Analiza wariancji jednoczynnikowa Dr hab. inż. Dariusz Piwczyński

Zastosowanie Porównanie większej niż 2 liczby grup (k>2) Zmienna zależna – skala przedziałowa Zmienna niezależna – skala nominalna lub porządkowa

Ronald Fisher (angielski biolog i genetyk) Istota teorii analizy wariancji opiera się na podziale zmienności głównej na pewne frakcje i na analizowaniu tych poszczególnych zmienności. Analiza zmienności została opracowana przez uczonego angielskiego, biologa i genetyka Ronalda A. Fishera.

Rodzaje zmienności zmienność ogólna zmienność międzygrupowa zmienność wewnątrzgrupowa b) zmienność międzygrupowa - występuje na skutek różnic powstałych między grupami doświadczalnymi, wywołana jest działaniem czynnika doświadczalnego na poszczególne grupy doświadczalne, wyraża się zróżnicowaniem średnich poszczególnych grup doświadczalnych w stosunku do ogólnej średniej c) zmienność wewnątrzgrupowa - istnieje między poszczególnymi zmiennymi wewnątrz każdej grupy, wywołana jest czynnikami osobniczymi czyli indywidualnymi cechami poszczególnych osobników, wyraża się zróżnicowaniem poszczególnych zmiennych wewnątrz każdej grupy w stosunku do średniej dla tej grupy

Zmienność ogólna wyraża się zróżnicowaniem poszczególnych wartości zmiennej w stosunku do ogólnej średniej (obliczonej dla całej zbiorowości).

Zmienność międzygrupowa występuje na skutek różnic powstałych między grupami doświadczalnymi, wywołana jest działaniem czynnika doświadczalnego na poszczególne grupy doświadczalne, wyraża się zróżnicowaniem średnich poszczególnych grup doświadczalnych w stosunku do ogólnej średniej.

Zmienność wewnątrzgrupowa istnieje między poszczególnymi zmiennymi wewnątrz każdej grupy, wywołana jest czynnikami osobniczymi czyli indywidualnymi cechami poszczególnych osobników, wyraża się zróżnicowaniem poszczególnych wartości zmiennej wewnątrz każdej grupy w stosunku do średniej dla tej grupy.

Założenia analizy wariancji: Niezależność zmiennych objaśniających (czynników) Homogeniczność wariancji (test Levene) Normalność rozkładu Niezależność zmiennych objaśniających (czynników). Homogeniczność wariancji (równość wariancji):

Normalność rozkładu Rozkład cechy w każdej z grup winien być normalny. W praktyce często badamy czy czynnik losowy, tj. eij posiada rozkład normalny. W celu sprawdzenia tego założenia, od każdego pomiaru odejmujemy średnią wartość grupy, z której ten pomiar pochodzi, a następnie badamy rozkład tychże różnic. Jeśli reszty nie mają rozkładu normalnego, to zaleca się transformacje zmiennych.

Reszty

Normalność rozkładu sprawdzamy za pomocą: testów Shapiro-Wilk oraz Kolmogorov-Smirnoff Ocena graficzna: histogram Teoretycznie, rozkład powinien być oceniany oddzielnie dla każdej porównywanej grupy. W praktyce rozkład jest oceniany dla całej objętej badaniami populacji. ANOVA js robust (reubast) [odporna) Robustness (robastnis) - odporność Theoretically (firotikly) This is especially true with very simple sizes in each group, which make it difficult to assess normality. TEH ASSUMPTIONOF NORMALITY CAN BE RELAXED WHEN THE SIMPLE SIZE IS LARGE ENOUGH! The residuals will be tested for normality rather than the data itself. Residuals are the differences between the observed and predicted values for each observation.

Homogeniczność wariancji (równość wariancji) Porównywane grupy nie powinny różnić się między sobą pod względem zmienności. Jeśli nie ma homogeniczności, to możliwe są logarytmiczne transformacje zmiennych lub też usunięcie grupy, która pod względem zmienności wyraźnie odstaje od pozostałych.

Homogeniczność wariancji wariancje odnoszące się do porównywanych grup powinny być takie same: Test Bartlett wykonujemy w odniesieniu do zmiennych o rozkładzie normalnym Test Brown i Forsythe Test Levene sigma^2_1 denotes the unknown variance of the i_th population. ANOVA is robust against unequal variances when sample size is equal!

Założenie dotyczące homogeniczności nie są spełnione! Transformacje zmiennej zależnej w celu zmiany rozkłady zmiennych i skorygowania nierównych wariancji. Test Welch (Analiza wariancji Welch) Nieparametryczna analiza wariancji (rozkład jest silnie skośny lub występują wartości skrajnie odbiegające od pozostałych) If assumptions of the analysis of variance are violated (vajlejt – naruszone) you can

Transformacje zmiennych Transformacje zmiennych z reguły wpływają jednocześnie na homogeniczność wariancji i rozkład! Oznacza to, że transformacje mające na celu poprawę „normalności rozkładu” mogą powodować problemy z homogenicznością wariancji i odwrotnie. Ln(Y)

Rozkład F Jeśli z populacji o rozkładzie normalnym wybieralibyśmy losowo po dwie próby i badalibyśmy wzajemne relacje ich wariancji (iloraz), to ten stosunek miałby rozkład zgodny z rozkładem F. Sytuację tę można wyobrazić sobie w następujący sposób. Jeśli z populacji o rozkładzie normalnym wybieralibyśmy losowo po dwie próby i badalibyśmy wzajemne relacje ich wariancji (iloraz), to ten stosunek miałby rozkład zgodny z rozkładem F.

Rozkład F stosunek kwadratów odchyleń międzygrupowych do wewnątrzgrupowych kształtuje się według określonego rozkładu (rozkład F) lub inaczej stosunek zmienności międzygrupowej do wewnątrzgrupowej kształtuje się według określonego rozkładu (rozkład F) Analizą wariancji posługujemy się przy badaniu istotności różnic między grupami doświadczalnymi. W tym celu wykorzystujemy wykryte przez Fishera prawo, że stosunek kwadratów odchyleń międzygrupowych do wewnątrzgrupowych kształtuje się według określonego rozkładu (rozkład F) i stąd możliwa jest ocena prawdopodobieństwa wystąpienia pewnych wartości F.

Rozkład F Jest to rozkład prawoskośny, tj. średnia arytmetyczna jest większa od mediany.

Hipoteza zerowa H0: Wszystkie średnie są równe, tzn. H0: 1= 2= 3= 4 = 5= 6...

Hipoteza zerowa – krety Zakładamy, że masa ciała samic gatunku kret jest taka sama we wszystkich porach roku

Hipoteza alternatywna H1: Istnieje co najmniej jedna para średnich, które różnią się ze sobą. H1: 12 lub 1  3 lub 2  3 itd.... H1: Istnieje co najmniej jedna para średnich, które różnią się ze sobą. H1: 12 lub 13 lub 23 itd....

Kolejność obliczeń

Liczba stopni swobody Ogólna: N  1 (N – liczebność populacji) Międzygrupowa: k – 1 (k – liczba grup doświadczalnych) Wewnątrzgrupowa: N – k

Sumy kwadratów odchyleń Zmienność ogólna Zmienność międzygrupowa Zmienność wewnątrzgrupowa: Sw = So - Sm

Średnie kwadraty odchyleń Zmienność międzygrupowa: Sm2 = Sm / (k – 1) Zmienność wewnątrzgrupowa: Sw2 = Sw / (N – k)

Statystyka F wartość krytyczna

Interpretacja Obliczoną wartość statystyki F (tzw. F empiryczne - Femp.) odnosimy do wartości krytycznej z rozkładu F dla założonego poziomu istotności () i określonej liczby stopni swobody (1=k-1 oraz 2=N-k) (F tabelaryczne - Ftab.). Jeżeli Femp.  Ftab. – to mamy podstawę do odrzucenie hipotezy zerowej i stwierdzenia, iż istnieje co najmniej jedna para średnich, które różnią się ze sobą. Zatem czynnik doświadczalny wpływa statystycznie na cechę. W przeciwnym przypadku, nie mamy podstaw do odrzucenia H0.

ANOVA za pomocą MS EXCEL Badamy wpływ pory roku, w której zostały odłowione zwierzęta na ich masę ciała! Czy masa ciała jest uzależniona od pory roku?

Obliczamy średnie w zakresie masy ciała – tabela przestawna

Wyniki, g

a co z rozkładem? (Analiza danych)

Przygotowanie danych Poukładać dane w kolumnach! Każda kolumna to inna pora roku!

Analiza wariancji

Wyniki analizy wariancji

I to samo w SAS EG

Wyniki Decyzję o odrzuceniu H0 podejmujemy na podstawie kolumny P r> F na wysokości nazwy czynnika, tj. PoraRoku. p jest mniejsze aniżeli 0,0001 (0,05) zatem mamy podstawę do odrzucenia H0!

Homogeniczność wariancji