Jednorównaniowe modele zmienności Temat piąty Jednorównaniowe modele zmienności Analiza szeregów czasowych o wysokiej częstotliwości cechy analizy krótkookresowej podstawowy i uogólniony model ARCH testowanie efektu ARCH/GARCH niestandardowe modele ARCH (in mean, z asymetrią, EGARCH) estymacja modeli GARCH, ocena jakości

Cechy analizy krótkookresowej Do cech procesów losowych (najczęściej procesów finansowych) charakteryzujących się wysoką częstotliwością zaliczą się: naprzemienne występowanie okresów o zwiększonej fluktuacji i okresów niskiej zmienności zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania skupiania wariancji w kolejnych jednostkach czasu, tj. dodatniej korelacji w dziedzinie zmienności zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania, co przejawia się w wysokiej wariancji zmiennej powodowanej wzrostem tej wariancji w okresie poprzedzającym i analogicznie spadkiem wariancji na skutek niskiej wariancji w okresie poprzedzającym

Podstawowy i uogólniony model ARCH Rodzaje nieliniowych procesów stochastycznych W nieliniowej analizie jednowymiarowych szeregów czasowych poszukuje się funkcji f wiążącej dany proces z ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie: (5.1) gdzie jest zmienna losową o średniej zero i jednostkowej wariancji Powyższa reprezentacja jest nieoperacynja, jest na tyle ogólna, że nie wiadomo jak dobierać postać funkcji f Najczęściej przyjmuje się, że nieliniowy proces ekonomiczny ma postać: (5.2) Procesy Yt wyrażone (5.1) z nieliniową funkcją g() nazywamy procesami nieliniowymi w warunkowej wartości średniej Procesy Yt wyrażone (5.2) z nieliniową funkcją h2() nazywamy procesami nieliniowymi w warunkowej wariancji Powyższa klasyfikacja ma sens gdyż:

Podstawowy i uogólniony model ARCH Warunkowa wartość oczekiwana Yt może być zapisana: (5.3) funkcja g opisuje zmiany wartości średniej procesu Yt warunkowo względem informacji z przeszłości (zbiór Ωt-1 oznacza zbiór wszystkich informacji dostępnych do momentu t-1) Kwadrat funkcji h przedstawia zmiany warunkowej wariancji procesu Yt: (5.4) Do najbardziej znanych modeli nieliniowych w warunkowej wartości średniej należą: procesu dwuliniowe, nieliniowe procesy autoregresji i średniej ruchomej, autoregresyjne modele progowe, przełącznikowe i wygładonego przejścia, procesy autoregresyjne o losowych współczynnikach Znanymi procesami o zmiennej wariancji warunkowej są: procesy ARCH/GARCH oraz procesy zmienności stochastycznej

Podstawowy i uogólniony model ARCH Podstawowym modelem ARCH jest: (5.5) (5.6) gdzie xt jest wektorem zmiennych objaśniających (najczęściej opóźnionych zmiennych endogenicznych – postać modelu AR) β jest wektorem parametrów strukturalnych t jest składnikiem zakłócającym spełniającym warunek ~ w celu zapewnienia dodatniości warunkowej wariancji zakłada się ponadto: 0>0 i i≥0 Warto zauważyć, że równanie (5.6) jest nieliniowe ze względu na zmienne, równanie to (tj. granica sumy q) wyznacza tzw. stopień modelu ARCH, mówimy o modelu ARCH(q) Model ARCH(q) opisuje poprawnie proces stacjonarny, lub inaczej model ARCH(q) generuje proces stacjonarny, jeśli spełniony jest warunek

Podstawowy i uogólniony model ARCH Uogólnionym modelem ARCH, czyli modelem GARCH, jest: (5.7) (5.8) gdzie oznaczenia zmiennych i parametrów jak w równaniach (5.5) i (5.6) w celu zapewnienia dodatniości warunkowej wariancji zakłada się ponadto: 0>0 i i≥0 i i≥0 granice sumowania q i p wyznaczają stopień modelu GARCH, mówimy o modelu GARCH(q, p) stacjonarność procesu (tj. skończoność bezwarunkowej wariancji) opisanego modelem GARCH(q,p) jest zapewniona jeśli spełniony jest warunek

Podstawowy i uogólniony model ARCH W zastosowaniach finansowych wygodnie jest korzystać z tzw. reprezentacji równoważnej modelu GARCH Niech dany będzie proces vt taki że: (5.9) ~ z formuły (5.8) wyrażającej warunkową wariancję w modelu GARCH wiemy, że ht należy zapisać: (5.10)

Testowanie efektu ARCH/GARCH Testowanie efektu ARCH/GARCH jest ekwiwalentne, tj. istniejące testy nie pozwalają odróżnić obu procesów Wynik testu wskazujący na obecność omawianego efektu pozwala jedynie z określonym prawdopodobieństwem wnioskować o obecności ARCH lub GARCH, bez możliwości rozróżnienia Wnioskowanie o rzędach p i q procesów ARCH/GARCH odbywa się na podstawie miar pojemności informacyjnej Test Engle’a Jest to test „typu” mnożnika Lagrange’a, tzn. do testowania hipotezy zerowej niezbędna jest znajomość jedynie modelu z restrykcjami nałożonymi poprzez testowaną hipotezę Przypomnijmy, równaniem pomocniczym wariancji warunkowej w modelu ARCH (5.6) jest: Engle zaproponował postać modelu AR dla kwadratów reszt uzyskanych z relacji (5.5) jako dobre przybliżenie relacji (5.6), zatem szacowany (MNK, ML) model przyjmuje postać: (5.11)

Testowanie efektu ARCH/GARCH (5.11) Jeśli efekt ARCH/GARCH nie występuje, tzn. nie występuje heteroskedastyczność wariancji warunkowej, wówczas w (5.11) wszystkie parametry i powinny zanikać, tak więc hipotezami są: Statystyką testową jest: gdzie R2 jest współczynnikiem determinacji wyznaczonym dla modelu (5.11) Statystyka testowa LM ma rozkład graniczny o q stopniach swobody, wnioskowanie o odrzuceniu H0 lub braku podstaw do odrzucenia jest typowe

Testowanie efektu ARCH/GARCH Test McLeoda i Li W omawianym teście wykorzystuje się statystykę Boxa-Ljunga do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji kwadratów reszt relacji (5.5), zatem test przebiega następująco: oszacować relację (5.5) wyznaczyć kwadraty reszt, , relacji (5.5) obliczyć współczynniki autokorelacji (rzędu od 1 do q) kwadratów reszt uzyskanych w punkcie poprzednim (Uwaga! Nie zapomnieć o standaryzacji) obliczyć statystykę Boxa-Ljunga (5.12) statystyka (5.12) Boxa-Ljunga ma rozkład graniczny o q stopniach swobody wobec zastosowanej statystyki testowej, zestawem hipotez jest:

Niestandardowe modele GARCH Model GARCH in MEAN (GARCH-M) przyjmuje postać: ~ (5.13) (5.14) GARCH-M stosowany jest do modelowania ryzyka (premii za ryzyko) Jeżeli ocena parametru λ jest dodatnia i parametr może zostać uznany za statystycznie istotny, wówczas wzrost wariancji warunkowej ht (czyli miary ryzyka) powoduje wzrost premii za ryzyko w postaci oczekiwanej stopy zwrotu z papieru (yt)

Niestandardowe modele GARCH Model GARCH z asymetrią reakcji Asymetria reakcji na pakietowe zmiany zmienności zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania (rt) może być przybliżona prostym modelem GARCH-M ~ ~ (5.15) (5.16) Wówczas możliwe jest wyznaczenie vt jako: (5.17) Warto zauważyć, że proces opisany przez (5.17) charakteryzuje się rozkładem normalnym standaryzowanym Można zaobserwować, że prawdziwa jest następująca nierówność: Czego konsekwencją jest:

Niestandardowe modele GARCH W modelu EGARCH czyni się typowe założenia odnoszące się do równania opisującego zmienną będącą przedmiotem zainteresowania, czyli: ~ ~ (5.18) Funkcją warunkowej wariancji jest: (5.19) Powyższy model jest modelem typu wykładniczego Z definicji funkcji wykładniczej wynika, że zapewniona jest nieujemność wariancji warunkowej Asymetria reakcji powodowana jest iloczynem iδ1 przykładowo, jeżeli iδ1<0 wówczas wariancja warunkowa ht maleje w miarę wzrostu t-i i rośnie w przypadku spadku składnika zakłócającego, jednakże nieliniowy charakter reakcji wymusza różne stopnie reakcji