ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS WYKŁAD 9 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ II

Z protonów i jeden elektron: Podstawiając funkcję postaci:

otrzymamy:

Wykorzystując inną postać laplasjanu: otrzymamy:

Rozpatrzymy najpierw przypadek ℓ = 0 (funkcja Yℓ,m stała, brak zależności od kątów, symetria kulistosymetryczna), co oznacza brak wyrazu z energią kinetyczną ruchu obrotowego:

Po podstawieniu: promień Bohra Rydberg otrzymamy:

Przyjmiemy, że: oraz: Ponieważ:

oraz: otrzymamy:

Możemy wykorzystać swobodę w wyborze α i przyjąć: wówczas otrzymamy: Szukamy rozwiązań w postaci szeregu:

Wyliczamy pierwszą i drugą pochodną: podstawiając otrzymamy: Przenumerowujemy pierwszą sumę (za k podstawiamy k+1):

Szereg taki będzie równy 0 dla każdej wartości ρ tylko wtedy, gdy: Skąd otrzymujemy rekurencyjny wzór na współczynniki ak: pozwalający wygenerować wszystkie współczynniki ak (musimy tylko nadać wartość współczynnikowi a1) a potem otrzymać funkcję g, f, i na końcu R.

Czy takie rozwiązanie jest fizycznie prawidłowe? Dla dużych ρ (czyli dla dużych k): czyli: i: a funkcja f: zmierza do nieskończoności dla dużych odległości elektronu od jądra; rozwiązanie niefizyczne

Sposobem na rozwiązanie problemu jest przyjęcie warunku, że: Mamy wówczas: Równe zeru będą także następne wyrazy i dostaniemy wielomian o skończonym rzędzie n, rosnący wolniej niż funkcja eksponencjalna. Mamy wówczas:

W konsekwencji: tzn. dopuszczone są tylko dyskretne wartości energii, tak jak w teorii Bohra. Wartości te odpowiadają kolejnym wartościom liczby n, która, tak jak w teorii Bohra, gra rolę głównej liczby kwantowej

Natomiast część radialna funkcji falowej wyrazi się: gdzie: oraz:

Kilka pierwszych funkcji radialnych dla ℓ = 0:

Wracamy do pełnego równania radialnego, dopuszczamy zatem ℓ różne od zera: Po wykonaniu podstawień, takich samych jak dla przypadku sferycznie symetrycznego:

Otrzymujemy, podobnie jak poprzednio równanie radialne (z dodatkowym wyrazem): Ten dodatkowy wyraz da dodatkowy wyraz w rozwinięciu potęgowym funkcji g(ρ):

Z wyrazu tego wydzielamy pierwszy wyraz i przenumerowujemy całą sumę: Ponieważ ℓ jest różne od zera, a1 musi być równe zeru.

Zerowanie innych wyrazów zajdzie wtedy gdy: co stanowi zmodyfikowany związek rekurencyjny na współczynniki rozwinięcia funkcji g(ρ). Tak jak poprzednio, szereg musi się urywać, co zajdzie dla k = n, gdy:

bo an+1 i następne wyrazy także muszą być równe 0. Ponieważ więc każdy kolejny wyraz będzie równy 0, włącznie z wyrazem k = ℓ. Pierwszym wyrazem, który może być różny od zera, będzie wyraz aℓ+1, ze względu na postać wzoru rekurencyjnego (obecność wyrazu ℓ(ℓ+1)). Zatem, żeby nie okazało się, że wszystkie wyrazy są równe zeru, musi zachodzić: ℓ bo an+1 i następne wyrazy także muszą być równe 0. Dla danego n, k biegną od ℓ+1 do n. Dozwolone wartości ℓ biegną od 0 do n – 1.

Dla małych ρ w funkcji R, równej: dominować będzie wyraz z A więc funkcje radialne R, dla większych wartości ℓ, będą znacząco różnić się od zera dalej od jądra. Przykłady funkcji radialnych R dla kilku wartości głównej (n) i pobocznej (ℓ) liczby kwantowej:

Radialna gęstość prawdopodobieństwa dla elektronów 3s, 3p i 3d w atomie H Choć średnio elektron 3s jest dalej od jądra, prawdopodobieństwo znalezienia go w obszarze bliskim jądra jest większe niż dla elektronu 3p i 3d

Schemat poziomów energetycznych atomu wodoru; diagram Grotriana Dla jonów wodoropodobnych zmiana skali E ze względu na Z Degeneracja ze względu na ℓ (degeneracja orbitalna)