Rozdział V - Wycena obligacji 5.1 Oprocentowanie proste – stopa stała 5.2 Oprocentowanie proste – stopa zmienna 5.3 Oprocentowanie składane – stopa stała 5.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna

Rozdział V – Wycena obligacji Wstęp Obligacje - to papiery wartościowe poświadczające, że emitent zaciągnął dług u nabywcy dług czyli pożyczył pieniądze, które zobowiązuje się spłacić wraz z należnymi odsetkami określonym czasie i na określonych warunkach. WYCENA - jest to proces polegający na wyznaczeniu wartości na podstawie przyszłych wypłat odsetek oraz kwoty do wykupu.Wycena oparta jest o zasadę równoważności kapitału i jest zależna od stanu rynku, którego wskaźnikiem jest stopa procentowa. Oznacza to że jeżeli zmieni się stopa procentowa to zmieni się również wycena. Najczęściej stosowaną metodą wyceny jest metoda dochodowa, inaczej metoda zdyskontowanych przepływów pieniężnych. Gdzie dyskonto to różnica pomiędzy wartością nominalną a bieżącą wartością rynkową danego instrumentu.

Wycena obligacji na termin m Wycena obligacji na termin m. polega na wyznaczeniu wartości obligacji VN, dla N=0,...N na postawie przyszłych płatności odsetek i kwoty do wykupu, które muszą być zdyskontowane na ten termin.

Wycenę obligacji można przeprowadzić do terminu przedostatniego (N-1) Wycenę obligacji można przeprowadzić do terminu przedostatniego (N-1). W terminie ostatnim (N) ceną obligacji jest kwota jej wykupu KN=K0. Jak można zauważyć zakładamy, że wykup obligacji następuje po cenie nominalnej. Stosując zasadę równoważności kapitału otrzymamy cenę obligacji V m. w wyniku dyskontowania płatności na kolejne terminy: V0= I1/D0.1+ ,...,+ In/D0.n + ,...,+(IN+K0)/D0.N Vm.=Im.-1/Dm.m=1+ ,...,+In/Dm.n+,...,+(IN+K0)/Dm.N VN-1=(IN+K0)/DN-1.N ( 5.1) VN=KN Wykup obligacji następuje za kwotę KN= K0

5.1 Oprocentowanie proste – stopa stała. Wycena obligacji Załóżmy, że dane są: · Wartość nominalna K0 = KN; · Ciąg płatności: I1, ..., In , ..., IN +KN; · Stopa procentowa s ; · Liczba okresów płatności odsetek N ; Ø Należy wyznaczyć cenę obligacji V m w terminach m. = 0,1,...,N-1 Oznaczymy czynnik dyskontowania D m.,n jako czynnik dyskontowania płatności z terminu n na m. Dla dyskontowania prostego ze stałą stopą procentową s czynnik ten określa formuła: D m.,n = 1 + s * ( n –m. .); dla n  m. (5.2)

Podstawiając (5.2) do wzoru (5.1) otrzymamy: V0 =I1 / (1+s*1)+ ,..., +In / (1+s*n)+,…,+(IN+K0) / (1+s*N) ……………………………………………………………. V m = I m+1 / (1+s* (m+1-m))+,…,+In / (1+s*(n-m))+,...,+(IN+K0) / (1+s*(N-m)) ……………………………………………………………………………………. VN-1 = (IN+K0) / (1+s*(N-N-1)) VN= KN Wykup obligacji następuje za kwotę KN = K0 . (5.3)

5.1 Oprocentowanie proste – stopa stała. Wartość obligacji Wartość obligacji- jest to cena, po jakiej jej właściciel może ją sprzedać na rynku. Na wartość obligacji wywierają wpływ zmiany stopy procentowej od depozytów bankowych oraz odchylenia tej stopy od oprocentowania obligacji. Określenie wartości obligacji na termin m. polega na wyznaczaniu wartości obligacji WN, dla N =0,...,N na podstawie przyszłych płatności odsetek i kwoty do wykupu. Należy wszystkie wcześniejsze płatności oprocentować na termin m., i wszystkie późniejsze płatności oraz kwotę do wykupu zdyskontować na termin m. Załóżmy, że obligacja jest określona przez następujące parametry: · K0 - Wartość nominalna · N – liczba okresów płatności odsetek · Stopa procentowa s · IN dla n= 1,...,N – odsetki: malejące, rosnące, bądź jednakowe; · Oprocentowanie na rynku które jest proste ze stałą stopą.

Stosując zasadę równoważności kapitału otrzymamy wartość obligacji (WN) w wyniku oprocentowania i dyskontowania płatności. W0 = I1 / D0,1+,...,+In / D0,n+,...,+ (IN + K0) / D0,N ............................................................................. Wm= I1* 0m,1 +,...,+ Im-1* 0m,m.-1 + Im + Im+1 / Dm,m+1+,...,+ (IN + K0) / Dm,N ......................................................................................................................... WN = I1 * ON,1 +,...,+ In* 0N,n +,…,+ IN + K0 (5.4) Ø Wyznaczymy wartość obligacji W m w terminach m.= 0,1,...,N. Oznaczymy czynnik dyskontowania D m.,n jako czynnik dyskontowania płatności z terminu n na m. Dla dyskontowania prostego ze stałą stopą procentową s czynnik ten określa formuła: D m.,n = 1 + s * ( n –m.); dla n  m. (5.5)

0 m.,n = 1+ s* (m. .- n) ; dla m.  n (5.6) Oznaczymy czynnik 0n,m. jako czynnik oprocentowania płatności z terminu n na m. Dla oprocentowania prostego ze stopą stała czynnik ten określa formuła: 0 m.,n = 1+ s* (m. .- n) ; dla m.  n (5.6) Podstawiając wzór (5.5) i (5.6) do wzoru ( 5.4) otrzymamy: W0 =I1 /(1+s*1)+,...,+In/(1+s*n)+,...,+(IN+K0)/(1+s*N) …………………………………………………………… W m = I1* (1+s*(m-1))+,…,+Im-1 (1+s(m.-m.+1))+Im+ +Im+1 / (1+s*(m.+1-m.))+,...,+(IN+K0) / (1+s*(N-m)) ........................................................................................ WN = I1*(1+s*(N-1))+,...,+In*(1+s*n)+,…,+IN+K0 (5.7) Po zdyskontowaniu odsetek i po zsumowaniu wyników za pomocą polecenia w menu narzędzia – SZUKAJ WYNIKU równany PRAWĄ i LEWĄ stronę.

5.1 Oprocentowanie proste – stopa stała. Stopa dochodu do wykupu Krzywa Rentowności( Stopy Dochodu)- jest to zależność stopy dochodu od długości okresu do terminu wykupu.Krzywe rentowności są wyznaczane dla jednolitych grup obligacji (n.p. skarbowych).Stopa dochodu jest zależna od ceny obligacji, zatem jest kształtowana przez siły rynkowe i może się zmieniać w czasie. Określenie stopy dochodu obligacji na termin m. polega na wyznaczeniu stopy rentowności x n, dla n =1 ,...,N-1 na podstawie przyszłych płatności odsetek i które muszą być zdyskontowane na termin, oraz na podstawie danej ceny rynkowej R m. . Stopę dochodu można określić do terminu przedostatniego (N-1) w terminie ostatnim następuje wykup obligacji.

D m,n = 1+x*(n-m.) ; dla n  m. (5.9) Stosując zasadę równoważności kapitału otrzymamy cenę rynkową obligacji R m , która pozwoli nam określić stopę dochodu do wykupu. R0 = I1/D0,1+,...,+In/D0,n+,…,+(IN+K0)/D0,N …………………………………………………………………. Rm = Im+1/Dm,m+1+,...,+In/Dm,n+,...,+( IN+K0)/Dm,N ................................................................................ RN-1 = ( IN+K0)/DN-1,N (5.8) Należy wyznaczyć stopę dochodu obligacji x m w terminach m =1 ,...,N-1. Oznaczmy czynnik dyskontowania D m.,n jako czynnik dyskontowania płatności z terminu n na m. Dla dyskontowania prostego ze stałą stopą procentową s czynnik ten określa formuła : D m,n = 1+x*(n-m.) ; dla n  m. (5.9)

Podstawiając wzór (5.9) do (5.8) otrzymamy: R0 = I1 /(1+x*1)+,...,+In /(1+x*n)+,…,+(IN+K0)/(1+x*N) …………………………………………………………….. Rm = Im+1/(1+x*(m+1-m))+,…,+In/(1+x*(n-m))+,...,+(IN+K0)/(1+x*(N-m)) ................................................................................................................................. RN-1 = (IN+K0)/(1+x*(N-N-1)) (5.10) Płatności odsetek mają wpływ na to jak będzie przebiegać stopa rentowności.

5.2 Oprocentowanie proste – stopa zmienna Wycena obligacji Załóżmy, że dane są: · Wartość nominalna K0 = KN; · Ciąg płatności : I1,...,IN,..., IN+KN ; · Zmienne stopy procentowe s1 ,..., s2 ,...,sN ; · Liczba okresów płatności odsetek n ; Ø Należy wyznaczyć cenę obligacji V m w terminach N = 0,1,...,N-1. Oznaczymy czynnik dyskontowania D m.,n jako czynnik dyskontowania płatności z terminu n na m.. Dla dyskontowania prostego ze zmienną stopą procentową sn czynnik ten określa formuła: D m,n = 1+r m +1 ,...,+r n+,...,+rN dla n  m (5.11)

Podstawiając wzór (5.11) do wzoru (5.1) otrzymamy: V0 = I1 / (1+s1 )+,...,+In / (1+s1+,…,+s n)+,…,+(IN+K0)/(1+s1+,…,+s N) ……………………………………………………………………………. Vm = Im+1/(1+sm+1)+,...,+In / (1+sm+1+,...,+sn)+,...,+(IN+K0)/(1+sN) ......................................................................................................................... VN-1 = (IN+K0)/(1+sN) VN = KN (5.12) Wykup obligacji następuje za kwotę K0 .

5.2 Oprocentowanie proste – stopa zmienna Wartość obligacji Załóżmy, że dane są: · K0 – wartość nominalna · N- liczba okresów płatności odsetek · s - stopa procentowa · IN dla n = 1,...,N – odsetki Ø Wyznaczymy wartość obligacji W m w terminach m.= 0,1,...,N. Oznaczymy czynnik dyskontowania D m,n jako czynnik dyskontowania płatności z terminu n na m. Dla dyskontowania prostego ze stopą zmienną ten czynnik określa formuła: D m,n = 1+s m+1,...,+s n+,...,+s N ; dla n  m (5.13) Oznaczmy czynnik On,m jako czynnik oprocentowania płatności z terminu n na m. Dla oprocentowania prostego ze stopą zmienną czynnik ten określa formuła: Om,n = 1+s n+1,...,+s m+,...,+s N ; dla m  n (5.14)

Podstawiając wzór (5.13) i (5.14) do (5.4) otrzymamy: W0 = I1/(1+s1)+,...,+In/(1+s1+,...,+s n)+,...,+(In+K0)/(1+s1+,…,+s N) ........................................................................................................... W m = I1*(1+s2+,...,+s m)+,...,+Im-1*(1+s m)+Im+ +Im+1/(1+sm+1+,...,+sm)+,...,+(IN+K0) / (1+sN) .............................................................................................................. WN = I1*(1+s2+,...,s N)+,...,+In*(1+s n+1+,…,+s N)+,…,+IN+K0 (5.15) Przeprowadzając analizę stopy dochodu do wykupu w warunkach oprocentowania prostego ze stopą zmienną należy wziąć pod uwagę płatności odsetek i ceny rynkowe.

5.2 Oprocentowanie proste – stopa zmienna Stopa dochodu do wykupu Załóżmy, że dane są : · Wartość nominalna K0 ; · Wartość rynkowa R m ; · Ciąg płatności: I1,...,IN,..., IN+KN ; · Stopa procentowa s ; · Współczynnik zmienności stopy procentowej q r ; · Liczba okresów płatności odsetek N ; Ø Należy wyznaczyć stopę dochodu obligacji xm w terminach m.=1,...,N-1. Oznaczymy czynnik dyskontowania D m,n jako czynnik dyskontowania płatności z terminu n na m. Dla oprocentowania prostego ze zmienną stopą procentową s czynnik ten określa formuła: D m,n = 1+x m+1,...,+x n+,...,+x N ; dla n  m. (5.16)

Podstawiając wzór (5.16) do (5.8) otrzymamy: D m,n = 1+x m+1,...,+x n+,...,+x N ; dla n  m. (5.16) R0 = I1/(1+x1)+,...,+In/(1+x1+,…,+x n)+,…,+(In+K0)/(1+x1+,…,+x N) ………………………………………………………………………. Rm = Im+1/(1+xm+1)+,...,+In/(1+xm+1+,...,+xn)+,...,+(IN+K0)/(1+xN) ................................................................................................................. RN-1 = (IN+K0)/(1+xN) (5.17)

RN-1 = (IN+K0)/(1+x*qN-2) ( 5.19) Równanie (5.17) posiada dwie niewiadome dlatego należy wyprowadzić niewiadomą pomocniczą q w celu wyznaczenia jednej niewiadomej z równania. Niech: x2 = x1*q ............... x3 =x1*q2 .................. x n = x1*q n-1 ( 5.18) ....................... x N = x1*q N-1 Po podstawieniu do wzoru (5.17) otrzymamy równanie z jedną niewiadomą x. R0 = I1/(1+x1)+,...,In/(1+xx1*q n-1)+,…,+(IN+K0)/(1+x1*q N-1) …………………………………………………………………… Rm= Im+1/(1+x1*qm)+,...,+In/(1+x1*qn-1)+,...,+(In+K0)/(1+x1*qN-1) ......................................................................................................... RN-1 = (IN+K0)/(1+x*qN-2) ( 5.19)

5.3 Oprocentowanie składane – stopa stała Wycena obligacji Załóżmy, że dany jest : · Wartość nominalna K0 = KN ; · Ciąg płatności: I1,...,IN,..., IN+KN ; · Stopa procentowa s ; · liczba okresów płatności odsetek n ; Ø Należy wyznaczyć cenę obligacji Vm w terminach m = 0,1,...,N-1. Oznaczmy czynnik dyskontowania D m,n jako czynnik dyskontowania płatności z terminu n na m. Dla dyskontowania składanego ze stałą stopą procentową s czynnik ten określa formuła: D m ,n = (1+s)n-m. ; dla n  m (5.20) Podstawiając wzór (5.20) do (5.1) otrzymamy:

V0 = I1/(1+s)1 +,...,+In/(1+s)n+,…,+(IN+K0)/(1+s)N ……………………………………………………….. V m = I m+1/(1+s)m.+1-m.+,...,+In/(1+s)n-n-1+,...,+(IN+K0)/(1+s)N-m. …………………………………………………………………. VN-1 = (IN+K0)/(1+s)1 VN = KN (5.21) Wykup obligacji następuje za kwotę K0.

5.3 Oprocentowanie składane – stopa stała Wartość obligacji Załóżmy, że dane są: · K0 – wartość nominalna · N- liczba okresów płatności odsetek · s – stopa procentowa · IN dla n=1,...,N – odsetki Ø Wyznaczymy wartość obligacji W m w terminach m.= 0,1,...,N. Oznaczymy czynnik D m,n jako czynnik dyskontowania z terminu n na m. Dla dyskontowania składanego ze stałą stopą procentową, czynnik ten określa formuła: D m,n = (1+s)n-m ; dla n  m (5.22) Oznaczmy czynnik On,m. jako czynnik dyskontowania płatności z terminu n na m. Dla oprocentowania składanego ze stała stopą czynnik ten określa formuła: On,m. = (1+s)m-n ; dla m.  n

Podstawiając wzór (5.22) i (5.23) do wzoru ( 5.4) otrzymamy: W0 = I1/ (1+s)+,...,+In/(1+s)n+,...,+(IN+K0)/(1+s)N …………………………………………………………. W m = I1*(1+s)m.-1+,...,+Im-1*(1+s)(m.-m.+1)+Im+ +I m+1/(1+s)(m.+1-m.)+,...,+(IN+K0)/(1+s)(N-m) ………………………………………………………. WN = I1*(1+s)N-1+,...,+In*(1+s)N-n+,…,+IN+K0 (5.24) Cena obligacji zmienia się w czasie i zależy od stopy procentowej

5.3 Oprocentowanie składane – stopa stała Stopa dochodu do wykupu Załóżmy, że dane są: · K0 – wartość nominalna · N- liczba okresów płatności odsetek · s – stopa procentowa · R m – wartość rynkowa · Ciąg płatności : I1,...,IN,..., IN Ø Należy wyznaczyć stopę dochodu obligacji xm w terminach m.=1,...,N-1. Oznaczymy czynnik D m,n jako czynnik dyskontowania z terminu n na m.

Podstawiając wzór (5.25) do (5.8) otrzymamy: Dla dyskontowania składanego ze stałą stopą procentową, czynnik ten określa formuła: D m,n = (1+x)(n-m) ; dla n  m. (5.25) Podstawiając wzór (5.25) do (5.8) otrzymamy:

5.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna Wycena obligacji Załóżmy, że dane są: · K0 = KN – wartość nominalna · N- liczba okresów płatności odsetek · Ciąg płatności : I1,...,IN,..., IN + KN ; · Zmienne stopy procentowe : s1,...,s n,...,s N ; Ø Należy wyznaczyć cenę obligacji V m w terminach m = 0,1,...,N-1. Oznaczmy czynnik dyskontowania D m ,n jako czynnik dyskontowania płatności z terminu n na m.

Dla dyskontowania składanego ze zmienną stopą procentową s n czynnik ten określa formuła: D m. ,n = (1+s m+1)*,...,*(1+s n)*,...,(1+s N); dla n  m. (5.27) Podstawiając wzór (5.27) do wzoru (5.1) otrzymamy:

5.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna Wartość obligacji Załóżmy, że dane są: · K0 – wartość nominalna · N- liczba okresów płatności odsetek · s – stopa procentowa · IN dla n=1,...,N – odsetki Ø Wyznaczymy wartość obligacji W m w terminach m.= 0,1,...,N. Oznaczymy czynnik D m, n jako czynnik dyskontowania z terminu n na m. Dla dyskontowania składanego ze zmienną stopą procentową, czynnik ten określa formuła: Dm,n = (1+sm+1)*,...,*(1+sn)*,...,*(1+rN); dla n m (5.29) Oznaczmy czynnik On, m. jako czynnik oprocentowania płatności z terminu n na m. Dla oprocentowania składanego ze zmienną stopą czynnik ten określa formuła: Om ,n = (1+s m+1)*,..,*(1+s m) ; dla m. n (5.30)

Podstawiając wzór (5.29) i (5.30) do wzoru (5.4) otrzymamy: W0 =I1/(1+s1)+,...,+In/(1+s1)*,...,*(1+s n)+,...,+(In+K0)/(1+s1)*,…,*(1+s N) ……………………………………………………………………………… W m = I1*(1+s2)*(1+s m)+,...,+Im-1*(1+s m)+Im+ +Im+1/(1+sm+1)*,...,*(1+sm)+,...,+(IN+K0)/(1+sN) ........................................................................................................................ WN = I1*(1+s2)*(1+s N)+,...,+In*(1+s n+1)*,…,*(1+s N)+,…,IN+K0 (5.31) Cena obligacji zmienia się w czasie i zależy od współczynników zmienności fn.

5.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna Stopa dochodu do wykupu Załóżmy, że dane są: · K0 – wartość nominalna · N- liczba okresów płatności odsetek · s – stopa procentowa · R m – wartość rynkowa · Ciąg płatności : I1,...,IN,..., IN Ø Należy wyznaczyć stopę dochodu obligacji x m w terminach m.=1,...,N-1. Oznaczymy czynnik D m,n jako czynnik dyskontowania z terminu n na m.

Dla dyskontowania składanego ze stałą stopą procentową, s czynnik ten określa formuła: D m,n = (1+x m+1)+,...,+(1+x n)+,...,+(1+x N) ; dla n  m. (5.32) Podstawiając wzór (5.32) do (5.8) otrzymamy: R0 = I1/(1+x1)+,...,+In/(1+x1)*,…,*(1+x n)+,…,+(IN+K0)/(1+x1)*,…,*(1+x N) ……………………………………………………………………………….. Rm = Im+1/(1+xm+1)+,...,+In/(1+xm+1)*,...,*(1+xn)+,...,+(IN+K0)/(1+xN) ........................................................................................................................... RN-1 = (IN+K0) / (1+xN) (5.33) Przystępując do analizy stopy dochodu do wykupu w warunkach oprocentowania składanego ze stopą zmienną należy wziąć pod uwagę płatności odsetek oraz cenę rynkową.

Równanie posiada dwie niewiadome dlatego należy wyprowadzić niewiadomą pomocniczą q w celu wyznaczenia jednej niewiadomej z równania. Niech: x2 = x1*q ................ x3 =x1*q2 .................. x n = x1*q n-1 ....................... x N = x1*q N-1 (5.34) Po podstawieniu do wzoru (5.33) otrzymamy równanie z jedną niewiadomą x. R0 = I1/(1+x1)+,...,In/(1+xx1*qn-1)+,…,+(IN+K0)/(1+x1*qN-1) …………………………………………………………………… Rm= Im+1/(1+x1*qm)+,...,+In/(1+x1*qn-1)+,...,+(In+K0)/(1+x1*qN-1) .......................................................................................................... RN-1 = (IN+K0)/(1+x*qN-2) (5.35)