Uczenie ze wzmocnieniem Literatura: Paweł Cichosz, Systemy uczące się, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2000, str. 712-792. Richard Sutton, Andrew G. Barto, Reinforcement Learning: An Introduction, MIT Press, Cambridge, MA, 1998. http://www.cs.ualberta.ca/~sutton/book/the-book.html Stuart J.Russel, Peter Norvig, Artificial Intelligence, Prentice-Hall, London, 2003, str. 598-645.

Plan wykładu Wieloetapowe procesy decyzyjne - typy procesów i środowisk Programowanie dynamiczne a metoda Monte Carlo Uczenie ze wzmocnieniem – podstawowy algorytm Eksploatacja a eksploracja Metody przyśpieszania zbieżności - ślady aktywności Aproksymacja funkcji wartości stanów Metody kodowania stanów Agregacja stanów Przykłady zastosowań

Środowisko Cechy środowiska w sztucznych systemach uczących się: przydziela nagrody i wyznacza bieżący stan jest niezależne od ucznia, czyli oznacza wszystko to, na co uczeń nie ma wpływu Typy środowisk: stacjonarne / niestacjonarne (zmienne w czasie) deterministyczne / niedeterministyczne - taka sama akcja może spowodować przejście do różnych stanów, a przy przejściu do takiego samego stanu można uzyskać różne nagrody z tym, że wartości oczekiwane nagród i prawdopodobieństwa przejść są stałe niedeterministyczne o znanym / nieznanym modelu o parametrach ciągłych / dyskretnych o pełnej informacji o stanie (własność Markowa) / o niepełnej informacji o stanie

Wieloetapowe procesy decyzyjne Procesy polegające na wielokrotnej interakcji ucznia (agenta) ze środowiskiem. W wyniku podjęcia jednej z możliwych akcji at w danym stanie st, środowisko przechodzi do nowego stanu st+1 i zwraca nagrodę rt+1 st st+1 st+2 st+k ... at, rt+1 at+1, rt+2 at+k-1, rt+k Celem uczenia jest maksymalizacja nagród uzyskanych w ciągu całego procesu, niezależnie od stanu początkowego Wniosek: należy szukać optymalnej strategii (policy) zachowania ucznia (wyboru odpowiedniej akcji w każdym ze stanów)

Ogólny schemat uczenia się w interakcji ze środowiskiem st rt UCZEŃ akcja at rt+1 st+1 ŚRODOWISKO

Typy procesów Ze względu na środowisko: deterministyczne / niedeterministyczne, stacjonarne / niestacjonarne Ze względu na informacje o stanie: spełniające własność Markowa / niespełniające własności Markowa Ze względu na ogólną liczbę stanów środowiska: o skończonej liczbie stanów / o nieskończonej liczbie stanów Ze względu na typ przestrzeni stanów: ciągłe (nieprzeliczalne)/ dyskretne Ze względu na umiejscowienie nagród: tylko w stanach końcowych (terminalnych) / tylko w stanach pośrednich / w stanach końcowych oraz pośrednich Ze względu na liczbę etapów procesu: nieskończone / epizodyczne (kończące się po pewnej liczbie kroków)

Zadanie optymalizacji w procesach epizodycznych Cel maksymalizacji: gdzie rt - nagroda w kroku t,  - współczynnik dyskontowania, 0  1, reguluje ważność krótko i długoterminowych nagród. Zastosowanie współczynnika dyskontowania wynika z pewnych praktycznych spostrzeżeń: nagrody warto zdobywać jak najszybciej (zadania do-sukcesu), kary jak najdłużej odwlekać (zadania do-porażki)

Dobór współczynnika dyskontowania w zależności od wartości nagród * Dobór współczynnika dyskontowania w zależności od wartości nagród Niech r2 oznacza wartość nagrody za dojście do stanu końcowego, r1 - wartość nagrody dla pozostałych stanów Zadania do-sukcesu: r1 r2 r1 r2 stąd:

Przykład GRID-6 0.5 1

Przykład GRID-6 – przykładowe strategie      1 2      3 4

Funkcje wartości Funkcja wartości stanu st przy strategii  : Funkcja wartości pary [stan,akcja]: (st , at) przy strategii  : Przy danej strategii  dla każdego stanu s zachodzi równanie:

Proces decyzyjny Markowa * Proces decyzyjny Markowa Proces decyzyjny Markowa można zdefiniować jako czwórkę (S, A, , ): S - skończony zbiór stanów A - skończony zbiór akcji (s,a) - funkcja wzmocnienia - zmienna losowa o wartościach rzeczywistych oznaczająca nagrodę po wykonaniu akcji a w stanie s (s,a) - funkcja przejść stanów - zmienna losowa o wartościach ze zbioru S oznaczająca następny stan po wykonaniu akcji a w stanie s W ogólności w każdym kroku t nagroda rt+1 jest realizacją zmiennej losowej (st,at) a stan st+1 jest realizacją zmiennej losowej (st,at)

* Przykład GRAF-5 S = {1,2,3,4,5}, A={0,1} Nagroda za akcję a w stanie s:

* Przykład GRAF-5 Optymalne wartości stanów dla  = 0.9 V(1) V(2) V(3) 4 5 Optymalne wartości stanów dla  = 0.9 V(1) V(2) V(3) V(4) V(5) 0.299 0.527 0.768 0.945

Funkcja wartości a strategia Strategia ’ jest lepsza od strategii  jeśli dla każdego s: oraz istnieje takie s, że zachodzi: Każdej strategii odpowiada tablica wartości stanów – V lub akcji – Q, natomiast dla danej tablicy wartości można przypisać najlepszą znaną strategię metodą zachłannego wyboru akcji w każdym ze stanów. Zachłanny wybór strategii na podstawie przybliżonych wartości V lub Q: - prawdopodobieństwo przejścia od stanu s do s’ przy wykonaniu akcji a - średnia nagroda przy przejściu od s do s’ dzięki a

Porównanie funkcji V oraz Q * Porównanie funkcji V oraz Q Użycie funkcji wartości stanu V(s) wymaga każdorazowej symulacji wykonania jednego kroku naprzód w celu znalezienia akcji optymalnej Użycie funkcji Q(s,a) wymaga stosowania większych tablic lub bardziej złożonych aproksymatorów funkcji

Strategia optymalna Strategia * jest optymalna jeśli dla każdej strategii  oraz dla każdego stanu s: lub dla każdej akcji w każdym stanie: Zachłanna metoda wyboru akcji: Zachłanna metoda wyboru akcji względem optymalnej funkcji wartości lub funkcji wartości akcji jest realizacją strategii optymalnej - prawdopodobieństwo przejścia od stanu s do s’ przy wykonaniu akcji a - średnia nagroda przy przejściu od s do s’ dzięki a

Metody szukania optymalnej strategii Programowanie dynamiczne Metoda Monte Carlo Metoda różnic czasowych (TD)

Programowanie dynamiczne Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu s do s’ po wykonaniu akcji a, oraz średnia wartość nagrody związanej z tym zdarzeniem: Model środowiska Równania równowagi Bellmana dla reprezentacji [stan] oraz [stan,akcja] i strategii , ( (s) - akcja w stanie s zgodna ze strategią  ):

Programowanie dynamiczne Przykładowy graf przejść ze stanu s=s1 do s’ {s1 , s2 , s3 }, po wykonaniu akcji a: s2 s1 s3 stąd:

Programowanie dynamiczne * Programowanie dynamiczne Wyprowadzenie równania równowagi dla funkcji wartości stanu s:

Programowanie dynamiczne Równania optymalności Bellmana dla reprezentacji [stan] oraz [stan,akcja]: - wartości odpowiadające strategii optymalnej

Programowanie dynamiczne Metody wyznaczania wartości V lub Q dla danej strategii: Rozwiązanie układu równań o |S| (lub |SA| w przypadku reprezentacji [stan,akcja]) niewiadomych Iteracyjne na podstawie równań równowagi Bellmana (o udowodnionej zbieżności) Metody wyznaczania optymalnej strategii: Iteracja strategii - naprzemienne obliczanie przybliżonych wartości V (s) dla wszystkich stanów przy danej (początkowo losowej) strategii  oraz wyznaczanie lepszej strategii ’ dla V (s) do momentu, gdy w kolejnych dwóch iteracjach strategia  pozostanie niezmienna Iteracja wartości - obliczanie V(s) stosując zachłanną metodę wyboru akcji do momentu, gdy wartości V(s) przestaną się zmieniać

Iteracyjne obliczanie wartości stanów obliczanie wartości stanów dla strategii  : mając dane: , P, R powtarzaj dla wszystkich s: aż nastąpi w kroku i

Iteracja strategii dla reprezentacji [stan] naprzemienne wyznaczanie strategii (początkowo losowej) oraz wartości stanów dotąd aż strategie w 2 kolejnych cyklach iteracji przestaną się różnić: k-1= k obliczanie wartości stanów dla strategii  : iteracyjne obliczanie wartości stanów dla strategii  lub metodą rozwiązywania układu równań wyznaczanie nowej strategii ’: dla wszystkich s:

Iteracja wartości dla reprezentacji [stan] mając dane: P, R powtarzaj dla wszystkich s: aż nastąpi w kroku k

Programowanie dynamiczne - wady i zalety konieczność znajomości modelu środowiska (prawdopodobieństw przejść pomiędzy stanami dla wszystkich możliwych akcji i oczekiwanych wartości nagród) Zalety: pewność znalezienia rozwiązania w przypadku metody dokładnej oraz zbieżność metod iteracyjnych mała złożoność obliczeniowa

Metody Monte Carlo Obliczanie funkcji wartości stanów lub par [stan, akcja] dla pewnej strategii  metodą uśredniania nagród z wielu epizodów. gdzie L - liczba epizodów, ne – liczba kroków e-tego epizodu Wyznaczanie strategii optymalnej: np. metodą iteracji strategii lub metodą iteracji wartości

Metody Monte Carlo - wady i zalety Wymóg epizodyczności zadań Wymagana duża eksploracja Powolna zbieżność - obliczenie funkcji wartości nowego stanu bez uwzględnienia wartości stanów następujących po danym (bootstraping) V = ? V = -0.8 -1 1 p = 0.9 p = 0.1 nowy stan Zalety: Pewna zbieżność do funkcji wartości V(s) dla ustalonej strategii przy odpowiedniej eksploracji Nie jest wymagana znajomość modelu środowiska

Uczenie ze wzmocnieniem – cechy charakterystyczne Uczenie z krytykiem (bez informacji o właściwych decyzjach) Nie są znane optymalna strategia, metoda dojścia do optymalnej strategii ani model środowiska Uczenie się na zasadzie ,,prób i błędów’’ – potrzebna jest eksploracja, co może wiązać się z kosztami Uczenie się oraz wykonywanie zadań (działanie systemu) odbywa się jednocześnie

Uczenie ze wzmocnieniem - ogólny algorytm Zainicjuj Q(s,a) lub V(s) Repeat (dla kolejnych epizodów): Zainicjuj s Repeat (dla kolejnych kroków epizodu): obserwuj aktualny stan st; wybierz akcję at do wykonania w stanie st; wykonaj akcję at; obserwuj wzmocnienie rt+1 i następny stan st+1; ucz się na podstawie doświadczenia (st,at,rt+1,st+1,at+1); until s jest stanem końcowym until spełniony warunek końca

Metoda różnic czasowych – TD(0) Średni dochód przy wyjściu ze stanu st i przy strategii  : Rzeczywisty: Aproksymowany: Częściowo aproksymowany:

Metoda różnic czasowych – TD(0) Częściowo aproksymowany dochód uzyskany po wyjściu ze stanu st: Aktualizacja wartości stanu - ogólna postać: Reprezentacja [stan,akcja]:

Metoda różnic czasowych – TD(0) Metody uczenia: Q-learning (off-policy) SARSA (on-policy) Actor-Critic (on-policy) (dodatkowy system wartościowania strategii przyjętej do uczenia (strategia aproksymowana + eksploracja (strategia losowa)) Zalety metod TD: nie jest wymagany model środowiska możliwość uczenia w czasie rzeczywistym (online-learning) zastosowanie w przypadku niestacjonarnego środowiska duża uniwersalność zastosowań np. w środowiskach niestacjonarnych (gry planszowe) dobra zbieżność

Algorytm Q-learning Algorytm Q-learning z aktualizacją wartości par [stan,akcja] niezależną od aktualnej strategii wyboru akcji (off-policy) Zainicjuj Q(s,a) Repeat (dla kolejnych epizodów): Zainicjuj s Repeat (dla kolejnych kroków epizodu): 1.) Z prawdop. 1-ε wykonaj akcję a w stanie s o najwyższej wartości Q lub akcję losową z prawdop. ε przechodząc do stanu s' 2.) Zmodyfikuj wartość akcji a w stanie s: until s jest stanem końcowym until spełniony warunek końca

Algorytm SARSA * Algorytm SARSA z aktualizacją wartości par [stan,akcja] zgodnie z aktualną strategią np. -zachłanną (on-policy) Zainicjuj Q(s,a) Repeat (dla kolejnych epizodów): Zainicjuj s Wykonaj akcję a w stanie s zgodnie ze strategią opartą na Q (np. ε-zachłanną) Repeat (dla kolejnych kroków epizodu): Wykonaj akcję a’ w stanie s’ zgodnie ze strategią wyboru akcji (np. -zachłanną względem Q(s’,a’)) until s jest stanem końcowym until spełniony warunek końca

Typy strategii poszukiwana strategia optymalizująca zyski (eksploatacja) strategia uczenia (eksploatacja + eksploracja): bieżące zyski nie mają znaczenia w trakcie uczenia lub mają (np. w problemie k-rękiego bandyty) optymalizacja zysków przy nieznanej początkowo strategii optymalnej pozwala na ukierunkowanie poszukiwań optymalizacja procesu uczenia dzięki sprawdzeniu wielu potencjalnie dobrych akcji w wielu potencjalnie dobrych stanach

Eksploatacja i eksploracja Przykłady strategii wyboru akcji w trakcie uczenia: maksimum losowa -zachłanna softmax Strategia -zachłanna : z prawdopodobieństwem  wybierz akcję losowo z prawdopodobieństwem 1- wybierz akcję: Strategia softmax - wybór akcji zgodnie z rozkładem Bolzmanna (prawdopodobieństwo wylosowania akcji proporcjonalne do jej funkcji wartości):

Przybliżenie TD(0) * Wartość stanu w danym epizodzie jest modyfikowana tylko na podstawie wartości następnego stanu i nagrody: st+1 st r > 0

Inne przybliżenia * Można wyznaczyć sumę ważoną przybliżeń przyjmując, że im przybliżenie dalsze, tym mniej istotne:

Ślady aktywności TD() - wyprowadzenie * Sumując elementy w kolumnach i uwzględniając: otrzymujemy:

Ślady aktywności TD() - wyprowadzenie * Przesuwamy ostatnią kolumnę w dół. Wstawiamy -V(st) do pierwszego wiersza gdzie

Ślady aktywności TD() * W każdym kroku modyfikowane są wartości wszystkich stanów lub par [stan,akcja]:

Ślady aktywności - algorytm * Zainicjuj V(s) Repeat (dla kolejnych epizodów): Zainicjuj s, e(s)=0 dla wszystkich s Repeat (dla kolejnych kroków epizodu): Wykonaj akcję a w stanie s zgodnie z , obserwuj nagrodę r i następny stan s’ for wszystkie odwiedzone stany sx: end for until s jest stanem końcowym until spełniony warunek końca

Ślady aktywności TD() * Zalety: Przyspieszenie uczenia dzięki równoległemu przypisywaniu zasług wszystkim stanom lub akcjom, które poprzedzają otrzymanie nagrody Połączenie zalet metod Monte Carlo i TD(0) przez odpowiedni wybór współczynnika świeżości  Znaczne przyspieszenie uczenia w przypadku nagród znacznie oddalonych Wady: Duża złożoność w przypadku tabelarycznej (wyliczeniowej) reprezentacji stanów lub akcji

Aproksymacja i kodowanie Aproksymacja funkcji wartości – przedstawienie funkcji wartości stanów lub par [stan,akcja] w postaci modelu parametrycznego funkcji (struktury) o odpowiednio dobranych (nauczonych) wartościach parametrów Kodowanie stanów – transformacja stanów do nowej przestrzeni cech

Wydobywanie cech - kodowanie Przekształcenie wektorów z pierwotnej przestrzeni stanów s = [s1, s2,..., sN] (np. układu figur na szachownicy) do przestrzeni cech istotnych dla określenia wartości stanu: z wykorzystaniem wiedzy o problemie Cele: Uzyskanie cech istotnych dla określenia wartości stanów Zwiększenie uogólniania poprzez agregację stanów o podobnej wartości

Aproksymatory funkcji Przykłady: Aproksymator liniowy Sieci o podstawie radialnej (Radial Basis Functions – RBF) Wielomiany stopnia > 1 Sztuczne sieci neuronowe (SNN) Systemy rozmyte Zalety: Oszczędność miejsca przy dużych zbiorach stanów lub par [stan,akcja] Możliwość uogólniania wiedzy dla stanów pośrednich Brak dyskretyzacji w przypadku rzeczywistoliczbowej reprezentacji stanów lub akcji

Aproksymator SSN ... s1 s2 s3 sN V(s) ... Q(s,a) s1 s2 s3 sN a Wektorowi parametrów modelu odpowiada wektor wag sieci: Poprawa wartości oceny odbywa się poprzez zmianę wektora wag w kierunku największego spadku funkcji błędu – gradientu. Gradient funkcji błędu względem wag oblicza się metodą propagacji wstecznej błędu.

Aproksymatory funkcji - definicje Wartości stanów lub par [stan,akcja] reprezentowane są za pomocą funkcji zależnej od wektora parametrów : Wektor parametrów: Kryterium optymalizacji: V(s) – poszukiwana wartość stanu s dla strategii  Vt(s) – aktualna wartość stanu s

Gradientowa metoda aproksymacji funkcji wartości stanów * parametry funkcji wartości modyfikowane są w kierunku maksymalnego spadku funkcji błędu MSE Przyjmując przybliżenie: Otrzymujemy algorytm aktualizacji wartości stanu: (następny slajd)

Gradientowa metoda aproksymacji funkcji wartości stanów - TD() Zainicjuj Repeat (dla kolejnych epizodów): Zainicjuj s, Repeat (dla kolejnych kroków epizodu): Wybierz i wykonaj akcję a w stanie s zgodnie ze strategią określoną przez until s jest stanem końcowym until spełniony warunek końca

Metody wyznaczania kierunku modyfikacji wektora parametrów funkcji wartości * Metoda spadku gradientu funkcji błędu (propagacja wsteczna w SSN) Metoda gradientów sprzężonych Metoda Newtona Metody quasi-Newtonowskie Metoda Levenberga-Marquardta - poprawka wektora wag

Metody kodowania stanów o parametrach ciągłych Metody kodowania (obliczania cech): Kodowanie metodą pokryć (CMAC, tile coding) Kodowanie przybliżone (coarse coding) Kodowanie przybliżone rozproszone - np. metodą Kanervy

Kodowanie metodą pokryć aproksymacja liniowa funkcji wartości stanu: - wektor cech stanu gradient funkcji wartości:

Kodowanie metodą pokryć Adaptacyjne zagęszczanie stanów: Kryteria zagęszczania stanów: duża częstość odwiedzin niestabilność wartości stanu podczas uczenia Realizacja: drzewa czwórkowe w przypadku 2 parametrów stanu

Kodowanie przybliżone Kodowanie przybliżone dla 2-wymiarowej przestrzeni stanów - każde pole jest związane z jedną cechą binarną, równą 1 jeśli stan znajduje się wewnątrz pola: x y Licząc po kolejnych wierszach od lewej do prawej wektor cech: Przykładowe zastosowanie: aproksymator liniowy z wykorzystaniem zbioru cech: - wektor cech stanu gradient funkcji wartości:

Kodowanie przybliżone, rozproszone (kodowanie Kanervy) Kodowanie przybliżone dla przykładowej 2-wymiarowej przestrzeni stanów - każdy prototyp stanu jest związany z jedną cechą binarną, równą 1 jeśli spełnione jest kryterium odległości (w przypadku kodowania Kanervy jest to odległość Hamminga): Licząc po kolejnych wierszach od lewej do prawej, nowy wektor cech: y x Prototypowe stany lub pary [stan, akcja] są początkowo wybierane losowo. Dodatkowo, w bardziej zaawansowanych metodach mogą być przemieszczane w celu większego ich skupienia w ważniejszych obszarach przestrzeni stanów