Wstęp do Teorii Gier

Dzielenie ciastka

Handlowanie z sekwencyjnymi ofertami (alternating offers bargaining) Dwóch graczy, Adam i Bartek negocjują ile kto dostanie ciastka wielkości 1 W czasie 0, Adaś składa Bartkowi ofertę Jeśli Bartek zaakceptuje, Adaś dostanie , a Bartek Jeśli Bartek odrzuci, wtedy: W czasie 1, Bartek składa Adasiowi ofertę Jeśli Adaś zaakceptuje, Bartek otrzymuje , a Adaś Jeśli Adaś odrzuci, musi złożyć następną ofertę w czasie 2 Proces trwa dopóki któryś z nich nie zaakceptuje Ponieważ chłopcy są niecierpliwi, okresowe dyskonto wynosi

Stacjonarna równowaga bez opóźnień Bez opóźnień – wszystkie oferty równowagi są zaakceptowane Stacjonarne – Oferty równowagi nie zależą od czasu Niech będzie ofertami równowagi Co Bartek oczekuje dostać jeśli odrzuci ofertę Adasia? A zatem w równowadze: I podobnie dla Adama:

Niecierpliwość czy naturalne prawa natury?

Stacjonarna równowaga bez opóźnień Istnieje góra jedna równowaga stacjonarna bez opóźnień Trzeba jeszcze udowodnić, że w ogóle istnieje taka równowaga Rozważmy następujące strategie: Gracz A: Zawsze zaoferuj , zaakceptuj każdą jeśli Gracz B: Zawsze zaoferuj , zaakceptuj każdą jesli

Stacjonarna równowaga bez opóźnień Jednorazowe odstępstwo - one-shot deviation - od strategii s w podgrze jest strategią, która różni się od s tylko jedną akcją dla początkowego wierzchołka tej podgry Zasada jednorazowego odstępstwa – one-deviation property – profil strategii jest SPNE wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z graczy nie posiada zyskownego dla siebie jednorazowego odstępstwa w żadnej podgrze: Zasada ta zachodzi dla gier nieskończonych jeśli spełnione są pewne warunki Na szczęście te warunki spełnione są przez naszą grę

Stacjonarna równowaga bez opóźnień Udowodnimy, że poniższy profil strategii jest SPNE: Trzeba pokazać, że żaden gracz nie ma zyskownego jednorazowego odstępstwa w żadnej podgrze Podgry zaczynające się od oferty Adasia: Jeśli Adaś zaoferuje Bartek zaakceptuje Ale Adasia wypłata będzie niższa niż w równowadze Bartek odrzuci i zaoferuje Adaś zaakceptuje, ale jego wypłata będzie mniejsza

Stacjonarna równowaga bez opóźnień Podgry zaczynające się od Adasia odpowiadającego na oferty Bartka: Jeśli Adaś odrzuci ofertę On zaoferuje i jego wypłata będzie Jeśli Adaś zaakceptuje ofertę Wtedy też nie jest to opłacalne Podobnie strategia Bartka jest optymalna w każdej podgrze Zatem udowodniliśmy, że profil strategii jest SPNE

Stacjonarna równowaga bez opóźnień Ariel Rubinstein (1982) pokazał, że to jest jedyna równowaga doskonała w podgrach (SPNE) jeśli chłopcy są niecierpliwi (choćby minimalnie) Ta równowaga jest również efektywna Siła negocjacyjna (bargaining power) Kawałek dla Adasia Kawałek dla Bartka Kto bardziej cierpliwy, ten więcej dostanie A co jeśli są jednakowo cierpliwi? Korzyść pierwszego, ale ona znika dla

Prisoners’ dilemma – how to get cooperation? Pareto optimum Nash equilibrium A B (0, 0) (-2, 1) (1, -2) (-1, -1) Equivalent to: Where T>R>U>S and R≥(S+T)/2 R – reward, S – sucker, T – temptation, U - uncooperative Goal: get cooperation Cooperate Defect (R, R) (S, T) (T, S) (U, U)

Get cooperation in prisoners’ dilemma Three ways: Iterated game Meta-game Experiments

1 – Iterated game In most real situations, the game is played many times Suppose we play the game N times: Domino effect: solve by backward induction Two ways to overcome domino effects: Real players rarely conform to strict rationality We don’t know how many games we are gonna play Suppose, p is the probability of next iteration. We play the first game with probability 1, the next with probability p, the second next with probability p2, etc.

1 – Iterated game Grim trigger strategy (GTS): Play C in the first game If your opponent played C always before, play C If your opponnet ever deviated in the past, play D Suppose that my opponent plays GTS. If I play always C, I will get If I play first m times C and then D, I will get

1 – Iterated game So I should never play D, if for any m: Which is equivalent to: Example A B (0, 0) (-2, 1) (1, -2) (-1, -1)

2 – Meta-game 1 Level: Mrs Column makes her decision dependent on her expectation of what strategy will Mr Raw choose Choose A independent on her expectation about Mr Raw’s strategy Choose the same strategy as she expects Mr Raw to use Choose the opposite strategy to what she expects about Mr Raw’s strategy Choose B independent on her expectation about Mr Raw’s strategy Pani Kolumna A B Wiersz -2 1 -1 Pani Kolumna AA AB BA BB Wiersz A -2 1 B -1

2 – Meta-game A B (0, 0) (-2, 1) (1, -2) (-1, -1) Mr Raw Pani Kolumna AA AB BA BB Pan Wiersz AAAA -2 1 AAAB -1 AABA AABB ABAA ABAB ABBA ABBB BAAA BAAB BABA BABB BBAA BBAB BBBA BBBB A B (0, 0) (-2, 1) (1, -2) (-1, -1) 2 Level: Mr Raw decision dependent on his predictions about Mrs Column’s strategy: 16 strategies e.g. AAAA – always play A; ABAB – play B if your prediction is that Mrs Column uses strategy AB or BB, otherwise play A Mr Raw BABB – Cooperate if and only if you are convinced that your opponent will cooperate if and only if you will cooperate (this strategy weakly dominates all the others) Mrs Column AB – Cooperate if and only if you are convinced that your opponent will cooperate

3 Sposób – praktyka i Wet za wet Robert Axelrod przeprowadził eksperyment w 1984 roku: Specjaliści mieli napisać programy implementujące jakąś strategię – 14 programów Zwycięzca – Anatol Rapoport strategia Tit for Tat czyli wet za wet Axelrod opublikował wyniki i podał programy, które zwalczają Tit for Tat W drugiej rundzie udział wzięło 62 specjalistów .... i znowu wygrał Rapoport z niezmienionym programem

Wet za wet – Tit for tat Wet za wet: 4 właściwości dobrej strategii: W pierwszej partii zagraj NZ W każdej następnej zagraj to, co Twój przeciwnik zagrał poprzednim razem 4 właściwości dobrej strategii: Przyjazna – zaczyna od kooperacji i nie zdradza jako pierwsza Odwetowa – powinna zdecydowanie karać zdradę Przebaczająca – po ukaraniu powinna być skłonna do dalszej kooperacji Przejrzysta – jej decyzje spójne i łatwe do przewidzenia

Uproszczony poker Jaś i Małgosia pod nieobecność baby jagi grają w karty w domku na kurzej łapce: Oboje kładą 1 cukierka na stół Z talii złożonej tylko z asów i króli losują po jednej karcie Jasiu może podbić stawkę o 2 cukierki lub spasować Jeśli spasuje Małgosia zabiera cukierki ze stołu Jeśli podbije, wówczas Małgosia może sprawdzić lub spasować Jeśli spasuje, Jasiu zabiera całą stawkę Jeśli sprawdzi, wówczas porównują karty i wyższa wygrywa, w przypadku remisu dzielą stawkę po równo.

Równoważna postać strategiczna Jasiu podbija… 11 zawsze 12 tylko gdy ma asa 21 tylko gdy ma króla 22 nigdy Małgosia sprawdza… 11 zawsze 12 tylko gdy ma asa 21 tylko gdy ma króla 22 nigdy

Równoważna postać strategiczna Jasiu podbija… 11 zawsze 12 tylko gdy ma asa 21 tylko gdy ma króla 22 nigdy Małgosia sprawdza… 11 zawsze 12 tylko gdy ma asa 21 tylko gdy ma króla 22 nigdy Dwie równowagi Nasha, dwa punkty siodłowe