Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

FUNKCJA KWADRATOWA Z PARAMETREM

Funkcja kwadratowa w swoim wzorze może mieć oprócz argumentu x parametr – dowolną liczbę rzeczywistą na przykład m, która w zadaniu będzie spełniać określone warunki. Do rozwiązywania zadań z funkcji kwadratowej z parametrem będą potrzebne wzory Viète’a, stosowane dla funkcji mającej dwa lub jedno miejsce zerowe. f(x)=ax2+bx+c

TABELA ZNAKÓW: PIERWIASTKÓW, ICH SUMY I ILOCZYNU pierwiastki są jednakowych znaków pierwiastki są różnych Z tabelki wnioskujemy, że jeżeli: - iloczyn jest dodatni to pierwiastki są jednakowych znaków (obydwa dodatnie albo obydwa ujemne) - iloczyn jest ujemny to pierwiastki są różnych znaków (jeden dodatni drugi ujemny) - iloczyn dodatni i suma dodatnia to pierwiastki są dodatnie - iloczyn dodatni i suma ujemna to pierwiastki są ujemne x1 x2 x1 x2 x1+x2 + - + -

a) f(x)=x2+4x+m Ćw.1: Zbadaj liczbę pierwiastków funkcji kwadratowej f w zależności od parametru m. a) f(x)=x2+4x+m a=1 b=4 c=m Aby zbadać liczbę miejsc zerowych funkcji najpierw obliczymy deltę (wyróżnik) funkcji kwadratowej. =b2-4ac =16-4m Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe jeżeli >0. >0 ⇔ 16-4m>0 -4m>-16 m<4 mϵ(-∞ ,4)

Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe jeżeli =0. =0 ⇔ 16-4m=0 ⇔ m=4 Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych jeżeli <0. <0 ⇔ 16-4m<0 -4m<-16 m>4 mϵ(4,+∞) Odp.: Funkcja kwadratowa f(x)=x2+4x+m posiada dwa różne miejsca zerowe, gdy mϵ(-∞,4); jedno miejsce zerowe, gdy m=4; nie posiada miejsc zerowych, gdy mϵ(4,+∞).

b) f(x)=(6+m)x2-4 Najpierw musimy rozważyć przypadki: a=6+m b=0 c=-4 Najpierw musimy rozważyć przypadki: 1.Jeżeli 6+m=0 ⇒ m=-6 to nasza funkcja przyjmie postać f(x)=-4 – wykresem jest prosta równoległa do osi x, funkcja nie ma miejsc zerowych. 2. Jeżeli 6+m≠0 to funkcja jest kwadratowa i najpierw obliczymy deltę – jej wyróżnik. =b2-4ac =0-4(6+m)(-4)=96+16m Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe jeżeli >0. >0 ⇔ 96+16m>0 16m>-96 m>-6 mϵ(-6,+∞)

Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe jeżeli =0. =0 ⇔ 96+16m =0 ⇔ 16m=-96 m=-6 Już wiemy, że dla m=-6 funkcja nie jest kwadratowa tylko liniowa i nie ma miejsc zerowych bo wykres jest równoległy do osi x. Sprawdzamy kiedy <0. <0 ⇔ 96+16m<0 16m<-96 m<-6 mϵ(-∞,-6) Odp.: Funkcja kwadratowa f(x)=(6+m)x2-4 posiada dwa różne miejsca zerowe, gdy mϵ(-6,+∞); nie posiada miejsc zerowych, gdy mϵ .

c) f(x)=x2+(m+3)x+1 a=1 b=m+3 c=1 Aby zbadać liczbę miejsc zerowych funkcji najpierw obliczymy deltę (wyróżnik) funkcji kwadratowej. =b2-4ac =(m+3)2-4=m2+6m+9-4=m2+6m+5 Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe jeżeli >0. >0 ⇔ m2+6m+5>0 - musimy rozwiązać nierówność z niewiadomą m a1=1 b1=6 c1=5 1=62-4·1·5=36-20=16 m1=-5 m2=-1 >0 ⇔ mϵ(-∞,-5)∪(-1,+∞) + + -5 -1 -

Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe jeżeli =0. =0 ⇔ m2+6m+5=0 1=62-4·1·5=36-20=16 m1=-5 m2=-1 =0 ⇔ m ϵ {-5,-1} Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych jeżeli <0. <0 ⇔ m2+6m+5<0 <0 ⇔ mϵ(-5,-1) Odp.: Funkcja kwadratowa f(x)=x2+(m+3)x+1 posiada dwa różne miejsca zerowe, gdy mϵ(-∞,-5)∪(-1,+∞); jedno miejsce zerowe, gdy mϵ{-5,-1}; nie posiada miejsc zerowych, gdy mϵ(-5,-1).

Ćw.2: Dla jakiej wartości parametru m funkcja kwadratowa f(x)=x2+6x+(2m+1) ma dwa miejsca zerowe różnych znaków? a=1 b=6 c=2m+1 =b2-4ac =36-4·1·(2m+1)=36-4(2m+1)=36-8m-4=32-8m Aby funkcja kwadratowa miała dwa miejsca zerowe różnych znaków muszą być spełnione warunki: (które trzeba rozwiązać) 1) >0 2) x1·x2<0 Ad 1) >0 ⇔ 32-8m>0 -8m>-32 m<4 mϵ(-∞ ,4)

Ad 2) x1·x2<0 2m+1<0 2m<-1 m<-½ mϵ(-∞; -½) Biorąc pod uwagę jeden i drugi warunek wyznaczamy część wspólną: Odp.: Dla mϵ(-∞ , -½) funkcja kwadratowa f(x)=x2+6x+(2m+1) ma dwa miejsca zerowe różnych znaków. m ϵ (-∞, -½) ∧ m ϵ (-∞,4) ⇒ m ϵ (-∞ , -½)

Ćw.3: Dla jakiej wartości parametru m funkcja kwadratowa f(x)=x2+(2-m)x+10 ma dwa różne ujemne miejsca zerowe? a=1 b=2-m c=10 =b2-4ac =(2-m)2-4·1·10=4-4m+m2-40=m2-4m-36 Aby funkcja kwadratowa miała dwa różne ujemne miejsca zerowe muszą być spełnione warunki: 1) >0 2) x1·x2>0 3) x1+x2<0 Ad 1) >0 ⇔ m2-4m-36>0 - musimy rozwiązać nierówność a1=1 b1=-4 c1=-36 1=(-4)2-4·1·(-36)=16+144=160 m1= m2=

Biorąc pod uwagę jeden i drugi warunek wyznaczamy część wspólną. >0 ⇔ mϵ(-∞ , m1)∪(m2,+∞) Ad 2) x1·x2>0 10>0 ⇒ mϵR Ad 3) x1+x2<0 -(2-m)<0 -2+m<0 m<2 mϵ(-∞,2) Biorąc pod uwagę jeden i drugi warunek wyznaczamy część wspólną. Odp.: Dla mϵ(-∞ , ) funkcja kwadratowa f(x)=x2+(2-m)x+10 ma dwa różne ujemne miejsca zerowe. + + m1 m2 -

Ćw.4: Dla jakiej wartości parametru m funkcja kwadratowa f(x)=x2-2x+2m-7 ma dwa różne dodatnie miejsca zerowe? a=1 b=-2 c=2m-7 =b2-4ac =(-2)2-4·1·(2m-7)=4-8m+28=32-8m Aby funkcja kwadratowa miała dwa różne dodatnie miejsca zerowe muszą być spełnione warunki: 1) >0 2) x1·x2>0 3) x1+x2>0 Ad 1) >0 ⇔ 32-8m>0 -8m>-32 m<4 mϵ(-∞,4)

Odp.: Dla mϵ(3½,4) funkcja kwadratowa Ad 2) x1·x2>0 2m-7>0 2m>7 m>3½ mϵ(3½,+∞) Ad 3) x1+x2>0 2>0 mϵR Wymienione wyżej przedziały zaznaczamy na osi liczbowej i odczytujemy część wspólną tych warunków. Odp.: Dla mϵ(3½,4) funkcja kwadratowa f(x)=x2-2x+2m-7 ma dwa różne dodatnie miejsca zerowe. 3½ 4