WYKŁAD 7 ATOM W POLU MAGNETYCZNYM cz. 1 (moment magnetyczny; przypomnienie, magnetyczny moment dipolowy elektronu w atomie, wypadkowy moment magnetyczny i moment pędu elektronu w atomie, moment magnetyczny w niejednorodnym polu magnetycznym, doświadczenie Sterna – Gerlacha, wnioski z doświadczenia Sterna – Gerlacha dla różnych atomów, żyroskop – precesja momentu pędu; przypomnienie, precesja momentu pędu i momentu magnetycznego w polu magnetycznym, orbitalny (L) i spinowy (S) moment pędu elektronu; składanie momentów pędu, słabe i silne pole B; model wektorowy, urządzenie Sterna – Gerlacha jako filtr stanów przestrzennych atomów bez spinów, urządzenia Sterna – Gerlacha w tandemie; obroty, funkcja falowa elektronu w atomie bez spinu )

Moment magnetyczny; przypomnienie Przewodnik z prądem w polu magnetycznym B: a) Prąd I = 0 b) Prąd I płynie „do góry” c) Prąd I płynie „w dół” Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 Na elektrony w przewodniku działa siła Lorentza F = qevB, na przewodnik będzie działała siła F = LiB

Moment magnetyczny; przypomnienie Prostokątna ramka o długości a i szerokości b z prądem o natężeniu I w jednorodnym polu magnetycznym B: a) widok „z góry” b) widok „z boku z prawej strony” (od strony boku 2) Moment siły M obraca ramkę zgodnie z ruchem wskazówek zegara: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 b)

Moment magnetyczny; przypomnienie moment magnetyczny, a magnetyczny moment dipolowy magnetyczny moment dipolowy moment siły dąży do ustawienia momentu magnetycznego równolegle do pola B, tak by osiągnąć najniższą energię magnetycznego momentu dipolowego w zewn polu B, E1. Wykonując pracę przeciw momentowi siły (polu B) tak by magnetyczny moment dipolowy był skierowany antyrównolegle do pola B osiągamy stan o najwyższej energii E2 w zewn polu B. E2 E1 Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

Magnetyczny moment dipolowy elektronu w atomie orbitalny magnetyczny moment dipolowy i orbitalny moment pędu spinowy (własny) magnetyczny moment dipolowy i spinowy (S) moment pędu Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 bez klasycznego odpowiednika qe/2m - czynnik żyromagnetyczny

Wypadkowy moment magnetyczny i moment pędu elektronu w atomie orbitalny magnetyczny moment dipolowy i orbitalny moment pędu, czynnik Landé’go gorb = 1 spinowy magnetyczny moment dipolowy i spinowy moment pędu elektronu, czynnik Landé’go gs = 2 Całkowity moment pędu elektronu w atomie Ponieważ czynniki Landé’go dla spinowego i orbitalnego momentu magnetycznego elektronu są różne, wypadkowy moment pędu i moment magnetyczny mogą nie być równoległe. Efektywny moment magnetyczny będzie równoległy do wypadkowego momentu pędu, średnia w czasie ze składowej prostopadłej będzie zero i 1 < gef < 2 MODEL WEKTOROWY Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

Wypadkowy moment magnetyczny i moment pędu elektronu w atomie Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 Doświadczenie Einsteina – de Haasa a) pole magnetyczne w żelaznym nieruchomym walcu jest równe zeru. Rozkład momentów magnetycznych jest przypadkowy; żaden kierunek nie jest wyróżniony. b) po włączeniu prądu w solenoidzie w walcu powstaje pole magnetyczne, które ustawia momenty magnetyczne atomów żelaza równolegle do pola magnetycznego. Obserwujemy obrót walca z momentem pędu zgodnym z kierunkiem wypadkowego momentu magnetycznego. Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że każdy atom posiada moment pędu skierowany przeciwnie do jego momentu magnetycznego

Moment magnetyczny w niejednorodnym polu magnetycznym Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 a) elektron w atomie w niejednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym; pole B skierowane „do góry” b) pole B „do góry”, µ „do góry”, F „w dół” c) pole B „do góry”, µ „w dół”, F „do góry” Od orientacji µ względem pola B będzie zależała siła działająca na atom w kierunku „góra-dół”, jej wielkość i zwrot

Doświadczenie Sterna – Gerlacha dB/dz Układ doświadczalny Sterna – Gerlacha. Wiązka atomów srebra przechodzi przez magnes z dużym gradientem pola i pada na płytkę detektora Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 Wynik współczesnej wersji doświadczenia Sterna – Gerlacha. Po włączeniu magnesu wiązka atomów cezu rozszczepia się na dwie; jedna z równoległym, druga z antyrównoległym ustawieniem momentów magnetycznych

Wnioski z doświadczenia Sterna – Gerlacha dla różnych atomów Liczba równoodległych plamek na ekranie wynosi 2j + 1, co sugeruje: m = j, j-1, …, -j+1, -j przy czym 2j może być parzyste, lub nieparzyste (dla parzystego 2j wystąpi m = 0, dla nieparzystego, nie). Średnia wartość Jz2 wyniesie: a skąd, dla j = 1/2 (dla zera jest spełnione) i dalej można wykazać, że dla dowolonego j: kwadrat kwantowy Należy tylko udowodnić (np. przez indukcję), że:

Dla orbitalnego momentu pędu: , a dla orbitalnego magnetycznego momentu dipolowego: Ani orbitalnego momentu pędu, ani orbitalnego momentu magnetycznego nie da się zmierzyć. Zmierzyć można skwantowane składowe „z” obu tych wektorów: gdzie m =ℓ, ℓ-1, …, -ℓ+1, -ℓ gdzie m =ℓ, ℓ-1, …, -ℓ+1, -ℓ , a µB to magneton Bohra Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

Dla spinu (własnego momentu pędu) elektronu: a moment magnetyczny: µS też jest skwantowane: gdzie s = 1/2 Skwantowane są także składowe „z”: gdzie ms = +1/2 i -1/2, a µB, jak poprzednio, to magneton Bohra Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

µz µef Dodając L i S otrzymujemy wypadkowy moment pędu J: a wypadkowy efektywny magnetyczny moment dipolowy: Skwantowane składowe „z” obu tych wektorów: µz µef gdzie m =j, j-1, …, -j+1, -j gdzie µB to magneton Bohra Dodatkowa energia elektronu w polu magnetycznym: daje skwantowane poziomy energetyczne: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

Żyroskop – precesja momentu pędu; przypomnienie a) nie obracający się żyroskop spada wskutek działania momentu siły τ b) szybko obracający się żyroskop wykonuje precesję wokół osi z c) zmiana momentu pędu wywołana momentem siły powoduje rotację momentu pędu L wokół punktu O Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc

Precesja momentu pędu i momentu magnetycznego w polu magnetycznym bo: gdzie , to prędkość kątowa precesji: Precesja Larmora Zachowana jest wartość momentu pędu i momentu magnetycznego jak i ich rzuty na kierunek pola B („z”). Jeśli pole B zmierza do zera, z zasady zachowania momentu pędu wynika, że zachowane będą oba momenty jak i ich rzuty na wybrany kierunek. MODEL WEKTOROWY wyjaśnia, dlaczego tylko składowa „z” ma określoną wartość

bez ograniczeń na względną orientację obu wektorów Orbitalny (L) i spinowy (S) moment pędu elektronu; składanie momentów pędu Zgodnie z mechaniką klasyczną moment pędu jest wektorem, więc: bez ograniczeń na względną orientację obu wektorów Wg. mechaniki kwantowej wszystkie trzy momenty pędu i ich rzuty na wybraną oś są skwantowane

Składanie momentów pędu elektronu w atomie, słabe pole B Sprzężenie L – S wektory L i S precesują wokół J tak by: j = ℓ+s, … ℓ-s W słabym zewnętrznym polu magnetycznym B wektor J wykonuje precesję wokół pola B skierowanego wzdłuż osi z (mj = j, j-1, …, -j) Nawet w zerowym polu magnetycznym jest tak samo tzn składowe x i y wektora J są nieokreślone. Określony jest tylko rzut J na oś z (tak jakby precesja wokół osi z nadal zachodziła) MODEL WEKTOROWY z Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic Physics by Harald A. Enge.© Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983

Składanie momentów pędu elektronu w atomie, silne pole B W silnym zewnętrznym polu magnetycznym sprzężenie pomiędzy wektorami L i S jest rozerwane, wektory L i S niezależnie precesują wokół pola B skierowanego wzdłuż osi z mℓ + ms = mj MODEL WEKTOROWY z Copyright © 1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc, Introduction to Atomic Physics by Harald A. Enge. © Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983

Urządzenie Sterna – Gerlacha jako filtr stanów przestrzennych atomów bez spinu dB/dz 2ℓ + 1 plamek na płytce detektora o |ℓ, ℓ> o |ℓ, ℓ-1> … … o |ℓ, -ℓ+1> o |ℓ, -ℓ> 2ℓ + 1 stanów przestrzennych atomów o tej samej liczbie kwantowej orbitalnego momentu pędu ℓ, różniących się wartością magnetycznej liczby kwantowej m. Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 Odpowiednia maska przepuszczająca tylko jedną z 2ℓ + 1 wiązek, zmieni urządzenie S – G w filtr stanów przestrzennych atomów wiązki; na ekranie pozostanie tylko jedna plamka. Wiązka niespolaryzowana na wejściu urządzenia zmienia się w wiązkę spolaryzowaną. Atomy w wiązce spolaryzowanej są w stanie czystym tzn. |ℓ, m> Feynmana wykłady z fizyki, III tom.

Urządzenia Sterna – Gerlacha w tandemie, obroty Feynman, Leighton, Sands, Feynmana wykłady z fizyki, Copyright © PWN, Warszawa 1972 Atomy z jednego z 2ℓ + 1 stanów urządzenia S mogą się na ogół znaleźć w każdym z 2ℓ + 1 stanów przestrzennych obróconego urządzenia T. Amplitudę prawdopodobieństwa zajścia takiego zdarzenia możemy oznaczyć: Będzie to pewna funkcja kąta θ. W specjalnym przypadku gdy m’ = 0, funkcję taką zapisujemy: i nazywamy stowarzyszoną funkcją Legendre’a. Jeśli także m = 0 to funkcja ta to wielomian Legendre’a i zapisuje się ją: Dla obrotu wokół osi z o kąt : Amplituda prawdopodobieństwa: gdzie Yℓ,m(θ,) to tzw. funkcja kulista, albo harmonika sferyczna. Feynmana wykłady z fizyki, t. III

Funkcja falowa elektronu w atomie bez spinu Niech elektron w atomie ma orbitalny moment pędu opisany liczbami kwantowymi ℓ i m, tzn. niech znajduje się w stanie przestrzennym |ℓ,m> (względem osi z). Jaka będzie amplituda prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie przestrzennym |ℓ,m> i w punkcie (r,θ,)? Poprowadźmy przez punkt (r,θ,) nową oś z’. Składowa z’ momentu pędu elektronu znajdującego się na osi z’ musi być równa zero; a więc stan przestrzenny względem tej osi musi być |ℓ,0>. Amplituda znalezienia elektronu w stanie |ℓ,0> na osi z’ w różnych odległościach od początku układu współrzędnych będzie jakąś funkcją r, oznaczmy ją Fℓ(r). Feynmana wykłady z fizyki t. III Feynman, Leighton, Sands, Feynmana wykłady z fizyki, Copyright © PWN, Warszawa 1972

Funkcja falowa elektronu w atomie bez spinu Jeśli założymy, że znamy Fℓ(r) to możemy zapisać amplitudę znalezienia elektronu w stanie przestrzennym |ℓ,m> i w punkcie (r,θ,). Amplituda ta będzie iloczynem amplitudy prawdopodobieństwa przejścia ze stanu przestrzennego |ℓ,m> określonego w układzie x,y,z do stanu |ℓ,0> określonego w układzie x’,y’,z’ i funkcji Fℓ(r). Przejście z jednego do drugiego układu współrzędnych wymaga obrotów; najpierw wokół osi z o kąt , potem wokół osi y’ o kąt θ. Ostatecznie mamy: Feynmana wykłady z fizyki t. III Feynman, Leighton, Sands, Feynmana wykłady z fizyki, Copyright © PWN, Warszawa 1972