Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

OSTROSŁUPY

o wspólnym wierzchołku. Ostrosłup to wielościan, którego podstawą jest wielokąt; pozostałe ściany to ściany boczne ostrosłupa. Wszystkie ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. S wierzchołek krawędź boczna ściana boczna D C krawędź podstawy podstawa A B

PODZIAŁ OSTROSŁUPÓW: I trójkątny – podstawą jest dowolny trójkąt czworokątny – podstawą jest czworokąt pięciokątny – podstawą jest pięciokąt sześciokątny – podstawą jest szęściokąt itd……

II prosty – ostrosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są równej długości pochyły – ostrosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy prawidłowy – ostrosłup prosty o podstawie wielokąta foremnego

Do rozwiązywania zadań potrzebne będą wzory na pole powierzchni (P) i objętość (V) dowolnego ostrosłupa. Pp – pole podstawy Pb - pole powierzchni bocznej H - wysokość ostrosłupa

Przykład 1. Oblicz pole i objętość ostrosłupa, w którym wysokość ma długość 10cm; podstawą jest kwadrat o boku 10cm. Dane: a=10cm H=10cm Szukane: P, V. Pp=a2 Pp=102=100 [cm2] S H h C D O E A B a

Pb=4·PΔBCS Pb=4·½·a·h Trójkąt SOE jest prostokątny. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczymy długość wysokości ściany bocznej h. lub - odpada Pb=4·PΔBCS Pb=4·½·a·h [cm2]

[cm2] Odp: Pole powierzchni ostrosłupa o podstawie kwadratowej wynosi cm2, a jego objętość wynosi cm3. [cm3]

Przykład 2. W ostrosłupie podstawą jest prostokąt o wymiarach: 2cm; 4cm. Wysokość ostrosłupa wynosi 8cm. Oblicz pole i objętość ostrosłupa. Dane: a=4cm b=2cm H=8cm Szukane: P, V. Pp=a·b Pp=4·2=8 [cm2] S H h1 h2 C D b O E A F B a

Trójkąty SOE i SOF są prostokątne. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczymy długości wysokości ścian bocznych h1 i h2. ΔSOE – prostokątny lub - odpada S H h1 E O

ΔSOF - prostokątny S h2 H O F lub - odpada

Pb=2·½·a·h2+2·½·b·h1 Pb= a·h2+b·h1 Pb= P=Pp+Pb P= [cm2] [cm3] Odp: Pole powierzchni ostrosłupa wynosi cm2, a jego objętość cm3.

Przykład 3. W ostrosłupie podstawą jest kwadrat o boku 5cm. Długość krawędzi bocznej wynosi 12cm. Oblicz objętość ostrosłupa. Dane: a=5cm x=12cm Szukane: V. Pp=a2 Pp=52=25 [cm2] Odcinek AC jest przekątną kwadratu, Odcinek OC – połową przekątnej. S x H C D y a O A B a

Trójkąt SOC jest prostokątny. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość wysokości ostrosłupa. ΔSOC – prostokątny lub -odpada S H x O C y

[cm3] Odp: Objętość ostrosłupa wynosi cm3.

Przykład 4. Pp=½·a·b Pp=½·3·4=6 [cm2] Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3cm i 4cm. Wysokość ostrosłupa długości 6cm wychodzi z punktu przecięcia się przyprostokątnych. Oblicz pole i objętość ostrosłupa. Dane: a=3cm b=4cm H=6cm Szukane: P, V. Trójkąt w podstawie jest prostokątny. Pp=½·a·b Pp=½·3·4=6 [cm2] S x H h C b B a c D A

c=5 lub c=-5 – rozwiązanie ujemne odpada Trójkąt ABC jest prostokątny. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej. ΔABC – prostokątny c2=a2+b2 c2=32+42 c2=9+16 c2=25 c=5 lub c=-5 – rozwiązanie ujemne odpada Pb = PΔBCS + PΔACS + PΔABS PΔBCS=½·4·6=12 PΔACS=½·3·6=9

x2=H2+b2 x2=62+42 x2=36+16 x2=52 x= lub x= – odpada x2=h2+(½c)2 Aby obliczyć PΔABS najpierw obliczymy długość odcinka SB, a następnie wysokość trójkąta ABS. ΔSCB – prostokątny x2=H2+b2 x2=62+42 x2=36+16 x2=52 x= lub x= – odpada ΔSDB – prostokątny x2=h2+(½c)2 52=h2+(2,5)2 52=h2+6,25 h2=52-6,25 h2=45,75 h= lub h= - odpada PΔACS=½·3·6=9S

PΔABS=½·c·h PΔABS= P=Pp+Pb P= P= [cm2] [cm3] Odp: Pole powierzchni ostrosłupa wynosi cm2 a jego objętość 12 cm3.