciu powyższej metody można odnaleźć np. parę (220, 284). Metoda ta sprawdza się dla n = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego n<20000. Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Euler, Kartezjusz.

Liczby najbardziej złożone Liczba najbardziej złożona to liczba, która ma więcej dzielników, niż każda liczba naturalna mniejsza od niej np. liczba 6 jest najbardziej złożona, gdyż ma cztery dzielniki {1,2,3,6}, a liczby naturalne mniejsze od niej mają mniej dzielników. liczba 12 jest najbardziej złożona, gdyż ma sześć dzielników {1,2,3,4,6,12}, a liczby naturalne mniejsze od niej mają mniej dzielników.

Liczby trójkątne Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

Poniższą mamy zależność między numerem liczby trójkątnej (wskaźnikiem, indeksem), a samą liczbą trójkątną Numer liczby: 1 2 3 4 5 6 7 8 Liczby trójkątne: 1 3 6 10 15 21 28 36 ...

Zależność  na n-tą liczbę trójkątną można więc wyrazić za pomocą wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba  trójkątna o n-tym numerze jest sumą n kolejnych liczb naturalnych.

Liczby kwadratowe Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

Poniższa mamy zależność między numerem liczby kwadratowej (wskaźnikiem, indeksem), a sama liczbą kwadratową: Numer liczby: 1 2 3 4 5 6 7 8 ... Liczby kwadratowe: 1 4 9 16 25 36 49 64...

Zależność tę wyraża wzór: ;gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc oczywiście kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego. Stąd też wynika twierdzenie, że suma kolejnych liczb nieparzystych równa się  kwadratowi ich liczby.

Liczby palindromiczne Na nagrobku Ferdynanda de Lesseps'a (1805-1894) francuskiego inżyniera, który kierował pracami przy budowie Kanału Sueskiego i Kanału Panamskiego, znajduje się epitafium następującej treści: A MAN A PLAN A CANAL PANAMA

Napis ten czytany od lewej ku prawej stronie lub od prawej do lewej strony brzmi identycznie. Taki napis to palindrom. Palindromami mogą być również liczby. Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: 7, 57775, 626, 1111111... Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był Sotades (III w p.n.e.) z Maronei, twórca poezji frywolnej na dworze Ptolemeusza. Palindromy powstały jako zabawa słowna, choć niektóre z palindromów miały być czymś w rodzaju szyfru, może zaklęcia. Współczesnie palindrom to przede wszystkim rozrywka umysłowa. Ciekawostką matematyczną jest, że każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

TAJEMNICZA LICZBA SZECHEREZADY A Cechy podzielności liczb naturalnych . Cechy podzielności liczb naturalnych przez 2,3,4,5,6,8,9,10 są powszechnie znane . My przedstawiamy tu cechy podzielności przez 7,11 oraz 13 i sprawdzamy, co mają one wspólnego z TAJEMNICZĄ LICZBĄ SZECHEREZADY! Szeherezada to bohaterka i narratorka Baśni z tysiąca i jednej nocy, zbioru opowieści wschodnich (arab., pers., ind.), ułożonego z dawnych baśni i legend ok. r. 1450. Zdradzony przez żonę sułtan Szachrijar postanawia zabijać jej następczynie zaraz po nocy poślubnej; jedna z nich, Szeherezada, odkładając stale zakończenie swych opowieści na następną noc, uzyskuje po 1001 nocy ułaskawienie;

Czyli liczba Szeherezady to liczba 1001, która występuje w tytule książki Baśnie z tysiąca i jednej nocy. Liczba ta ma kilka ciekawych własności: • jest najmniejszą liczbą czterocyfrową, którą można przedstawić w postaci sumy sześcianów dwóch liczb naturalnych 1001 = 103 + 13, • składa się z 77 feralnych trzynastek lub 91 jedenastek, albo z 143 siódemek (siódemka uważana była za liczbę magiczną), • jest podzielna przez 7, 11 i 13, dlatego wykorzystuje się ją do badania podzielności liczb przez 7, 11 i 13.

Sprawdźmy, czy liczba 946 988 875 jest podzielna przez liczbę 7 ( w ten sam sposób sprawdza się podzielność przez 11 oraz 13): 946 988 875 = 946 988 * 1000 + 875 = = 946 988 * 1000 + 946 988 – 946 988 + 875 = = 946 * 1001 – (946 988 – 875) Ponieważ 7 | 1001 więc różnica powyższa dzieli się przez 7 jeśli różnica z nawiasu dzieli się przez 7. Sprawdzamy: (946 988 – 875) = 946*1000 + 988 – 875 = = 946*1000 + 946 – 946 + 988 – 875 = = 946 * 1001 – (946 – 988 + 875)) czyli 7| 946 988 875 gdy 7 | 946 – 988 + 875

Magiczna siódemka W starożytności niektórym liczbom przypisywano moc magiczną. Ów mistycyzm liczbowy został zapoczątkowany przez Pitagorasa i jego uczniów. Za ich pośrednictwem rozpowszechnił się po całej Grecji i w szczątkowej postaci przetrwał aż do naszych czasów. Stąd na przykład mamy feralną trzynastkę. Jednak największą moc magiczną przypisywano w starożytności liczbie 7. Wiele faktów historycznych i kulturalnych, wiele dzieł rąk ludzkich powiązano z siódemką.

Oto niektóre z nich: Siedem cudów świata starożytnego. Siedmiu mędrców starożytności. Siedem kryształowych sfer. Siedem dni w tygodniu. Siedem tonów gamy. Siedem krów tłustych i siedem krów chudych. Siedem sztuk wyzwolonych: artes liberales. Za siedmioma górami, za siedmioma lasami... Siedem pięknych dziewcząt i siedmiu chłopców ateńskich składanych rok rocznie na pożarcie Minotaurowi, potworowi w postaci byka, pół człowieka, którego król Minos jego ojciec zamknął w labiryncie na wyspie Krecie, żeby nie mógł wydostać się stamtąd. W starej polszczyźnie siódemka otoczona była nimbem tajemniczości. Świadczy o tym chociażby "Kronika polska, litewska, żmudzka i wszystkiej Rusi", w której jest między innymi zapis: " ...Wziął Jagiełło księciu opolskiemu za 7 dni 7 zamków, ale pod zamkiem Bolesławem 7 lat leżeli Polacy, aż im się poddał...’’

załączniki Programy komputerowe - *.pas w kody źródłowe w języku pascal, - *.exe – programy do uruchomienia PIERWSZA.PAS PIERWSZA.EXE BLIZNIAK.PAS BLIZNIAK.EXE DOSKONAL.PAS DOSKONAL.EXE PIERWSZE.PAS PIERWSZE.EXE Doskonal – program wypisujący kolejne początkowe liczby doskonałe, Blizniak – program wypisujący pary kolejnych początkowych liczb bliźniaczych, Pierwsza – program sprawdzający, czy dana liczb jest liczbą pierwszą, Pierwsze – program wypisujący kolejne początkowe liczby pierwsze .

Załączniki – program doskonal.pas

Fragment wydruku wyników działania programu doskonal Fragment wydruku wyników działania programu doskonal .pas wypisując ego kolejne początkowe liczby doskonałe mniejsze od1000.

Załączniki – program pierwsza.pas

Fragment wydruku wyników działania programu pierwsza .pas

Załączniki – program pierwsze.pas

Fragment wydruku wyników działania programu pierwsze Fragment wydruku wyników działania programu pierwsze.pas – kolejne początkowe liczby pierwsze do 5000 .

Załącznik – program blizniak.pas

Fragment wydruku wyników działania programu blizniak Fragment wydruku wyników działania programu blizniak.pas – kolejne pary początkowych liczb bliźniaczych do 5000

Literatura : Przygotowując tę prezentację wykorzystaliśmy następujące źródła informacji: W. Sierpiński, Wstęp to teorii liczb, WSiP, Warszawa 1987 r. K.Kłaczkow, M. Kurczab, S.Świda „Matematyka, podręcznik do liceów i techników , klasa1”, Oficyna Edukacyjna K. Pazdro Sp.z o.o., Warszawa,2002r. E.Gurbiel, G. Hardt-Olejniczak, E. Kołczyk, H. Krupicka, M. Sysło „Informatyka, podręcznik dla liceum ogólnokształcącego”, WSiP, Warszawa 2002r. S. Kowal „Rozmaitości matematyczne”, WNT, Warszawa 1986r.

literatura Internet: http://www.ujk.edu.pl/org/rozmaitosci/images/pliki/liczby_pierwsze.pdf http://mersenne.org/ http://www.serwis-matematyczny.pl/static/st_liczby_dosk.php http://www.kopernik.katowice.pl/files/przedmioty/matematyka/liczby-pierwsze.pdf http://sciaga.nauka.pl/index.php/id=index/dept=54/cath=221/sc_id=2700/title=Liczby_pierwsze http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_pierwsze http://www.math.edu.pl/najwieksze-liczby-pierwsze http://szkola.wi.ps.pl http://www.serwis-matematyczny.pl/ http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Animacja_liczb_pierwszych.gif&filetimestamp=20100124194144

LITERATURA: http://www.math.edu.pl/liczby-zaprzyjaznione http://www.zaradni.pl/porada/6710,jak_rozpoznac_liczby_zaprzyjaznione http://www.serwis-matematyczny.pl/static/st_liczby_dosk.php http://liczbyliceum.cba.pl/?page_id=641 http://www.deszynski.pl/p8/Koczar/index.html

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ! Autorzy prezentacji: grupa mat – fiz przy II LO w Wałczu: Marta Gawlik Aleksandra Leszczyk Oliwia Czaban Szymon Bielecki Łukasz Chinczewski Adrian Kulczyk Michał Atraszkiewicz Dawid Heller Hubert Pasich oraz opiekun: Beata Łojewska