Biomechanika przepływów WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Podstawowa Koncepcja Mechaniki Ośrodków WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Rozważmy ciało B w danej chwili czasu t Wyodrębnijmy zamkniętą powierzchnię S wewnątrz obszaru ciała B. x2 ΔF Jakie jest oddziaływanie materiału części zewnętrznej na materiał ograniczony powierzchnią S? n ΔS S x1 Podstawowa Koncepcja Mechaniki Ośrodków Ciągłych B x3 Rozpatrzmy nieskończenie mały element na powierzchni S  ΔS. Można poprowadzić jednostkowy wektor n normalny do ΔS skierowany na zewnątrz powierzchni S. Zasada naprężeń Eulera i Cauchy`ego Możemy teraz rozróżnić dwie strony ΔS w stosunku do wektora n

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Rozpatrzymy materiał leżący po dodatniej stronie normalnej zewnętrznej. Materiał ten wywiera siłę ΔF na przyległą część leżącą po ujemnej stronie normalnej zewnętrznej. Siła ΔF jest punkcją pola elementu powierzchniowego ΔS oraz jego orientacji na powierzchni S. Założymy że gdy to oraz że moment sił działających na element powierzchniowy ΔS względem dowolnego punktu tego elementu znika Graniczny wektor możemy zapisać w postaci: wektor naprężenia wskaźnik n oznacza kierunek normalnej zewnętrznej przedstawia on siłę przypadająca na jednostkę powierzchni (N/m2) (Pa)

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Stwierdzenie, że na dowolnej, myślowo poprowadzonej powierzchni S wewnątrz danego kontinuum istnieje wektorowe pole naprężeń, którego działanie na materiał zawarty we wnętrzu S jest równoznaczne z oddziaływaniem przyległego materiału zewnętrznego stanowi zasadę naprężeń EULERA i CAUCHY`EGO Rozpatrzmy przypadek szczególny, gdy element ΔS jest równoległy do jednej z płaszczyzn współrzędnych. Normalna zewnętrzna jest skierowana w dodatnim kierunku osi xk oznacza wektor naprężenia którego trzy składowe są odpowiednio równe: ΔSk n płaszczyzna prostopadła kierunek osi xk

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA W tak zdefiniowanym przypadku szczególnym wprowadzić można nowy układ oznaczeń dla składowych stanu naprężenia: Składowe wektora naprężenia działające na elementarne pola k=1, k=2, k=3 można zapisać: 1 2 3 Pow. normalna do x1 Pow. normalna do x2 Pow. normalna do x3

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Notację dobrze uwidacznia rys: Składowe : x3 zwane są naprężeniami normalnymi podczas gdy pozostałe składowe zwane są naprężeniami stycznymi x2 Istnieje wielka rozbieżność oznaczeń stanu naprężenia. x1 Najbardziej rozpowszechniony dla prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych x,y,z: dla naprężeń normalnych

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Podstawowymi prawami mechaniki ciał wszelkiego rodzaju są równania Eulera, będące uogólnianiem praw ruchu Newtona dla punktów materialnych. Załóżmy że układ współrzędnych x1, x2, x3 jest inercyjnym układem odniesienia . Cześć przestrzeni wypełnioną ciałem materialnym w chwili t oznaczmy jako B(t). Jako r oznaczmy promień wiodący pewnej cząsteczki względem początku układu. V będzie wektorem prędkości cząsteczki. Można wyznaczyć dwa wektory : pęd ciała gęstość materiału kręt ciała

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Prawa Newtona zastosowane przez Eulera do ośrodka ciągłego stwierdzają, że: zmiana pędu w czasie jest równa wypadkowej sile F przyłożonej do ciała zmiana krętu w czasie jest równa wypadkowemu momentowi L Zakładamy że wypadkowa siła i wypadkowy moment są dane w danym układzie odniesienia

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Na ciała materialne będące przedmiotem rozważań w mechanice ośrodków ciągłych działają dwa rodzaje sił: (1) siły masowe, działające na każdy element rozważanej objętości. (2) siły powierzchniowe lub naprężenia działające na elementy powierzchniowe. Przykładem sił masowych są: siła grawitacji i siły elektromagnetyczne, przykładem sił powierzchniowych – ciśnienia aerodynamiczne i nacisk wywołany stykiem dwóch ciał W polu grawitacyjnym: Siła powierzchniowa działająca na myślową powierzchnię we wnętrzu ciała jest wektorem naprężenia rozumianym w sensie zasady naprężeń Eulera i Cauchy`ego.

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA A więc całkowita siła działająca na materiał wypełniający obszar B ograniczony zamkniętą powierzchnią S wynosi: Moment sił względem początku układu wynosi:

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Wzór Cauchy`ego Można wykazać , że zając składowe τij, można natychmiast wyznaczyć wektor naprężenia działający na dowolnej powierzchni o jednostkowej normalnej n, której składowe są odpowiednio równe n1, n2, n3 . Składowe wektora określa wzór Cauchy`ego: gdzie jest tensorem naprężenia

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Równania równowagi Podstawowe równania ruchu mogą być przekształcone w równania różniczkowe Rozważmy sobie stan równowagi statycznej nieskończenie małego prostopadłościanu o ściankach równoległych do płaszczyzn współrzędnych. siła na lewej ścianie pionowej: siła na prawej ścianie pionowej: Siła masowa: Wynika to z założenia ciągłości pola naprężeń !!!!!

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Warunek równowagi wymaga aby całkowita siła wypadkowa była równa 0. Dla kierunku x1 dzieląc obie strony równania przez dx1dx2dx3 otrzymamy: i dla reszty składowych:

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Cały układ równań daje się zapisać w sposób zwięzły w postaci: dla j = 1,2,3 i = 1,2,3 Drugim warunkiem równowagi jest zanikanie wypadkowego momentu względem dowolnego punktu. Jeśli nie istnieją momenty sił zewnętrznych proporcjonalne do objętości, to warunek równowagi prowadzi do ważnego wniosku, iż tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Przekształcenia współrzędnych Określiliśmy składowe stanu naprężenia τij w prostokątnym układzie współrzędnych x1, x2, x3 x3 x3` x3 x2 x1` x2 x2` x1 x1 Rozpatrzmy teraz drugi prostokątny układ współrzędnych x1`, x2`, x3` o tym samym początku ale inaczej zorientowany w przestrzeni. Jakie będą składowe stanu naprężenia w nowym układzie ?

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Niech nowe współrzędne zależą liniowo od starych przez związki: k = 1,2,3 cosinusy kierunkowe osi xk` względem osi xi Siła działająca na jednostkę pola powierzchni dS o normalnej n jest wektorem o składowych:

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Jeżeli n jest równoległa do osi xk`, tak że to: Składowa wektora w kierunku osi xm` jest równa iloczynowi przez βmi Stąd składowa stanu naprężenia transformuje się zgodnie z tensorowym prawem transformacyjnym : ( zapis w konwencji sumacyjnej)