WYKŁAD 6 ATOM WODORU W MECHANICE KWANTOWEJ (równanie Schrődingera dla atomu wodoru, separacja zmiennych, stan podstawowy 1s, stany wzbudzone 2s i 2p, liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru, stany z wysokim n; zasada odpowiedniości Bohra)

RÓWNANIE SCHRŐDINGERA

RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie

RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie

RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie

RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie zależne od czasu równanie Schrődingera H – Hamiltonian Feynman, t. III, rozdz. 8, 16

RÓWNANIE SCHRŐDINGERA dla elektronu swob. funkcja falowa: operator energii Dla elektronu swob. Ponieważ dla fali: mamy: Prędkość grupowa fali jest klasyczną prędkością elektronu

RÓWNANIE SCHRŐDINGERA dla elektronu swob. funkcja falowa: Pokażemy, że jeśli przyjmiemy, że: gdzie: to:

widzimy, że operator pędu: Porównując: widzimy, że operator pędu: Dla pojedynczej cząstki w centralnym polu dojdzie energia potencjalna cząstki V(r):

Elektron w atomie H

Elektron w atomie H Fala bieżąca? NIE!!!

Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą… Elektron w atomie H Fala bieżąca? NIE!!! Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą…

Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą… Elektron w atomie H Fala bieżąca? NIE!!! Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą… Przyjmijmy zatem, że:

ponieważ lewa strona zależy od czasu a prawa od współrzędnych przestrzennych, zatem

ponieważ lewa strona zależy od czasu a prawa od współrzędnych przestrzennych, zatem spełnienie równości wymaga, by obie strony były równe tej samej stałej, np. E

Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)

Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych) niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać:

Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych) niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać:

Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych) niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać: Ponieważ: E będzie energią elektronu Przypomnienie; efekt fotoelektryczny:

gdzie cząstka 1 to proton, a cząstka 2 to elektron. Dla atomu wodoru: gdzie cząstka 1 to proton, a cząstka 2 to elektron. Ponieważ masa protonu jest znacznie większa od masy elektronu, m, to w układzie współrzędnych związanych z nieruchomym protonem mamy:

Prowadzi to do równania Schrődingera niezależnego od czasu: gdzie: Energia potencjalna elektronu w atomie H: Energia potencjalna elektronu w jonie H-podobnym:

przechodzimy do współrzędnych sferycznych: Ze względu na niewygodną postać energii potencjalnej elektronu we współrzędnych kartezjańskich: przechodzimy do współrzędnych sferycznych: r – promień wodzący, θ – kąt biegunowy, Φ – kąt azymutalny Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 mamy wówczas prostą postać energii potencjalnej:

od wszystkich współrzędnych sferycznych. Bardziej skomplikowany będzie człon związany z energią kinetyczną. Musimy uwzględnić zależność funkcji: od wszystkich współrzędnych sferycznych. Musimy przeliczyć pochodne, np. dla x – owej: Ponieważ:

Dla składowych y i z, przez analogię otrzymamy: Dla funkcji radialnej, , niezależnej od współrzędnych kątowych, otrzymamy: Dla składowych y i z, przez analogię otrzymamy:

A po dodaniu wszystkich trzech członów: Lub w innych równoważnych postaciach:

A równanie Schrődingera dla wodoru dla funkcji radialnej przyjmie postać: W przypadku najbardziej ogólnym, gdy funkcja ψ zależy od wszystkich współrzędnych sferycznych:

Jako próbne rozwiązanie wstawimy funkcję: Równanie to będzie spełnione tylko wtedy gdy:

Otrzymaliśmy wyrażenia na dwie nieznane stałe: promień Bohra i energia, tzw. Rydberg. Otrzymaliśmy taką samą energię jak w modelu Bohra dla n = 1 rozkład gęstości prawdopodobieństwa n = 1, l = 0; stan 1s Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

co oznacza, że radialny rozkład prawdopodobieństwa: Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w odległości pomiędzy r i r+dr od jądra dla stanu 1s wyniesie: co oznacza, że radialny rozkład prawdopodobieństwa: a maksimum tego rozkładu znajdziemy tak: podobnie jak w modelu Bohra, dla orbity n = 1

Funkcja falowa stanu podstawowego 1s dla wodoru i radialny rozkład gęstości prawdopodobieństwa

n – główna liczba kwantowa, 1, 2, 3, 4 … Rozkład gęstości prawdopodobieństwa dla stanu 2s liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru n – główna liczba kwantowa, 1, 2, 3, 4 … l – orbitalna liczba kwantowa, 1, 2, 3, … n-1 m – magnetyczna liczba kwantowa, -l, -l+1, …+l Dla stanów s l = 0 p l = 1 d l = 2 f l = 3 Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

Inne rozwiązanie próbne; funkcja z „węzłem” w płaszczyźnie xy: Wyliczamy pierwszą pochodną: i drugą pochodną:

Analogicznie dla drugiego wyrazu (po y): Ale trzeci człon będzie inny: i druga pochodna po z:

Zbierając razem trzy pochodne cząstkowe: Otrzymamy równanie Schrődingera w postaci: podobnej do równania dla stanu podstawowego.

Spróbujemy zatem podobnego rozwiązania: Po wstawieniu do równania Schrődingera otrzymamy następujące równanie: spełnienie którego wymaga by: oraz

Z drugiego warunku otrzymujemy: a energia w tym stanie wyniesie: Trzy rozwiązania: odpowiadają tej samej energii

a gęstości prawdopodobieństwa ich kombinacji liniowych: wyglądają jak na rysunku: n =2, l = 1 Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

Stan z wysokim n i l (n = 45, l = 44) Radialna gęstość prawdopodobieństwa dla atomu wodoru w stanie n = 45 i l = 44 Zasada odpowiedniości Bohra, obraz kwantowy przechodzi w klasyczny dla dużych liczb kwantowych Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003