Dane informacyjne Nazwa szkoły: Zespół Szkół Usługowo-Gospodarczych w Pleszewie ID grupy: 97/18_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Matematyka w testach IQ Semestr/rok szkolny: Semestr II / 2010/2011

MATEMATYKA W TESTACH IQ

Ciąg arytmetyczny

Przykładowe zadania Zadanie 1 Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7, a suma szóstego i ósmego wyrazu wynosi 26. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu. Wyznacz wzór określający ciąg. Rozwiązanie

Zadanie 2 Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7. Rozwiązanie

Powrót

Powrót

ciąg geometryczny

Przykładowe zadania   Rozwiązanie Rozwiązanie

  Powrót

  Powrót

rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne - sposób przedstawiania liczb rzeczywistych w postaci ułamka dziesiętnego. Ułamek ten może być skończony (np. 1/2 = 0.5), nieskończony okresowy (1/3 = 0.333...) lub nieskończony nieokresowy (np. pi lub e). Ułamki nieskończone, nieokresowe występują w przypadku liczb niewymiernych. Szczególnym przypadkiem jest 0,(9) , gdyż jest równe 1. Przykład: Dana jest liczba u = 23,6170970970... Oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły: oblicz 100u = 2361,709709... – przesuń przecinek do początku okresu oblicz 100000u = 2361709,709709... – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu oblicz 100000u - 100u = 2361709,709709... - 2361,709709... = 2359348 = 99900u – części po przecinku zredukują się wzajemnie wylicz u = 2359348/99900 Aby uzyskać rozwinięcie dziesiętne liczby, należy przedstawić ją w postaci ułamka niewłaściwego a następnie wykonać zwykłe dzielenie.

Rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej albo jest skończone, albo zawiera okresowo powtarzający się ciąg cyfr, choć czasem jest to całkiem spory ciąg. Rozwinięcie dziesiętne skończone, to postać dziesiętna ułamka zwykłego, którego można rozszerzyć lub skrócić tak, aby jego mianownikiem była jedna z potęg liczby 10. Przykład: 25=4/10=0,4 38=375/1000=0,375 1325=52/100=0,52 Liczby wymierne dopuszczają dziesiętne rozwinięcie okresowe: podział licznika przez mianownik daje w wyniku takie same cyfry w identycznym porządku. Takie nieskończone rozwinięcie dziesiętne nazywamy rozwinięciem okresowym. Powtarzającą się cyklicznie grupę cyfr nazywamy okresem. W zapisie rozwinięcia okres wyróżniamy nawiasem: 13=0,3333... =0,(3) 911=0,8181... =0,(81) 715=0,466... =0,4(6)

Inaczej dzieje się w przypadku liczb niewymiernych Inaczej dzieje się w przypadku liczb niewymiernych. Żadna liczba niewymierna nie może zostać zapisana za pomocą dziesiętnego rozwinięcia okresowego. Ta niemożność wyraźnie ukazuje zasadniczą różnicę między liczbami wymiernymi a niewymiernymi. Liczbę można zapisać w postaci skończonego ułamka dziesiętnego wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą wymierną i w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze, występuje tylko liczba 2 lub 5.

Przykładowe zadanie Rozwinięcie dziesiętne nieskracalnego ułamka zwykłego jest ułamkiem dziesiętnym okresowym, który można zapisać w postaci 0,(xyz). Wiemy, że cyfra znajdująca się na 16 miejscu po przecinku tego rozwinięcia jest równa 2, cyfra znajdująca się na miejscu 23 jest równa 3, a cyfra znajdująca się na miejscu 18 jest równa 7. Licznik ułamka u jest więc równy A) 79 B) 273 C) 237 D) 244 Rozwiązanie

Rozwiązanie Wyznaczamy cyfry x, y, z. Ponieważ cyfry okresu powtarzają się co 3, na miejscu 16 po przecinku stoi ta sama cyfra co na miejscu 16-15=1, czyli x. Zatem x=2. Podobnie, na miejscach 23 i 18 stoją te same cyfry, co odpowiednio na miejscach 2 i 3. Zatem y=3 i z=7, czyli u=0,(237). Zamieńmy tę liczbę na ułamek zwykły. Ponieważ otrzymany ułamek jest nieskracalny, czyli szukany licznik to 79. Odpowiedź: A Powrót

Rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze

Każda liczba naturalna (n > 1) jest albo liczbą pierwszą albo iloczynem liczb pierwszych. Każdą liczbę zatem można jednoznacznie zapisać za pomocą iloczynu liczb pierwszych, a kolejność zapisu tych liczb nie ma znaczenia. Zasada Euklidesa mówi, że liczba pierwsza dzieli iloczyn liczb tylko wtedy, gdy dzieli przynajmniej jedną z nich. Wynika z niej, że liczba nie może mieć dwóch różnych rozkładów na iloczyn liczb pierwszych. Elementarnym sposobem rozkładu liczb na czynniki pierwsze jest kolejne dzielenie. Szukamy najmniejszej liczby pierwszej dzielącej daną liczbę i dzielimy. Powstały iloraz jest nową liczbą, dla której szukamy następną liczbę pierwszą ją dzielącą i powtarzamy tą czynność aż do uzyskania w ilorazie liczby 1. Otrzymujemy wówczas wszystkie dzielniki pierwsze szukanej liczby.

Dla dużych liczb metoda ta może nastręczać duże trudności z powodu długości potrzebnych rachunków, można więc wykorzystać maszynę do obliczeń, w tym celu należy napisać program, który w ułamku sekundy wymieni nam czynniki pierwsze danej liczby. 18 = 2x3x3 152 = 2x2x2x1 1000 = 2x2x2x5x5x5 9002 = 2x7x643

Algorytm rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Aby pisemnie rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze zapisujemy ją po lewej stronie pionowej kreski, a po prawej najmniejszy dzielnik, będący liczbą pierwszą. Wykonujemy dzielenie wynik zapisujemy po lewej stronie i czynność tę powtarzamy tak długo, aż w wyniku kolejnego dzielenia otrzymamy jeden. Iloczyn wszystkich czynników to rozkład na czynniki pierwsze 588=2x2x3x7x7 600=2x2x2x3x5x5

Przykładowe zadania Zadanie 1 Rozłóż na czynniki pierwsze liczbę 108. Rozwiązanie Zadanie 2 Zapisz liczbę 770 w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Rozwiązania Zadanie 1 Zastosuj wygodny zapis z kreską. Po prawej stronie kreski zapiszesz liczby pierwsze - szukane czynniki, po lewej wyniki z dzielenia przez liczby pierwsze. Powrót

Zadanie 2 Powrót

ZADANIA Z testów iq

Zadanie 1

Odpowiedź: Nie pasuje bila Sposób I Ostatnie dwie cyfry ciągu liczb to od 11 do 16. Sposób II Suma wszystkich cyfr w bilach wynosi 7 np.: 5+1+1=7, 2+1+4=7, 0+1+6=7 natomiast 1+1+9=11

Zadanie 2

Odpowiedź: 7 litera alfabetu od końca – p 3 litera alfabetu od końca – t 13 litera alfabetu od końca - j

Zadanie 3

Odpowiedź: W każdej kolumnie 3 mniejsze liczby sumują się aby otrzymać największą liczbę.

Zadanie 4

Odpowiedź: Za każdym razem pojawia się nowa linia skręcająca do środka. Spirala następnie zmienia kierunek z prawej strony na lewą.

Zadanie 5

Odpowiedź: Wszystkie pozostałe liczby mają swój anagram, to jest liczbę złożoną z tych samych cyfr.

Zadanie 6

Odpowiedź: W każdym układzie przesuwaj się w ruchu odwrotnym do ruchu wskazówek zegara zaczynając u góry i kończąc w środku kwadratu. Pierwszy układ zaczyna się od A i przeskakuje o jedną literę do przodu, drugi zaczyna się od B i przeskakuje o dwie litery, trzeci zaczyna się od C i przeskakuje o trzy litery, a czwarty zaczyna się od D i przeskakuje o cztery litery.

Zadanie 7

Odpowiedź: Liczby są godzinami bez interpunkcji za każdym razem zwiększają się o 25 min.: 1.25, 1.50, 2.15, 2.40, 3.05, 3.30, 3.55, 4.20.

Zadanie 8

Odpowiedź: Wszystkie pozostałe figury zawierają 2 razy więcej linii niż trójkątów.

Dokończ ciąg liter : W, Ś, C, P, S Zadanie 9 Dokończ ciąg liter : W, Ś, C, P, S

Odpowiedź N - litery oznaczają dni tygodnia zaczynając od wtorku a kończąc na niedzieli.

Zadanie 10 Jesteś detektywem, który ma do rozwiązania tajemnicza i straszliwa zagadkę… W połowie lata, w okresie pięknej i słonecznej pogody odnaleziono w odległości około dwustu mil od brzegu, nie zakotwiczony jacht, wokół którego unosiły się na wodzie ciała sześciu ludzi, którzy zmarli z powodu zatopienia. Zmarli mieli na sobie stroje do pływania, wiadomo, ze lubili pływać oraz (poza śladami wywołanymi śmiercią przez zatoniecie) ich ciała nie miały na sobie żadnych innych oznak. Dlaczego wszyscy zatonęli?

Odpowiedź Pływający zapomnieli opuścić drabinkę, po której mogliby się wspiąć z powrotem na jacht po zeskoczeniu do wody. Nie mieli na tyle sił, żeby dopłynąć dwieście mil do brzegu, zatem utonęli.

Jestem na początku koegzystencji, Na końcu znaku i ubytku Zadanie 11 Jestem na początku koegzystencji, Na końcu znaku i ubytku Jestem początkiem każdego końca Oraz końcem każdego zbytku. Kim jestem?

Odpowiedź Literą k

Zadanie12 Jaka liczba powinna znaleźć się na końcu poniższego ciągu? 143, 120, 99, 80, 63, 48, …

odpowiedź 35 Licząc od lewej liczby wyglądają następująco: 12 12-1, 11  11 -1, 10  10 -1, 9  9 -1, 8  8 -1, 7  7 -1, oraz 6  6 -1= 35

Zadanie13 Uzupełnij poniższy ciąg o dwie ostatnie liczby. Zauważ, że liczby w ciągu są ustawione według pewnej reguły. 8,5,3,8,1,9,0,9,9,8,7,5, 2,7,9,6,5,1,6,7,3,0,3,3, 6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1, 0,1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9, 4,3,7,0,7,7,4, …, …

Odpowiedź 1,5. Zaczynając od lewej górnej strony, dodawaj następujące po sobie liczby i opuszczaj każde 10, żeby otrzymać następną liczbę. W ten sposób, 8+5=13, opuść 1, żeby otrzymać 3, następnie Dadaj poprzednią liczbę do trzech. Zatem, 3+5=8; 8+3=11; 1+8=9; 9+1=10, opuść 1, 0+9=9; następnie 9+0=9; 9+9=18, opuść 1, 7+8… itd. Az do 7+7=14, opuść 1, 7+4=11, opuść1, 1+4=5  

Zadanie14 Co pojawia się dwa razy w każdym momencie, raz w każdej minucie ale nigdy w tysiącu lat?

Odpowiedź Litera m

Zadanie15 Jaka liczba powinna być następna w poniższym ciągu? 33, 36,42,44,48,56, …  

Odpowiedź 62. Dodaj ostatnia cyfrę z każdej liczby do tej liczby, aby otrzymać następny element ciągu. Zatem 56+6=62  

Zadanie16 Stojąc na rozdrożu, kogo lepiej spytać o drogę: nałogowego kłamcę, czy osobę, która kłamie okazjonalnie?

Odpowiedź Lepiej zapytać nałogowego kłamcę. W ten sposób wiadomo, ze cokolwiek odpowie będzie to kłamstwem i można będzie pójść w przeciwna stronę. U człowieka, który kłamie okazjonalnie, nigdy nie ma tej pewności.

Bibliografia www.zadania.info.pl John Bremner, Philip Carter, Ken Russell, 400 testów IQ, wyd.LIBER A.Cewe, H.Nahorska, I.Pancer Tablice matematyczne www.math.edu.pl http://www.google.pl/imghp?hl=pl&tab=wi